1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
2．（5分）若z=1-3i，則z﹣|z|2＝（ ）
A．1+3iB．-3+3iC．1-3iD．-3-3i
3．（5分）圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
4．（5分）在公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣1，a7＝256a3，則a3+2a4+a5＝（ ）
A．48B．﹣48C．80
5．（5分）函數(shù)f（x）＝ex（sinx+csx）在點(diǎn)（0，1）處切線方程為（ ）
A．y＝4x+1B．y＝3x+1C．y＝2x+1D．y＝x+1
6．（5分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且PF2⊥F2Q，且S△PF2Q=12a2，|PF2|+|F2Q|=4，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x24+y22=1B．x23+y22=1
C．x24+y23=1D．x25+y24=1
7．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是棱PD，PC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF+BF的最小值是（ ）
A．2+2B．2+3C．7+2D．7+1
8．（5分）已知不等式k（x+3）ex＜x+1恰有2個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（ ）
A．23e3≤k＜35e2B．35e2＜k≤12e
C．23e3＜k≤35e2D．35e2≤k＜12e
二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝﹣1，a2+a7＝﹣4，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．a(chǎn)11＝11
B．{an}是遞減數(shù)列
C．Sn取得最小值時(shí)，n＝5或6
D．S7＝﹣21
（多選）10．（5分）某企業(yè)為了了解職工對(duì)某部門的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），下列說法正確的是（ ）
A．求頻率分布直方圖中a的值為0.006
B．估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分的中位數(shù)為5357
C．估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分的平均值為76.5
D．從評(píng)分在[40，60）的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在[40，50）的概率為110
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點(diǎn)分別為x1，x2（x1＜x2），則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．f（x1）+f（x2）＝2
C．若f（x2）＜0，則a＞1
D．過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線
（多選）12．（5分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則（ ）
A．曲線C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣2
B．若|AF|＝4，則△AOF的面積為3
C．若OA⊥OB，則|OA|?|OB|≥32
D．若∠AFB＝60°，則|MN|≤|AB|
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．（5分）已知函數(shù)f（x）=x2+1，x＜1ln(x-1)，x＞1，則f（2）＝ ．
14．（5分）函數(shù)f（x）＝cs2x+3csx的最大值為 ．
15．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣2x+13=0相切，則雙曲線C的離心率為 ．
16．（5分）頗受青年朋友喜歡的蛋白石六角錐靈擺吊墜如圖（1）所示，現(xiàn)在我們通過手工制作一個(gè)六角錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為10cm，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1為圓O上的點(diǎn)，如圖（2）所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1重合，得到六棱錐，當(dāng)?shù)酌媪呅蔚倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，所得六棱錐體積的最大值為 cm3．
四、解答題：本大題共6小題，共70分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)bn＝lg2（an+1），求數(shù)列{1bnbn+1}的前n項(xiàng)和Tn．
18．（12分）進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事．為了普及垃圾分類知識(shí)，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為34，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為p，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙兩位同學(xué)中恰有一人答對(duì)的概率為512．
（1）求p的值及每題甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)答對(duì)的概率；
（2）試求兩人答對(duì)的題數(shù)之和為3的概率．
19．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AP＝AB＝AD＝3BC＝3，且PA⊥平面ABCD．
（1）證明：平面PBC⊥平面PAB；
（2）求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．
20．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知sinA+3csA＝0，a＝27，b＝2．
（1）求角A和邊長(zhǎng)c；
（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
