2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 5.3 三角函數(shù)的性質(zhì)（精練）（提升版）（原卷版+解析版）

這是一份2024年新高考數(shù)學(xué)專用第一輪復(fù)習(xí)講義一隅三反提升卷 5.3 三角函數(shù)的性質(zhì)（精練）（提升版）（原卷版+解析版），共44頁。
A．B．C．D．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（ ）
A．B．3
C．D．4
3． (2023·河南·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北張家口）已知函數(shù)，其中．若函數(shù)的最大值記為，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
5． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
6． (2023·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，若函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8. (2023·江蘇江蘇·一模）（多選）下列函數(shù)中，最大值是1的函數(shù)有（ ）
A．B．
C．D．
9． (2023·江西九江·一模（理））函數(shù)的值域?yàn)開_____．
10． (2023·江西上饒·二模（理））已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則_______．
11． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_______.
12． (2023·河南·高三階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是___．
12． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的最大值為，則___________.
13． (2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為______．
14． (2023·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））求函數(shù)()的值域
題組二 伸縮平移
1． (2023·江西·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如下所示，其中，.將的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則的一條對(duì)稱軸方程是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））將函數(shù)的圖象沿水平方向平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱（向左移動(dòng)，向右移動(dòng)），當(dāng)最小時(shí)，則（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·湖北·高三階段練習(xí)）（多選）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖象重合，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，且.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像；若，，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·安徽黃山·二模（文））將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
6． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)是奇函數(shù)．若將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，若關(guān)于x的方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7． (2023·浙江·寧波諾丁漢附中模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象分別向左、向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱中心重合，則的最小值為（ ）
A．B．2C．3D．6
8． (2023·安徽安慶·二模（理））已知函數(shù)，的最小正周期為，將其圖象沿x軸向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的最小值為（ ）
A．B．C．D．
9． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10． (2023·四川巴中·一模（文））為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
題組三 三角函數(shù)的性質(zhì)
1． (2023·湖南師大附中高三階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．為偶函數(shù)
B．的最小正周期是
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
2． (2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)（，），則（ ）
A．存在的值，使得是奇函數(shù)B．存在的值，使得是偶函數(shù)
C．不存在的值，使得是奇函數(shù)D．不存在的值，使得是偶函數(shù)
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知，則（ ）
A．，的最小正周期為B．，
C．，使得為偶函數(shù)D．，使得為奇函數(shù)
4． (2023·江蘇·淮陰中學(xué)高三階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)的最小值為
5． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．最大值為1B．最小值為
C．最小正周期為D．圖像的對(duì)稱中心為
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，給出下列結(jié)論：①是奇函數(shù)；②是周期函數(shù)；③的圖象是軸對(duì)稱圖形；④的值域是，其中正確結(jié)論的序號(hào)為___________.
7． (2023··模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，其圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·四川達(dá)州·二模（理））設(shè)，則下列說法正確的是（ ）
A．值域?yàn)锽．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．
9． (2023·河北石家莊·二模）（多選已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的一個(gè)周期為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)的最大值為D．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱
10． (2023·山東·濰坊一中模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)（，），若函數(shù)的部分圖象如圖所示，函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象
D．函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為
11． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)函數(shù)（，是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的周期為
B．的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．的對(duì)稱軸為
D．的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到
12． (2023·黑龍江齊齊哈爾·一模（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，則下列有關(guān)與的描述正確的有___________（填序號(hào)）.
①；
②方程所有根的和為；
③函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱.
13． (2023·黑龍江齊齊哈爾·一模（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，則下列有關(guān)與的描述正確的有___________（填序號(hào)）.
①；
②方程所有根的和為；
③函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱.
題組四 三角函數(shù)性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用
1． (2023·貴州黔東南·一模（文））若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，則的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·新疆昌吉·一模（文））已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且在上恰有一個(gè)極大值點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的值可以是（ ）
A．17B．14C．5D．2
4． (2023·山東濰坊·一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為（ ）.
A．1B．C．D．
5． (2023·四川省瀘縣第四中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：
①是函數(shù)的一個(gè)周期； ②函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③函數(shù)的圖象過點(diǎn)； ④函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù).
其中所有真命題的序號(hào)是__________.
