1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
2．（5分）若，則z﹣|z|2＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的標準方程為（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
4．（5分）在公比為負數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣1，a7＝256a3，則a3+2a4+a5＝（ ）
A．48B．﹣48C．80
5．（5分）函數(shù)f（x）＝ex（sinx+csx）在點（0，1）處切線方程為（ ）
A．y＝4x+1B．y＝3x+1C．y＝2x+1D．y＝x+1
6．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，且PF2⊥F2Q，且，則E的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
7．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是棱PD，PC上的動點，則AE+EF+BF的最小值是（ ）
A．2B．3C．2D．1
8．（5分）已知不等式k（x+3）ex＜x+1恰有2個整數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）
（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5＝﹣1，a2+a7＝﹣4，下列選項正確的是（ ）
A．a(chǎn)11＝11
B．{an}是遞減數(shù)列
C．Sn取得最小值時，n＝5或6
D．S7＝﹣21
（多選）10．（5分）某企業(yè)為了了解職工對某部門的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），下列說法正確的是（ ）
A．求頻率分布直方圖中a的值為0.006
B．估計該企業(yè)的職工對該部門評分的中位數(shù)為
C．估計該企業(yè)的職工對該部門評分的平均值為76.5
D．從評分在[40，60）的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[40，50）的概率為
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點分別為x1，x2（x1＜x2），則下列選項正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．f（x1）+f（x2）＝2
C．若f（x2）＜0，則a＞1
D．過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線
（多選）12．（5分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線C上的兩點，AB的中點M在C的準線上的投影為N，則（ ）
A．曲線C的準線方程為x＝﹣2
B．若|AF|＝4，則△AOF的面積為
C．若OA⊥OB，則|OA|?|OB|≥32
D．若∠AFB＝60°，則|MN|≤|AB|
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．（5分）已知函數(shù)f（x），則f（2）＝ ．
14．（5分）函數(shù)f（x）＝cs2x+3csx的最大值為 ．
15．（5分）已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣2x0相切，則雙曲線C的離心率為 ．
16．（5分）頗受青年朋友喜歡的蛋白石六角錐靈擺吊墜如圖（1）所示，現(xiàn)在我們通過手工制作一個六角錐吊墜模型．準備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為10cm，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1為圓O上的點，如圖（2）所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1重合，得到六棱錐，當?shù)酌媪呅蔚倪呴L變化時，所得六棱錐體積的最大值為 cm3．
四、解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)bn＝lg2（an+1），求數(shù)列的前n項和Tn．
18．（12分）進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經(jīng)濟、生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事．為了普及垃圾分類知識，某學校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為，乙同學答對每題的概率都為p，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙兩位同學中恰有一人答對的概率為．
（1）求p的值及每題甲、乙兩位同學同時答對的概率；
（2）試求兩人答對的題數(shù)之和為3的概率．
19．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AP＝AB＝AD＝3BC＝3，且PA⊥平面ABCD．
（1）證明：平面PBC⊥平面PAB；
（2）求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．
20．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知sinAcsA＝0，a＝2，b＝2．
（1）求角A和邊長c；
（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
21．（12分）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A、B，上頂點M與左右頂點連線MA，MB的斜率乘積為，焦距為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點P為橢圓上異于A，B的點，直線AP與y軸的交點為Q，過坐標原點O作ON∥AP交橢圓于N點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
22．（12分）已知函數(shù)和函數(shù)有相同的最大值，直線y＝m與兩曲線y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為x1，x2，x3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求證：x1x3．
2022-2023學年湖南省長沙市天心區(qū)明德中學高二（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，請把答案直接填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．
【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，
則A∩B＝{0，1}．
故選：C．
【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（5分）若，則z﹣|z|2＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．
【解答】解：因為|z|，
所以．
故選：D．
