(2023·云南麗江）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，與交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，求證：平面
2 (2023·四川宜賓）如圖，正方形ABED的邊長(zhǎng)為1，G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC
3． (2023·浙江·瑞安市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為中點(diǎn)，證明：平面
4． (2023·河北唐山）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，求證：平面
5． (2023·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知直三棱柱中，D為AB中點(diǎn)，求證：平面
題組二 構(gòu)造平行四邊形
1． (2023·黑龍江·哈師大附中高一期末）四棱錐底面為直角梯形，，，為的中點(diǎn)，求證：平面
2． (2023·遼寧朝陽(yáng)）如圖，在直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面
3． (2023·吉林·長(zhǎng)春市第五中學(xué)）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證：平面
4． (2023·遼寧撫順·高一期末）在正方體中，分別是和的中點(diǎn).求證：
(1)平面.
(2)平面平面.
5． (2023·遼寧撫順·高一期末）直四棱柱，底面是平行四邊分別是棱的中點(diǎn)，求證：平面
6． (2023·湖南衡陽(yáng)）如圖，四棱柱的底面ABCD為正方形，O為BD的中點(diǎn)，，求證：平面∥平面
7． (2023·福建·廈門(mén)市湖濱中學(xué)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．
題組三 等比例
1． (2023·江西南昌）兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，過(guò)M作于H，求證：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
2． (2023·安徽安慶市）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)M在棱上，若直線平面，求的值
3． (2023·全國(guó)高三）如圖，三棱柱在圓柱中，等腰直角三角形，分別為上、下底面的內(nèi)接三角形，點(diǎn)，分別在棱和上，，，平面，求的值
4． (2023·福建?。┤鐖D，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，是棱的中點(diǎn)，，在線段上，且，證明：平面
5 (2023·安徽）如圖，多面體中，底面為等腰梯形，，，，，且，求證：平面
6． (2023福建）如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形，.，證明:平面
題組四 線面平行的性質(zhì)
1． (2023·北京市第十三中學(xué)）如圖，已知在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，過(guò)和作平面交平面于.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求證：.
2． (2023·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)）如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，平面ABCD，，，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．
(1)證明：平面PBE；
(2)證明：；
3． (2023云南）如圖，在幾何體 ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，G為FC的中點(diǎn)，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)證明:AF//平面BDG
(2)證明:AB//EF
4． (2023·北京海淀·高三期末）如圖，已知長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)F，求證：
5． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上，若過(guò)的平面交于，交于，求證：平面
6． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)．設(shè)平面與平面的交線為l，求證：平面
7． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面，平面，，求證：
8． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱柱中，
（1）若分別是的中點(diǎn)，求證：平面平面.
（2）若點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，且平面平面，試求的值．
題組五 面面平行的性質(zhì)
1． (2023·四川成都）如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，，，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．
(1)證明：平面PBE；
(2)證明：．
2． (2023·山東淄博·高一期末）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為棱、的中點(diǎn)，證明：直線平面
3． (2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)）如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，M，N，P，D分別為CC1，BC，AB，的中點(diǎn)，求證：PN∥面ACC1A1
4． (2023·河南駐馬店）如圖所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，且，，將四邊形ADEF沿AD折起，連接BE，BF，CE，AC，證明：面BEF
5． (2023·湖南）如圖，在長(zhǎng)方體中，，分別是線段，的中點(diǎn).證明：平面
6． (2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，與相交于點(diǎn)O，F(xiàn)點(diǎn)是的中點(diǎn)，E點(diǎn)在線段上，且．求證：直線∥平面
題組六 線面垂直的性質(zhì)
1． (2023·河南南陽(yáng)）如圖，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，為的中點(diǎn)．求證：平面
2． (2023·廣東揭陽(yáng)）圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，，，.證明：面
3． (2023·山西臨汾）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)E，滿足，，現(xiàn)將分別沿折起，使，得到如圖（2）所示的幾何體．求證：
4． (2023·河南·三模）多面體ABCDE中，與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).求證：平面ECD
5． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中四邊形是正方形，平面，平面，.證明：平面平面.
6． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示的多面體中，四邊形為矩形，，平面，求證：平面.
7． (2023·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中點(diǎn)，求證：平面．
7.1 空間幾何中的平行（精練）（基礎(chǔ)版）
題組一 三角形中位線
1． (2023·云南麗江）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，與交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：∵四邊形為正方形，∴O為的中點(diǎn)，∵E為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，∴平面；
2 (2023·四川宜賓）如圖，正方形ABED的邊長(zhǎng)為1，G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC
【答案】證明見(jiàn)解析；
【解析】如圖，連接AE，因F是正方形ABED對(duì)角線BD的中點(diǎn)，則F是AE的中點(diǎn)，而G是CE的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.
3． (2023·浙江·瑞安市第六中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為中點(diǎn)，證明：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：設(shè)，連接，因?yàn)榉謩e為中點(diǎn)，所以//，平面，平面，所以//平面．
4． (2023·河北唐山）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：連接，設(shè)，連接，在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，因此，平?
5． (2023·吉林·長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知直三棱柱中，D為AB中點(diǎn)，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析；
【解析】在直三棱柱中，連，連，如圖，則O為中點(diǎn)，而D為AB中點(diǎn)，則有，又平面，平面，所以平面.
題組二 構(gòu)造平行四邊形
1． (2023·黑龍江·哈師大附中高一期末）四棱錐底面為直角梯形，，，為的中點(diǎn)，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析；
【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，
為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，且，又底面為直角梯形，,，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.
2． (2023·遼寧朝陽(yáng)）如圖，在直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連接，
所以.
因?yàn)?，所以?br>所以四邊形 是平行四邊形，所以 .
因?yàn)槠矫?平面，
所以平面.
3． (2023·吉林·長(zhǎng)春市第五中學(xué)）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，為側(cè)棱的中點(diǎn)，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】取的中點(diǎn)，連接，，在中，，在梯形中，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，而平面，平面，∴平面；
4． (2023·遼寧撫順·高一期末）在正方體中，分別是和的中點(diǎn).求證：
(1)平面.
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
【解析】（1）連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫?由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.
5． (2023·遼寧撫順·高一期末）直四棱柱，底面是平行四邊分別是棱的中點(diǎn)，求證：平面
【答案】見(jiàn)解析
【解析】證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)，在中，分別為的中點(diǎn)，所以且，底面是平行四邊形，是棱的中點(diǎn)，所以且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以平面平面，所以平面
6． (2023·湖南衡陽(yáng)）如圖，四棱柱的底面ABCD為正方形，O為BD的中點(diǎn)，，求證：平面∥平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：因?yàn)樗睦庵牡酌鍭BCD為正方形，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以∥．
又平面，平面，
所以∥平面，
同理∥平面．
又，
所以平面∥平面．
7． (2023·福建·廈門(mén)市湖濱中學(xué)）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
（1）證明：連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面.
（2）證明：因?yàn)榍?，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，所以，平面，因?yàn)椋虼?，平面平?
題組三 等比例
1． (2023·江西南昌）兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，過(guò)M作于H，求證：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】（1）在正方形ABCD中，，，則，又平面，平面，因此平面，由，得，而，，則有，即，于是得，又平面，平面，則平面，因，平面，所以平面平面.
（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.
2． (2023·安徽安慶市）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)M在棱上，若直線平面，求的值
【答案】（1）1∶2；
【解析】連接與交于點(diǎn)N，連接，
，，，，
又平面，平面，且平面平面
．
3． (2023·全國(guó)高三）如圖，三棱柱在圓柱中，等腰直角三角形，分別為上、下底面的內(nèi)接三角形，點(diǎn)，分別在棱和上，，，平面，求的值
【答案】
【解析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
，，與確定一個(gè)平面．
平面，平面平面，，
四邊形為平行四邊形，．
又，，，．
4． (2023·福建省）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，是棱的中點(diǎn)，，在線段上，且，證明：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則且，
為的中點(diǎn)，則且，故，
所以，，，
平面，平面，因此，平面；
5 (2023·安徽）如圖，多面體中，底面為等腰梯形，，，，，且，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】中，，.