21．（12分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，上頂點(diǎn)M與左右頂點(diǎn)連線MA，MB的斜率乘積為-34，焦距為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的點(diǎn)，直線AP與y軸的交點(diǎn)為Q，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作ON∥AP交橢圓于N點(diǎn)，試探究|AP|?|AQ||ON|2是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
22．（12分）已知函數(shù)f(x)=axex和函數(shù)g(x)=lnxax有相同的最大值，直線y＝m與兩曲線y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求證：x1x3=x22．
2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市天心區(qū)明德中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，請(qǐng)把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
則A∩B＝{0，1}．
故選：C．
2．（5分）若z=1-3i，則z﹣|z|2＝（ ）
A．1+3iB．-3+3iC．1-3iD．-3-3i
【解答】解：因?yàn)閨z|=12+(-3)2=2，
所以z-|z|2=1-3i-4=-3-3i．
故選：D．
3．（5分）圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
【解答】解：圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的半徑為2，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
故選：B．
4．（5分）在公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣1，a7＝256a3，則a3+2a4+a5＝（ ）
A．48B．﹣48C．80
【解答】解：在公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝a1（1+q）＝﹣1，
因?yàn)閍7＝256a3，
所以q4=a7a3=256，
因?yàn)閝＜0，
所以q＝﹣4，a1=13，
則a3+2a4+a5＝a1（q2+2q3+q4）＝48．
故選：A．
5．（5分）函數(shù)f（x）＝ex（sinx+csx）在點(diǎn)（0，1）處切線方程為（ ）
A．y＝4x+1B．y＝3x+1C．y＝2x+1D．y＝x+1
【解答】解：由已知f'（x）＝ex（csx﹣sinx）+ex（sinx+csx）＝2csxex，
∴f'（0）＝2cs0e0＝2，
∴函數(shù)f（x）＝ex（sinx+csx）在點(diǎn)（0，1）處切線方程為y﹣1＝2（x﹣0），
即y＝2x+1．
故選：C．
6．（5分）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且PF2⊥F2Q，且S△PF2Q=12a2，|PF2|+|F2Q|=4，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x24+y22=1B．x23+y22=1
C．x24+y23=1D．x25+y24=1
【解答】解：如圖，連接PF1，QF1，由橢圓的對(duì)稱性得四邊形PF1QF2為平行四邊形，
所以|PF2|+|F2Q|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4，得a＝2．
又因?yàn)镻F2⊥F2Q，所以四邊形PF1QF2為矩形，設(shè)|PF2|＝m，|QF2|＝n，
則S△PF2Q=12mn=12a2=2，所以m+n=4mn=4，得m＝n＝2，
則|F1F2|=22，則c=2，b2＝a2﹣c2＝2，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1．
故選：A．
7．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是棱PD，PC上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF+BF的最小值是（ ）
A．2+2B．2+3C．7+2D．7+1
【解答】解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD?平面ABCD，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，
∴AD⊥PA，同理可得BC⊥PB．
由題意可知PA＝PB＝AB＝BC＝CD＝AD＝2，則PC=PD=22，∠APD＝∠BPC＝45°．
將平面PAD，PCD，PBC展開到一個(gè)平面內(nèi)如圖，則AE+EF+BF的最小值即為展開圖中AB的長(zhǎng)．
∵cs∠CPD=PC2+PD2-CD22PC?PD=8+8-42×22×22=34，
從而sin∠CPD=74，故cs∠APB=cs(∠CPD+90°)=-sin∠CPD=-74．
在△PAB中，由余弦定理可得AB2=PA2+PB2-2PA?PB?cs∠APB=4+4+8×74=8+27=(7+1)2，
則AB=7+1，即AE+EF+BF的最小值為7+1．
故選：D．
8．（5分）已知不等式k（x+3）ex＜x+1恰有2個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍（ ）
A．23e3≤k＜35e2B．35e2＜k≤12e
C．23e3＜k≤35e2D．35e2≤k＜12e
【解答】解：原不等式k（x+3）ex＜x+1等價(jià)于k(x+3)＜x+1ex，
設(shè)g（x）＝k（x+3），f(x)=x+1ex，所以f'(x)=-xex=0，得x＝0．
當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）取極大值．
又f（﹣1）＝0，且x＞0時(shí)，f（x）＞0，因此g（x）＝k（x+3）與f(x)=x+1ex的圖象如下，直線g（x）＝k（x+3）恒過點(diǎn)（﹣3，0）．
當(dāng)k≤0時(shí)，顯然不滿足條件；
當(dāng)k＞0時(shí)，只需要滿足f(1)＞g(1)f(2)≤g(2)，即2e＞4k3e2≤5k，解得35e2≤k＜12e．
故選：D．
二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝﹣1，a2+a7＝﹣4，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．a(chǎn)11＝11
B．{an}是遞減數(shù)列
C．Sn取得最小值時(shí)，n＝5或6
D．S7＝﹣21