【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
3．（5分）圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的標準方程為（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
【分析】由題意求出圓的半徑，從而求得圓的標準方程．
【解答】解：圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的半徑為2，
故圓的標準方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
故選：B．
【點評】本題主要考查求圓的標準方程，關(guān)鍵是求出圓的半徑，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）在公比為負數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣1，a7＝256a3，則a3+2a4+a5＝（ ）
A．48B．﹣48C．80
【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)可求首項及公比，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求．
【解答】解：在公比為負數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝a1（1+q）＝﹣1，
因為a7＝256a3，
所以q4256，
因為q＜0，
所以q＝﹣4，a1，
則a3+2a4+a5＝a1（q2+2q3+q4）＝48．
故選：A．
【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
5．（5分）函數(shù)f（x）＝ex（sinx+csx）在點（0，1）處切線方程為（ ）
A．y＝4x+1B．y＝3x+1C．y＝2x+1D．y＝x+1
【分析】先求導，再求出f'（0），再利用點斜式可得切線方程．
【解答】解：由已知f'（x）＝ex（csx﹣sinx）+ex（sinx+csx）＝2csxex，
∴f'（0）＝2cs0e0＝2，
∴函數(shù)f（x）＝ex（sinx+csx）在點（0，1）處切線方程為y﹣1＝2（x﹣0），
即y＝2x+1．
故選：C．
【點評】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義在切線求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，且PF2⊥F2Q，且，則E的標準方程為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】連接PF1，QF1，由橢圓的對稱性得四邊形PF1QF2為平行四邊形，根據(jù)|PF2|+|F2Q|＝4，得2a＝4，由三角形面積解得PF2，QF2，計算F1F2即2c，求出b2可得橢圓的標準方程．
【解答】解：如圖，連接PF1，QF1，由橢圓的對稱性得四邊形PF1QF2為平行四邊形，
所以|PF2|+|F2Q|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4，得a＝2．
又因為PF2⊥F2Q，所以四邊形PF1QF2為矩形，設(shè)|PF2|＝m，|QF2|＝n，
則，所以，得m＝n＝2，
則，則，b2＝a2﹣c2＝2，
橢圓的標準方程為．
故選：A．
【點評】本題主要考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．
7．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，△PAB是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是棱PD，PC上的動點，則AE+EF+BF的最小值是（ ）
A．2B．3C．2D．1
【分析】將平面PAD，PCD，PBC展開到一個平面內(nèi)，則AE+EF+BF的最小值即為展開圖中AB的長，利用余弦定理求解即可．
【解答】解：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AD?平面ABCD，AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，
∴AD⊥PA，同理可得BC⊥PB．
由題意可知PA＝PB＝AB＝BC＝CD＝AD＝2，則，∠APD＝∠BPC＝45°．
將平面PAD，PCD，PBC展開到一個平面內(nèi)如圖，則AE+EF+BF的最小值即為展開圖中AB的長．
∵，
從而，故．
在△PAB中，由余弦定理可得，
則，即AE+EF+BF的最小值為．
故選：D．
【點評】本題考查立體幾何中距離的最值問題，考查余弦定理的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
8．（5分）已知不等式k（x+3）ex＜x+1恰有2個整數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍（ ）
A．B．
C．D．
【分析】原不等式k（x+3）ex＜x+1等價于，設(shè)g（x）＝k（x+3），，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點結(jié)合圖象可求．
【解答】解：原不等式k（x+3）ex＜x+1等價于，
設(shè)g（x）＝k（x+3），，所以，得x＝0．
當x＜0時，f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，當x＞0時，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，當x＝0時，f（x）取極大值．
又f（﹣1）＝0，且x＞0時，f（x）＞0，因此g（x）＝k（x+3）與的圖象如下，直線g（x）＝k（x+3）恒過點（﹣3，0）．
當k≤0時，顯然不滿足條件；
當k＞0時，只需要滿足，即，解得．
故選：D．
【點評】本題主要考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力，屬于中檔題．
二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）
（多選）9．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5＝﹣1，a2+a7＝﹣4，下列選項正確的是（ ）
A．a(chǎn)11＝11
B．{an}是遞減數(shù)列
C．Sn取得最小值時，n＝5或6
D．S7＝﹣21
【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量法求出數(shù)列首項和公差，代入選項判斷即可．
【解答】解：不妨設(shè)an＝a1+（n﹣1）da2+a7＝a1+d+a1+6d＝2a1+7d＝﹣4，與a5＝a1+4d＝﹣1聯(lián)立，解得d＝2，a1＝﹣9，即通項an＝2n﹣11，
對于選項A．a(chǎn)11＝2×11﹣11＝11，故A正確；
對于選項B．d＞0，{an}是遞增數(shù)列，故B錯誤；
對于選項C．Sn存在最小值，且有兩個最小值，即S6﹣S5＝0，即a6＝0，與an不符，故C錯誤；
對于選項D．S7＝7a4＝7×（﹣3）＝﹣21，故正確．
故選：AD．
【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）10．（5分）某企業(yè)為了了解職工對某部門的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），下列說法正確的是（ ）