6． (2023·湖北·武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）函數(shù)，則方程在上的根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．14B．12C．16D．10
7． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
8． (2023·北京西城·一模）如圖，曲線為函數(shù)的圖象，甲粒子沿曲線從點(diǎn)向目的地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，乙粒子沿曲線從點(diǎn)向目的地點(diǎn)運(yùn)動(dòng).兩個(gè)粒子同時(shí)出發(fā)，且乙的水平速率為甲的倍，當(dāng)其中一個(gè)粒子先到達(dá)目的地時(shí)，另一個(gè)粒子隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)甲粒子的坐標(biāo)為，乙粒子的坐標(biāo)為，若記，則下列說法中正確的是（ ）
A．在區(qū)間上是增函數(shù)
B．恰有個(gè)零點(diǎn)
C．的最小值為
D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
9． (2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知直線與函數(shù)的圖象相交，A，B，C是從左到右的三個(gè)相鄰交點(diǎn)，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B．若，則
C．若在上無最值，則的最大值為
D．
10． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若集合，集合，則______．
11． (2023·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，方程在上的解按從小到大的順序排成數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
5.3 三角函數(shù)的性質(zhì)（精練）（提升版）
題組一 值域
1． (2023·北京市第五中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，則的值域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由
設(shè)，，，，，，
即的值域?yàn)椋?故選：B．
2． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（ ）
A．B．3
C．D．4
【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，
則原函數(shù)可化為，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值.
故選：C.
3． (2023·河南·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)是，取最小值，故選：A
4．（2022·河北張家口）已知函數(shù)，其中．若函數(shù)的最大值記為，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故選：D
5． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由的值域?yàn)?可得，
由可得，所以，
解得，所以a的取值范圍是，故選:C
6． (2023·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，若函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)，
由，得，由，得，
所以，所以，故選：B.
7． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】的最小值是，并且觀察當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即時(shí)，的最大值是，所以的最小值是，所以.故選：D
(2023·江蘇江蘇·一模）（多選）下列函數(shù)中，最大值是1的函數(shù)有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，即當(dāng)時(shí)，，A不正確；
對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
即當(dāng)時(shí)，，B正確；
對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
即當(dāng)時(shí)，，C正確；
對(duì)于D，依題意，由，都有意義，且得：，且，且，，，顯然最大值為1，
此時(shí)，，而使函數(shù)無意義，即不能取到1，D不正確.
故選：BC
9． (2023·江西九江·一模（理））函數(shù)的值域?yàn)開_____．
【答案】
【解析】當(dāng)，時(shí)，，
而，∴，此時(shí)．
當(dāng)，時(shí)，，
而，∴，此時(shí)．
∴的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?br>10． (2023·江西上饒·二模（理））已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則_______．
【答案】4或10
【解析】∵f(x)滿足，∴是f(x)的一條對(duì)稱軸，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.當(dāng)時(shí)，，
y＝sinx圖像如圖：
要使在區(qū)間上有最小值無最大值，則：
或，
此時(shí)ω＝4或10滿足條件；
區(qū)間的長(zhǎng)度為：，
當(dāng)時(shí)，f(x)最小正周期，則f(x)在既有最大值也有最小值，故不滿足條件.綜上，ω＝4或10.故答案為：4或10.
11． (2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開_______.
【答案】
【解析】，
由題意可得，所以，，
因此，函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.
12． (2023·河南·高三階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是___．
【答案】1
【解析】因?yàn)椋瑢⒌膱D象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）得到，．
∵，∴．∴，即．∴．故實(shí)數(shù)m的最大值是1，故答案為：
12． (2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的最大值為，則___________.
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，，則，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上的最大值為，所以，即，
所以.故答案為：
13． (2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為______．
【答案】-4
【解析】由題意得所以，
當(dāng)時(shí)，，設(shè)所以，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值.所以的最大值為-4．故答案為：
14． (2023·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））求函數(shù)()的值域
【答案】
【解析】令，所以，
所以當(dāng)，即 ()時(shí)，
；當(dāng)，即()時(shí)，，
因此函數(shù)的值域應(yīng)為．
題組二 伸縮平移
1． (2023·江西·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如下所示，其中，.將的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則的一條對(duì)稱軸方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依題意，，故，故，故，
將代入，可得，故，解得，
因?yàn)樗?，則，
將的圖象的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，
的對(duì)稱軸方程為，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，所以選項(xiàng)A滿足題意，
故選：A.
2． (2023·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））將函數(shù)的圖象沿水平方向平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱（向左移動(dòng)，向右移動(dòng)），當(dāng)最小時(shí)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】將函數(shù)的圖象沿水平方向平移個(gè)單位后得到
即由題意的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.