【解答】解：不妨設(shè)an＝a1+（n﹣1）da2+a7＝a1+d+a1+6d＝2a1+7d＝﹣4，與a5＝a1+4d＝﹣1聯(lián)立，解得d＝2，a1＝﹣9，即通項(xiàng)an＝2n﹣11，
對(duì)于選項(xiàng)A．a(chǎn)11＝2×11﹣11＝11，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B．d＞0，{an}是遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C．Sn存在最小值，且有兩個(gè)最小值，即S6﹣S5＝0，即a6＝0，與an不符，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D．S7＝7a4＝7×（﹣3）＝﹣21，故正確．
故選：AD．
（多選）10．（5分）某企業(yè)為了了解職工對(duì)某部門的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），下列說法正確的是（ ）
A．求頻率分布直方圖中a的值為0.006
B．估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分的中位數(shù)為5357
C．估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分的平均值為76.5
D．從評(píng)分在[40，60）的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在[40，50）的概率為110
【解答】解：選項(xiàng)A，由圖可知，（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，所以a＝0.006，故A正確；
選項(xiàng)B，中位數(shù)為：70+0.05-×10=5357，故B正確；
選項(xiàng)C，平均值為：（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10＝76.2，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，評(píng)分在[40，60）職工有（0.004+0.006）×10×50＝5人，評(píng)分在[40，50）職工有0.004×10×50＝2人，故概率為：C22C52=110，故D正確；
故選：ABD．
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點(diǎn)分別為x1，x2（x1＜x2），則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．f（x1）+f（x2）＝2
C．若f（x2）＜0，則a＞1
D．過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣3ax+2，∴f'（x）＝3x2﹣3a，
又函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點(diǎn)分別為x1，x2（x1＜x2），
∴3x2﹣3a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2），
∴a＞0，故A正確．
對(duì)選項(xiàng)B，∵a＞0，∴f'(x)=3x2-3a=3(x+a)(x-a)，
∴x∈(-∞，-a)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
x∈(-a，a)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
x∈(a，+∞)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴x1=-a，x2=a為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f(x1)+f(x2)=(-a)3-3a(-a)+2+(a)3-3aa+2=4≠2，故B錯(cuò)誤．
對(duì)選項(xiàng)C，∵f(x2)=(a)3-3aa+2＜0，
化簡(jiǎn)得aa＞1，∴a＞1，故C正確；
對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)切點(diǎn)為(x0，x03-3ax0+2)，又f'（x）＝3x2﹣3a，切線過（0，2），
∴x03-3ax0x0=3x02-3a，即x03-3ax0=3x03-3ax0，解得x0＝0，
∴過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線，故D正確．
故選：ACD．
（多選）12．（5分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則（ ）
A．曲線C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣2
B．若|AF|＝4，則△AOF的面積為3
C．若OA⊥OB，則|OA|?|OB|≥32
D．若∠AFB＝60°，則|MN|≤|AB|
【解答】解：∵拋物線C方程為：y2＝4x，
∴拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線l：x＝﹣1，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則y12=4x1，y22=4x2，y1≠y2，
對(duì)A選項(xiàng)，∵曲線C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)B選項(xiàng)，∵|AF|＝x1+1＝4，∴x1＝3，∴|y1|=23，
∴△AOF的面積S△AOF=12|OF|?|y1|=3，∴B選項(xiàng)正確；
對(duì)C選項(xiàng)，∵OA⊥OB，
∴OA→?OB→=x1x2+y1y2=y12y2216+y1y2=0，顯然y1y2≠0，
∴y1y2＝﹣16，x1x2＝16，
∴|OA|?|OB|=x12+y12?x22+y22=(x1x2)2+(y1y2)2+x12y22+x22y12=162+162+4x1x2(x1+x2)
=512+64(x1+x2)≥512+64×2x1x2=32，
當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2＝4時(shí)取等號(hào)，∴C選項(xiàng)正確；
對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，∴x1+x2＝2x0，
∴|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝2（x0+1）＝2|MN|，
在△AFB中，∵∠AFB＝60°，
∴由余弦定理得|AB|2＝|AF|2+|BF|2﹣2|AF|?|BF|cs∠AFB，
∵|AF|?|BF|≤(|AF|+|BF|2)2，
