第I卷（選擇題）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1.已知互相垂直的平面交于直線.若直線滿足，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，則（ ）
A.集合的真子集有8個(gè) B.
C.U中的元素個(gè)數(shù)為7 D.
3.已知甲?乙兩組數(shù)據(jù)分別為：和，若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3，則（ ）
A.甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23
B.甲?乙兩組數(shù)據(jù)的極差不相同
C.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5
D.甲?乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同
4.在中，，則（ ）
A. B. C. D.
5.過點(diǎn)作圓的兩條切線與圓分別切于兩點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
6.設(shè)函數(shù)，則下列敘述正確的是（ ）
A.的最小正周期為
B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C.在上的最小值為
D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
7.如果球?正方體與等邊圓柱（圓柱底面圓的直徑與高相等）的體積相等，設(shè)它們的表面積依次為那么的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
8.如圖所示，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線左支的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的漸近線的斜率可以為（ ）
A. B.2 C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.設(shè)為復(fù)數(shù)，下列命題不正確的是（ ）
A.
B.
C.若，則為純虛數(shù)
D.若，且，則
10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下面說法正確的是（ ）
A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列
C. D.
11.已知定義在的函數(shù)滿足：①對(duì)恒有；②對(duì)任意的正數(shù)恒有.則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A.
B.過點(diǎn)的切線方程為
C.對(duì)，不等式恒成立
D.若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則
第II卷（非選擇題）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若，則等于__________.
13.甲?乙?丙等5名同學(xué)參加語數(shù)外三科知識(shí)競賽，每人隨機(jī)選擇一科參加競賽，則甲和乙不參加同一科，甲和丙參加同一科競賽，且這三科競賽都有人參加的概率為__________.
14.對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“倒戈函數(shù)”.設(shè)函數(shù)為其定義域上的“倒戈函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
已知函數(shù)在和處取得極值.
（1）求的值及的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.
16.（15分）
如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，與交于點(diǎn).
（1）若是中點(diǎn)，求證：；
（2）求直線MD和平面所成角的正弦值.
17.（15分）
設(shè)的第項(xiàng)系數(shù)為
（1）求的最大值
（2）若表示的整數(shù)部分，，求的值.
18.（17分）
已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)在上，點(diǎn)與的上?下焦點(diǎn)連線所在直線的斜率之積為.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），過點(diǎn)作平行于軸的直線，直線與交于點(diǎn)，且求直線的斜率.
19.（17分）
記，對(duì)數(shù)列和的子集，若定義；若，定義.例如：時(shí)，現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意正整數(shù)，若，求證：；
（3）設(shè).求證：.
長沙市明德中學(xué)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練卷
參考答案
第I卷（選擇題）
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
二?選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
第II卷（非選擇題）
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 13. 14.
5.【詳解】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
，①，圓心為，
過點(diǎn)作圓的兩條切線與圓分別切于兩點(diǎn)，則，故點(diǎn)在以為直徑的圓上，
而以為直徑的圓的方程為：，②，
①-②得即直線的方程為，故選：A.
6.D 【解析】對(duì)于的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確.故選D.
7.B 【解析】設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，等邊圓柱的底面半徑為，且它們的體積都為，則，所以，故選：B.
8.C 【解析】在中，，在中，，
所以，
又，則，又，
所以，令，則，
而，由，則，
可得即.
所以，漸近線的斜率可以為.
9.AC 10.BD 11.ACD
11.【詳解】恒有，
可設(shè)（其中為常數(shù)）.
又對(duì)任意的正數(shù)恒有，
對(duì)任意的正數(shù)恒有，
，即，
對(duì)于，由上式可得，故A正確；
對(duì)于B，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，
，化簡得，解，
所以點(diǎn)就是切點(diǎn)，所以切線方程為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，令，則，
令，可得，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，所以，對(duì)恒成立，故C正確；
對(duì)于，設(shè)，
在上單調(diào)遞增，且，
所以使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
為函數(shù)的極小值點(diǎn)且滿足，
，故D正確.
故選：ACD.
12. 13. 14.
14.【解析】由函數(shù)為“倒戈函數(shù)”的定義可得：在上有解.
則在上有解，且在上恒成立，
即在上有解，且在上恒成立，
記，則在上單調(diào)遞增，且，
所以，所以，即，解得：，
又在上恒成立，則，解得：.
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（1）.
函數(shù)在和處取得極值.
，
聯(lián)立解得：
.
令，解得和，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增
故和是的極值點(diǎn)，（沒有體現(xiàn)驗(yàn)證的扣1分）
故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；
函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）由（1）知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，--
要使得對(duì)任意，不等式恒成立，則需且，
故且，
解得，或，
的取值范圍是
16.【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，所以平面
又因?yàn)槠矫?，所?
連接，則，在中，
，所以，
因?yàn)槠矫妫遥?br>從而平面，
又平面，所以
因?yàn)槠矫?，且?br>所以平面
又平面，所以，又因?yàn)?，所以?br>又是中點(diǎn)，，所以，
因?yàn)?，且，所以平?br>又因?yàn)槠矫?，所?
（2）由（1）知，平面，且
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，
則
由得，，所以，
所以
設(shè)平面的法向量為，由
得取，則，
設(shè)直線和平面所成角為，
則
所以直線和平面所成角的正弦值為.
17.（1）由題可知，展開式中第項(xiàng)為：
，
則系數(shù)最大的項(xiàng)需滿足，
解得或，
所以系數(shù)最大為第3項(xiàng)或第4項(xiàng)，即或，
所以最大項(xiàng)系數(shù)為
（2）因?yàn)椋?br>且由展開式中第項(xiàng)為：，
所以
令，
令，
相加得，所以.
而
所以
.
由題可知，
18.（1）由題意設(shè)雙曲線的方程為，（設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程給1分）
由點(diǎn)在上，得①
設(shè)的上?下焦點(diǎn)分別為，則，
解得，所以②
由①②得，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得方程組，整理得
所以，解得，
所以，
則
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得，
此時(shí)直線的斜率為
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的方程為，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由可得
由，得點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以
則.
所以
.故直線的斜率為
19.（1）當(dāng)時(shí)，，
因此，從而；
（2）因?yàn)椋裕?br>（3）設(shè).
則.
所以，因此原題就等價(jià)于證明
由條件可知.
①若，則，所以
②若，由可知，
設(shè)中最大元素為中最大元素為，
若，則由第（2）小題，，矛盾，
因?yàn)?，所以，所以?br>.
即.
綜上所述，，因此.
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
D
B
A
D
B
C
9
10
11
AC
BD
ACD

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