所以，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最小故選：C
3． (2023·湖北·高三階段練習(xí)）（多選）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)的圖象重合，則的值可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】，
向左平移得，
與函數(shù)的圖象重合，故，
（1）若，
符合.
（2）若，
符合.
故選：AC
4． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，且.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像；若，，，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)的最小正周期為T，則由圖可知，得，則，所以，
又由題圖可知圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為點(diǎn)，
故，，故，，
因?yàn)椋裕?
又因?yàn)椋?br>故，
所以；
將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到的圖象；
因?yàn)?，所?同時(shí)令取得最大值3，
由，可得，，
又，要求的最大值，故令，得；
令，得，所以的最大值為，
故選：D.
5． (2023·安徽黃山·二模（文））將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若在上為增函數(shù)，則的最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】依題意，函數(shù)，
于是得，由，得：，
因此，函數(shù)在上為增函數(shù)，而在上為增函數(shù)，
于是得，解得，有，
所以的最大值為2.
故選：C
6． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)是奇函數(shù)．若將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線，若關(guān)于x的方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，
所以，解得，即，
則，
向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，
向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合正弦函數(shù)對(duì)稱性可知，
在有兩個(gè)不相等實(shí)根，則且，
此時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選：C．
7． (2023·浙江·寧波諾丁漢附中模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象分別向左、向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱中心重合，則的最小值為（ ）
A．B．2C．3D．6
【答案】A
【解析】將函數(shù)的圖象分別向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
可得
將函數(shù)的圖象分別向右各平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，
可得，
因?yàn)楹瘮?shù)與的對(duì)稱中心重合，所以，
即，解得，
所以的最小值為.
故選：A.
8． (2023·安徽安慶·二模（理））已知函數(shù)，的最小正周期為，將其圖象沿x軸向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
由其最小正周期為，有，所以，
將其圖象沿軸向右平移（）個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為，
其圖象關(guān)于對(duì)稱，則有，
所以， ，
由，實(shí)數(shù)的最小值為.
故選：B.
9． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的最小正周期為，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意知的最小正周期，∴，∴，
∴，作出的圖象如圖所示，
數(shù)形結(jié)合可知 ，解得：
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D
10． (2023·四川巴中·一模（文））為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】B
【解析】，
所以，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
故選：B.
題組三 三角函數(shù)的性質(zhì)
1． (2023·湖南師大附中高三階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．為偶函數(shù)
B．的最小正周期是
C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】BC
【解析】由圖知，，則，即，因?yàn)?，所?
因?yàn)闉榈牧泓c(diǎn)，則，得.由圖知，，
則，所以，，從而.
由題設(shè)，，
則為非奇非偶函數(shù)，所以A錯(cuò)；的最小正周期，所以B正確；
當(dāng)時(shí)， ，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以C正確.
當(dāng)時(shí)， ，不單調(diào)，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.
2． (2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)（，），則（ ）
A．存在的值，使得是奇函數(shù)B．存在的值，使得是偶函數(shù)
C．不存在的值，使得是奇函數(shù)D．不存在的值，使得是偶函數(shù)
【答案】BC
【解析】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以不可能是奇函?shù)，則A錯(cuò)誤，C正確.
當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，則B正確，D錯(cuò)誤.
故選：BC
3． (2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知，則（ ）
A．，的最小正周期為B．，
C．，使得為偶函數(shù)D．，使得為奇函數(shù)
【答案】BC
【解析】
，
對(duì)于A選項(xiàng)，取，則為常函數(shù)，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，取，則，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，若函數(shù)為奇函數(shù)，由，
得，
可得，但，則，可得，D錯(cuò).
故選：BC.
4． (2023·江蘇·淮陰中學(xué)高三階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小正周期為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)的最小值為
【答案】AD
【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由于函數(shù)的最小正周期為，的最小正周期為，所以的最小正周期為，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，由于，，故函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，由題知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在上的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)在上的值域?yàn)?，故函?shù)在一個(gè)周期內(nèi)的值域?yàn)?，進(jìn)而函數(shù)的值域?yàn)?，即最小值為，故D選項(xiàng)正確.