∴|AB|2=(|AF|+|BF|)2-3|AF|?|BF|≥(|AF|+|BF|)2-3?(|AF|+|BF|2)2=|MN|2，
當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|BF|時(shí)取等號(hào)，
∴|MN|≤|AB|，∴D選項(xiàng)正確．
故選：BCD．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．（5分）已知函數(shù)f（x）=x2+1，x＜1ln(x-1)，x＞1，則f（2）＝ 0 ．
【解答】解：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＝ln（x﹣1）
所以f（2）＝ln（2﹣1）＝ln1＝0，
故答案為：0．
14．（5分）函數(shù)f（x）＝cs2x+3csx的最大值為 4 ．
【解答】解：因?yàn)閒（x）＝cs2x+3csx＝2cs2x﹣1+3csx＝2cs2x+3csx﹣1=2(cs2x+32csx)-1=2(csx+34)2-178，
由﹣1≤csx≤1，
所以當(dāng)csx＝1時(shí)，f(x)max=2×(1+34)2-178=4．
故答案為：4．
15．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣2x+13=0相切，則雙曲線C的離心率為 3 ．
【解答】解：不妨取雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=bax，即bx﹣ay＝0，
又圓x2+y2-2x+13=0的方程可化為(x-1)2+y2=23，
∴圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑為63，
由題意可得|b|a2+b2=63，即b2a2+b2=23，
即b2＝2a2，即b2a2=2，
又a2+b2＝c2，
∴雙曲線的離心率為e=1+b2a2=1+2=3，
故答案為：3．
16．（5分）頗受青年朋友喜歡的蛋白石六角錐靈擺吊墜如圖（1）所示，現(xiàn)在我們通過手工制作一個(gè)六角錐吊墜模型．準(zhǔn)備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為10cm，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1為圓O上的點(diǎn)，如圖（2）所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1重合，得到六棱錐，當(dāng)?shù)酌媪呅蔚倪呴L(zhǎng)變化時(shí)，所得六棱錐體積的最大值為 64153 cm3．
【解答】解：連接OE1，交EF于點(diǎn)H，由題意得OE1⊥EF，
設(shè)EF＝2xcm，則OH=3xcm，E1H=(10-3x)cm
因?yàn)?＜2x＜1010-3x＞3x，所以x∈(0，533)，
∴六棱錐的高h(yuǎn)=E1H2-OH2=(10-3x)2-(3x)2=100-203xcm．
∴正六邊形ABCDEF的面積S=6×34×(2x)2=63x2cm2，
則六棱錐的體積V=13Sh=13×63x2100-203x=23100x4-203x5cm3．
令函數(shù)f(x)=100x4-203x5，x∈(0，533)，
則f'(x)=400x3-1003x4=100x3(4-3x)，
當(dāng)x∈(0，433)時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x∈(433，533)時(shí)，f'（x）＜0，
所以f（x）在(0，433)上單調(diào)遞增，在(433，533)上單調(diào)遞減，
所以Vmax=23×(433)2×100-203×433=64153cm3．
故答案為：64153．
四、解答題：本大題共6小題，共70分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)bn＝lg2（an+1），求數(shù)列{1bnbn+1}的前n項(xiàng)和Tn．
【解答】解：（1）證明：∵an+1＝2an+1，
∴an+1+1＝2（an+1），即an+1+1an+1=2，
又a1+1＝2，
故數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）得數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則an+1=2?2n-1，即an=2n-1，
∴bn＝lg2（an+1）＝n，
∴1bnbn+1=1n(n+1)=1n-1n+1，
故Tn=1-12+12-13+?+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1．
18．（12分）進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事．為了普及垃圾分類知識(shí)，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對(duì)每題的概率都為34，乙同學(xué)答對(duì)每題的概率都為p，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙兩位同學(xué)中恰有一人答對(duì)的概率為512．
（1）求p的值及每題甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)答對(duì)的概率；
（2）試求兩人答對(duì)的題數(shù)之和為3的概率．
【解答】解：（1）設(shè)A＝{甲同學(xué)答對(duì)第一題}，B＝{乙同學(xué)答對(duì)第一題}，則P(A)=34，P（B）＝p．
設(shè)D＝{甲、乙二人中恰有一人答對(duì)第一題}，
C＝{甲、乙二人均答對(duì)第一題}，則C＝AB，D=AB+AB．
由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以A與B相互獨(dú)立，AB與AB相互互斥，
所以P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B），P(D)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B)．
由題意可得34(1-p)+14p=512，則p=23，P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=34×23=12，所以p=23，
每題甲、乙同時(shí)答對(duì)的概率為12；
（2）設(shè)Ai＝{甲同學(xué)答對(duì)了i道題}，Bi＝{乙同學(xué)答對(duì)了i道題}，i＝0，1，2．
由題意得，P(A1)=14×34+34×14=38，P(A2)=34×34=916，P(B1)=23×13+13×23=49，P(B2)=23×23=49．