設(shè)，連結(jié)，
，，.
，又，所以四邊形為平行四邊形，
，又平面，平面，
平面.
6． (2023福建）如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形，.，證明:平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：四邊形是梯形且，
又,
又,是等腰直角三角形．
，,
如圖，連接交于點(diǎn)連接.
,
在中，由余弦定理得
解得故
又點(diǎn)在棱上，且在中，
又平面平面故平面;
題組四 線面平行的性質(zhì)
1． (2023·北京市第十三中學(xué)）如圖，已知在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，過(guò)和作平面交平面于.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求證：.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】(1)證明：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，
平面，平面，因此，平面.
(2)證明：連接交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅危瑒t為的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
平面，平面，平面.
(3)證明：平面，平面，平面平面，
.
2． (2023·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)）如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，平面ABCD，，，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．
(1)證明：平面PBE；
(2)證明：；
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】取PB中點(diǎn)，連接FG，EG，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)所以，，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以，且，所以，，所以四邊形DEGF為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫鍼BE，平面PBE，平面PBE
（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面所以
3． (2023云南）如圖，在幾何體 ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，G為FC的中點(diǎn)，平面ABFE∩平面CDEF=EF
(1)證明:AF//平面BDG
(2)證明:AB//EF
【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】(1)連接AC交BD于O,連接OG.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AC、BD互相平分.
又G為FC的中點(diǎn)，所以O(shè)G為三角形ACF的中位線，所以.
因?yàn)槊?面,所以AF//平面BDG.
(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB//CD.
因?yàn)槊?面,所以AB//平面.
因?yàn)槊?面面=EF.
所以AB//EF.
4． (2023·北京海淀·高三期末）如圖，已知長(zhǎng)方體中，為的中點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)F，求證：
【答案】證明見(jiàn)解析；
【解析】由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知：面面，又面，
∴面，又面面，且面，∴.
5． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上，若過(guò)的平面交于，交于，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：因?yàn)槠矫?，平面?br>平面，，
又平面，平面，平面；
6． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)．設(shè)平面與平面的交線為l，求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：在正方體中，平面平面，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫絣，平面平面，所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>7． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面，平面，，求證：
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】由題意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
而平面平面，平面平面，∴.
8． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱柱中，
（1）若分別是的中點(diǎn)，求證：平面平面.
（2）若點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，且平面平面，試求的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）1.
【解析】（1）∵分別是的中點(diǎn)，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又∵，平面，
∴平面平面；
（2）連接交于O，連接，
由平面平面，且平面平面，
平面平面，
∴，
則，
又由題設(shè)，∴，即.
題組五 面面平行的性質(zhì)
1． (2023·四川成都）如圖，四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，，，點(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)．設(shè)平面平面．
(1)證明：平面PBE；
(2)證明：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；
【解析】(1)取PB中點(diǎn)，連接FG，EG，
因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為AD、PC的中點(diǎn)，
所以，，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為長(zhǎng)方形，所以，且，
所以，，所以四邊形DEGF為平行四邊形，
所以因?yàn)槠矫鍼BE，平面PBE，平面PBE；
由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，所以.
2． (2023·山東淄博·高一期末）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為棱、的中點(diǎn)，證明：直線平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：取的中點(diǎn)，連接、、，
在正方體中，且，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，
故四邊形為平行四邊形，則且，
又因?yàn)榍遥瑒t且，
故四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面，
因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，則，
、分別為、的中點(diǎn)，則，則，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
平面，平面.