故選：AD
5． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．最大值為1B．最小值為
C．最小正周期為D．圖像的對(duì)稱中心為
【答案】AC
【解析】因?yàn)?br>，，，
對(duì)：當(dāng)時(shí)，，，即，時(shí)，取得最大值1，
故正確；
對(duì)：當(dāng)時(shí)，，，即，，不在定義域內(nèi)，故不存在最小值，故錯(cuò)誤；
對(duì)：的最小正周期，故正確；
對(duì)：定義域不滿足關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以不是圖象的對(duì)稱中心，故錯(cuò)誤.
故選：.
6． (2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，給出下列結(jié)論：①是奇函數(shù)；②是周期函數(shù)；③的圖象是軸對(duì)稱圖形；④的值域是，其中正確結(jié)論的序號(hào)為___________.
【答案】②③
【解析】由，，可得①錯(cuò)誤；
由，可得②正確；
由，可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，③正確；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，④錯(cuò)誤，所以正確結(jié)論的序號(hào)為②③ .故答案為：②③
7． (2023··模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，其圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)，其圖象與直線相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，
故函數(shù)的周期為，故，
若對(duì)恒成立，即當(dāng)時(shí)， 恒成立，
所以，解得
因?yàn)?，所?
故選：D．
8． (2023·四川達(dá)州·二模（理））設(shè)，則下列說法正確的是（ ）
A．值域?yàn)锽．在上單調(diào)遞增
C．在上單調(diào)遞減D．
【答案】B
【解析】∵，
由，可得，
∴，即或，
∴函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
∵，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，故B正確；
∵，，
令，則，
由，可得，，根據(jù)正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，可知在上存在唯一的實(shí)數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在上有增有減，故C錯(cuò)誤；
由，可得
，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
9． (2023·河北石家莊·二模）（多選已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的一個(gè)周期為B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)的最大值為D．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱
【答案】ABD
【解析】由知，A正確；
由在上單調(diào)遞增及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，由在上單調(diào)遞減，可知在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最大值取不是，故C錯(cuò)誤；
關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.
故答案為：ABD
10． (2023·山東·濰坊一中模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)（，），若函數(shù)的部分圖象如圖所示，函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象
D．函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為
【答案】ABD
【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象，可知，
當(dāng)時(shí)，滿足，則，即，
因?yàn)椋?，可得?br>對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，因?yàn)?，將其圖象向左平移個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象，所以C項(xiàng)正確；
對(duì)于D中，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：ABD
11． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）（多選）設(shè)函數(shù)（，是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的周期為
B．的單調(diào)遞減區(qū)間為
C．的對(duì)稱軸為
D．的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位得到
【答案】ABD
【解析】由在區(qū)間上具有單調(diào)性知，的周期T滿足，所以，又因?yàn)?，所以，在同一個(gè)周期內(nèi)且，故的一條對(duì)稱軸為，又由知的一個(gè)對(duì)稱中心為，且所求得的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心是相鄰的，所以，得，即，A正確．
又因?yàn)榈囊粋€(gè)對(duì)稱中心為，所以，，由知，，故.
，解得，，B正確；
，，，C錯(cuò)誤；
的圖象向左平移個(gè)單位得，D正確．
故選：ABD．
12． (2023·黑龍江齊齊哈爾·一模（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，則下列有關(guān)與的描述正確的有___________（填序號(hào)）.
①；
②方程所有根的和為；
③函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱.
【答案】①③
【解析】由圖象可知：，，；
又，由五點(diǎn)法可知：，解得：；
；
對(duì)于①，，①正確；
對(duì)于②，，即；
，，或或或，
所有根的和為，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，，
與圖象關(guān)于對(duì)稱，③正確.
故答案為：①③
13． (2023·黑龍江齊齊哈爾·一模（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到的圖象，則下列有關(guān)與的描述正確的有___________（填序號(hào)）.
①；
②方程所有根的和為；
③函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱.
【答案】①③
【解析】由圖象可知：，，；
又，由五點(diǎn)法可知：，解得：；
；
對(duì)于①，，①正確；
對(duì)于②，，即；
，，或或或，
所有根的和為，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，，
與圖象關(guān)于對(duì)稱，③正確.
故答案為：①③
題組四 三角函數(shù)性質(zhì)與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用
1． (2023·貴州黔東南·一模（文））若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，則的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】當(dāng)時(shí)，，且，則，解得.