設(shè)E＝{甲乙二人共答對(duì)3道題}，則E＝A1B2+A2B1.由于Ai和Bi相互獨(dú)立，A1B2與A2B1相互互斥，
所以P(E)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=38×49+916×49=512．
所以，甲乙二人共答對(duì)3道題的概率為512．
19．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AP＝AB＝AD＝3BC＝3，且PA⊥平面ABCD．
（1）證明：平面PBC⊥平面PAB；
（2）求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵BC∥AD，∠BAD＝90°，∴AB⊥BC，
∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB．
（2）由（1）易知AB，AD，AP兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如下圖所示：
則P（0，0，3），C（3，1，0），D（0，3，0），
∴PC→=(3，1，-3)，PD→=(0，3，-3)，
設(shè)平面PCD的法向量為m→=(x，y，z)，
則PC→?m→=3x+y-3z=0PD→?m→=3y-3z=0，取y＝3，得m→=(2，3，3)，
易知平面PAB的一個(gè)法向量為n→=(0，1，0)，
∴cs?m→，n→?=m→?n→|m→||n→|=322+32+32=32222，
∴平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為32222．
20．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知sinA+3csA＝0，a＝27，b＝2．
（1）求角A和邊長(zhǎng)c；
（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
【解答】解：（1）∵sinA+3csA＝0，
∴tanA=-3，
∵0＜A＜π，
∴A=2π3，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA，
即28＝4+c2﹣2×2c×（-12），
即c2+2c﹣24＝0，
解得c＝﹣6（舍去）或c＝4，
故c＝4．……（5分）
（2）∵c2＝b2+a2﹣2abcsC，
∴16＝28+4﹣2×27×2×csC，
∴csC=27，
∴CD=ACcsC=227=7，
∴CD=12BC，
∵S△ABC=12AB?AC?sin∠BAC=12×4×2×32=23，
∴S△ABD=12S△ABC=3．…（10分）
21．（12分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，上頂點(diǎn)M與左右頂點(diǎn)連線MA，MB的斜率乘積為-34，焦距為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的點(diǎn)，直線AP與y軸的交點(diǎn)為Q，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作ON∥AP交橢圓于N點(diǎn)，試探究|AP|?|AQ||ON|2是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)P（x0，y0），即x02a2+y02b2=1，
∴kAP?kBP=y0x0+a?y0x0-a=y2x02-a2=-b2a2=-34，
又2c＝4，∴c＝2，
∴a2﹣b2＝4，解得a＝4，b＝23，
∴橢圓C的方程為x216+y212=1；
（2）設(shè)直線PA的方程為y＝k（x+4），（k≠0），則Q（0，4k），
∴直線OM的方程為y＝kx，聯(lián)立直線直線AP所橢圓的方程，
可得（3+4k2）x2+32k2x﹣64k2﹣48＝0，
由xA＝﹣4，可得xP=12-16k23+4k2，
聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程可得，
（3+4k2）x2﹣48＝0，即xM2=483+4k2，
|AP|?|AQ||ON|2=1+k2|xP-xA|?1+k2|xQ-xA|(1+k2|xN|2=|xP+4||0+4||xN|2=2．
∴|AP|?|AQ||ON|2是定值，定值為2．
22．（12分）已知函數(shù)f(x)=axex和函數(shù)g(x)=lnxax有相同的最大值，直線y＝m與兩曲線y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三個(gè)交點(diǎn)，從左到右三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求證：x1x3=x22．
【解答】解：（1）f(x)=axex?f'(x)=a(1-x)ex，g(x)=lnxax?g'(x)=1-lnxax2，
當(dāng)a＜0時(shí)，x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，沒有最大值，不符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值，
即f(x)max=f(1)=ae；
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝e時(shí)，函數(shù)g（x）有最大值，即g(x)max=g(e)=1ae；
于是有ae=1ae?a=±1，
∵a＞0，
∴a＝1；
證明：（2）兩個(gè)函數(shù)大致圖象如下：設(shè)f（x），g（x）圖象的交點(diǎn)為M，
當(dāng)直線y＝m經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，此時(shí)直線y＝m與兩曲線y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三個(gè)交點(diǎn)，
不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，且x1ex1=x2ex2=lnx2x2=lnx3x3=m（*），
由x1ex1=lnx2x2=lnx2elnx2?f(x1)=f(lnx2)，又x1＜1，lnx2＜lne＝1，
又當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以x1＝lnx2，又x2ex2=lnx3x3=lnx3elnx3?f(x2)=f(lnx3)，又x2＞1，lnx3＞lne＝1，
又當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，所以x2＝lnx3，由（*）可得：x3x2=lnx3lnx2=x2lnx2=1m，x2x1=x2lnx2=1m，
于是有x2x1=x3x2，即x1x3=x22．

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