3． (2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)）如圖，三棱柱中側(cè)棱與底面垂直，M，N，P，D分別為CC1，BC，AB，的中點(diǎn)，求證：PN∥面ACC1A1
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】∵P，D分別為，的中點(diǎn)，
∴，且平面，平面，
∴平面，
∵D，N分別為，BC的中點(diǎn)，
∴，且平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面，
又∵平面PDN，
∴平面．
4． (2023·河南駐馬店）如圖所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分別是BF，CE上的點(diǎn)，且，，將四邊形ADEF沿AD折起，連接BE，BF，CE，AC，證明：面BEF
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】方法一：取ED中點(diǎn)H，連接HA，HC，HF，如下圖：
由題意可知,即四邊形AFEH為平行四邊形，
可得，面EFB, 面EFB，可得面EFB，
四邊形AFHD為平行四邊形，則，，
可得四邊形BCHF為平行四邊形，則，面EFB, 面EFB，
可得面EFB，，面AHC, 面AHC,
根據(jù)面面平行的判定定理可得面面AHC，面AHC,
從而可得面EFB．
方法二：在面AFED內(nèi)，延長(zhǎng)EF，DA交于G點(diǎn)，連接BG，如下圖：
則面EFB．由條件，則．
從而可得，四邊形AGBC為平行四邊形．
可得，又面EFB，面EFB，
根據(jù)線面平行的判定定理可得面EFB．
5． (2023·湖南）如圖，在長(zhǎng)方體中，，分別是線段，的中點(diǎn).證明：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，
則，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
6． (2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，與相交于點(diǎn)O，F(xiàn)點(diǎn)是的中點(diǎn)，E點(diǎn)在線段上，且．求證：直線∥平面
【答案】證明見(jiàn)解析；
【解析】取的中點(diǎn)，連接CG、GF、EO．
∵，
則，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，故，且平面，
故平面．
又，故是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，
則，且平面，
故平面，且，
故平面平面．
又平面，故平面．
題組六 線面垂直的性質(zhì)
1． (2023·河南南陽(yáng)）如圖，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，為的中點(diǎn)．求證：平面
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)?、都垂直于平面，則且，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面.
2． (2023·廣東揭陽(yáng)）圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，，，.證明：面
【答案】見(jiàn)解析
【解析】證明：連接，，，可得平面，
∵平面，∴，
∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，∴平面；
3． (2023·山西臨汾）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)E，滿足，，現(xiàn)將分別沿折起，使，得到如圖（2）所示的幾何體．求證：
【答案】證明見(jiàn)解析；
【解析】圖（1）中，，則，而，即，
在中，，有，
同理可得，則，
圖（2）中，，則，而，平面，則有平面，
在中，，則，又，，平面，因此平面，
所以.
4． (2023·河南·三模）多面體ABCDE中，與均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為腰長(zhǎng)為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn).求證：平面ECD
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：因?yàn)闉榈妊切危現(xiàn)為BC的中點(diǎn)，所以AF⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面平面，平面ABC.
所以AF⊥平面BCD，取CD的中點(diǎn)G，連接EG，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以EG⊥CD，因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面BCD，交線為CD，且EG平面CDE，所以EG⊥平面BCD，所以，
又平面ECD，平面ECD，所以平面ECD.
5． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中四邊形是正方形，平面，平面，.證明：平面平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：∵平面，平面，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵四邊形是正方形，
∴.
∵平面，平面，
∴平面.
∵平面，平面，且，
∴平面平面.
6． (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示的多面體中，四邊形為矩形，，平面，求證：平面.
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】因，則，，而，平面ABCD，于是得平面ABCD，
因平面ABCD，則有，而平面BCF，平面BCF，從而得平面BCF，
在矩形ABCD中，則，平面BCF，平面BCF，于是得平面BCF，
而，平面ADE，因此，平面平面BCF，平面ADE，
所以平面BCF.
7． (2023·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）如圖，是正三角形，和都垂直于平面，且，，是的中點(diǎn)，求證：平面．
【答案】證明見(jiàn)解析
【解析】證明：取的中點(diǎn)，連接，，可得，．因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又因?yàn)椋?，．所以四邊形是平行四邊形，所以?br>又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>

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