結(jié)合各選項(xiàng)，只有A不可能.故選：A
2． (2023·新疆昌吉·一模（文））已知函數(shù)在上是增函數(shù)，且在上恰有一個(gè)極大值點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，，所以，解得，
由在，上僅有一個(gè)極大值點(diǎn)與一個(gè)極小值點(diǎn)，則有，所以，又，
所以的取值范圍為，．故選：．
3． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，且在上有最大值，沒有最小值，則的值可以是（ ）
A．17B．14C．5D．2
【答案】A
【解析】由，且在上有最大值，沒有最小值，可得，
所以.由在上有最大值，沒有最小值，可得，解得，又，當(dāng)時(shí)，，故結(jié)合選項(xiàng)知選A.故選：A
4． (2023·山東濰坊·一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為（ ）.
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以其最小正周期為，而區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度是該函數(shù)的最小正周期的，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，
所以當(dāng)區(qū)間關(guān)于它的圖象對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，取得最小值，對(duì)稱軸為，此時(shí)函數(shù)有最值，
不妨設(shè)y取得最大值，則有，所以，
解得，得，
所以，
所以的最小值為，
故選：D.
5． (2023·四川省瀘縣第四中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：
①是函數(shù)的一個(gè)周期； ②函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
③函數(shù)的圖象過點(diǎn)； ④函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù).
其中所有真命題的序號(hào)是__________.
【答案】①②③
【解析】函數(shù)，
對(duì)于①：，故函數(shù)的最小正周期為，故①正確；
對(duì)于②：函數(shù)故函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，，故③正確；
對(duì)于④：由于，所以，由于，由于的導(dǎo)數(shù)有正有負(fù)，所以函數(shù)在上有增有減，所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù).故④錯(cuò)誤．
故選：①②③．
6． (2023·湖北·武漢市武鋼三中高三階段練習(xí)）函數(shù)，則方程在上的根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．14B．12C．16D．10
【答案】B
【解析】由題意，函數(shù)滿足，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，即?br>設(shè)，可得，解得或，
即或，此時(shí)共有4個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，即?br>設(shè)，可得，解得或（舍去），
即，此時(shí)共有2個(gè)解，
所以方程在上的根的個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：B.
7． (2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】解：設(shè)，所以.
所以對(duì)任意，不等式恒成立，
所以對(duì)任意，不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式不是恒成立；
當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，所以函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，與矛盾，所以舍去；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立，如圖所示，
所以.綜合得.故答案為：
8． (2023·北京西城·一模）如圖，曲線為函數(shù)的圖象，甲粒子沿曲線從點(diǎn)向目的地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，乙粒子沿曲線從點(diǎn)向目的地點(diǎn)運(yùn)動(dòng).兩個(gè)粒子同時(shí)出發(fā)，且乙的水平速率為甲的倍，當(dāng)其中一個(gè)粒子先到達(dá)目的地時(shí)，另一個(gè)粒子隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)甲粒子的坐標(biāo)為，乙粒子的坐標(biāo)為，若記，則下列說法中正確的是（ ）
A．在區(qū)間上是增函數(shù)
B．恰有個(gè)零點(diǎn)
C．的最小值為
D．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
【答案】B
【解析】由題意得：，
所以，
由得，
令，則，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
令，得或，解得或，故B正確；
因?yàn)?，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，關(guān)于對(duì)稱，是軸對(duì)稱圖形，
所以不可能關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；
故選：B
9． (2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知直線與函數(shù)的圖象相交，A，B，C是從左到右的三個(gè)相鄰交點(diǎn)，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）．
A．將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B．若，則
C．若在上無最值，則的最大值為
D．
【答案】BCD
【解析】A：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位，
則，
若圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則為奇函數(shù)，有()，
解得()，又，得，
所以當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
B：若，則，即，
設(shè)，則，且，
所以，得①，
又點(diǎn)A、B的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，
所以，即②，
由①②得，，有，，
所以，所以，故B正確；
C：由函數(shù)在上無最值，知在上是單調(diào)的，
有，所以，，
解得，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故C正確；
D：由B選項(xiàng)的分析可知，，，
兩式相加，得，有，
所以，
即，所以，令，
則，又，易得在上單增，且，所以，
所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
即，故D正確.
故選：BCD
10． (2023·全國·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若集合，集合，則______．
【答案】
【解析】由圖可知周期，∴．
由得，∴，，
∵，∴k取0，，
∴，
∴，
∴．
∴，，
∴，∴．
故答案為：﹒
11． (2023·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，方程在上的解按從小到大的順序排成數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】(1)解：由，
令，即，解得
，∴，
此時(shí)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為.
∴
(2)證明：因?yàn)?，?br>∵，
∴.