A．求頻率分布直方圖中a的值為0.006
B．估計該企業(yè)的職工對該部門評分的中位數(shù)為
C．估計該企業(yè)的職工對該部門評分的平均值為76.5
D．從評分在[40，60）的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[40，50）的概率為
【分析】結(jié)合頻率分布直方圖的性質(zhì)，對選項進行逐項分析驗證，即可解出．
【解答】解：選項A，由圖可知，（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，所以a＝0.006，故A正確；
選項B，中位數(shù)為：70，故B正確；
選項C，平均值為：（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10＝76.2，故C錯誤；
選項D，評分在[40，60）職工有（0.004+0.006）×10×50＝5人，評分在[40，50）職工有0.004×10×50＝2人，故概率為：，故D正確；
故選：ABD．
【點評】本題考查了古典概型的概率，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
（多選）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點分別為x1，x2（x1＜x2），則下列選項正確的是（ ）
A．a(chǎn)＞0
B．f（x1）+f（x2）＝2
C．若f（x2）＜0，則a＞1
D．過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線
【分析】首先根據(jù)已知條件得到，，再結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項即可．
【解答】解：∵f（x）＝x3﹣3ax+2，∴f'（x）＝3x2﹣3a，
又函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax+2的極值點分別為x1，x2（x1＜x2），
∴3x2﹣3a＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2（x1＜x2），
∴a＞0，故A正確．
對選項B，∵a＞0，∴，
∴，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴，為函數(shù)f（x）的極值點，
∴，故B錯誤．
對選項C，∵，
化簡得，∴a＞1，故C正確；
對選項D，設(shè)切點為，又f'（x）＝3x2﹣3a，切線過（0，2），
∴，即，解得x0＝0，
∴過（0，2）僅能做曲線y＝f（x）的一條切線，故D正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點，利用導數(shù)求曲線的切線問題，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
（多選）12．（5分）已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點，O為坐標原點，A，B是拋物線C上的兩點，AB的中點M在C的準線上的投影為N，則（ ）
A．曲線C的準線方程為x＝﹣2
B．若|AF|＝4，則△AOF的面積為
C．若OA⊥OB，則|OA|?|OB|≥32
D．若∠AFB＝60°，則|MN|≤|AB|
【分析】根據(jù)拋物線的標準方程，求出準線方程判斷A；求出點A的縱坐標計算判斷B；設(shè)出點A，B的坐標，結(jié)合向量垂直的坐標表示及均值不等式求解判斷C；利用拋物線定義結(jié)合余弦定理、均值不等式推理判斷D作答．
【解答】解：∵拋物線C方程為：y2＝4x，
∴拋物線的焦點F（1，0），準線l：x＝﹣1，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則，，y1≠y2，
對A選項，∵曲線C的準線方程為x＝﹣1，∴A選項錯誤；
對B選項，∵|AF|＝x1+1＝4，∴x1＝3，∴，
∴△AOF的面積，∴B選項正確；
對C選項，∵OA⊥OB，
∴，顯然y1y2≠0，
∴y1y2＝﹣16，x1x2＝16，
∴
，
當且僅當x1＝x2＝4時取等號，∴C選項正確；
對D選項，設(shè)點M的橫坐標為x0，∴x1+x2＝2x0，
∴|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝2（x0+1）＝2|MN|，
在△AFB中，∵∠AFB＝60°，
∴由余弦定理得|AB|2＝|AF|2+|BF|2﹣2|AF|?|BF|cs∠AFB，
∵，
∴，
當且僅當|AF|＝|BF|時取等號，
∴|MN|≤|AB|，∴D選項正確．
故選：BCD．
【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
13．（5分）已知函數(shù)f（x），則f（2）＝ 0 ．
【分析】直接代入分段函數(shù)中求值即可．
【解答】解：當x＞1時，f（x）＝ln（x﹣1）
所以f（2）＝ln（2﹣1）＝ln1＝0，
故答案為：0．
【點評】本題考查分段函數(shù)的知識，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）函數(shù)f（x）＝cs2x+3csx的最大值為 4 ．
【分析】先用余弦的二倍角展開，把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于csx的二次函數(shù)求解即可．
【解答】解：因為f（x）＝cs2x+3csx＝2cs2x﹣1+3csx＝2cs2x+3csx﹣1，
由﹣1≤csx≤1，
所以當csx＝1時，．
故答案為：4．
【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
15．（5分）已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的漸近線與圓x2+y2﹣2x0相切，則雙曲線C的離心率為 ．
【分析】結(jié)合已知條件，寫出雙曲線的漸近線方程，然后利用圓心到直線的距離等于半徑求出a，b，c之間的關(guān)系即可求解．
【解答】解：不妨取雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為，即bx﹣ay＝0，
又圓的方程可化為，
∴圓心坐標為（1，0），半徑為，
由題意可得，即，
即b2＝2a2，即，
又a2+b2＝c2，
∴雙曲線的離心率為，
故答案為：．
【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
16．（5分）頗受青年朋友喜歡的蛋白石六角錐靈擺吊墜如圖（1）所示，現(xiàn)在我們通過手工制作一個六角錐吊墜模型．準備一張圓形紙片，已知圓心為O，半徑為10cm，該紙片上的正六邊形ABCDEF的中心為O，A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1為圓O上的點，如圖（2）所示．△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA分別是以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DE，EF，F(xiàn)A為折痕折起△A1AB，△B1BC，△C1CD，△D1DE，△E1EF，△F1FA，使A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1重合，得到六棱錐，當?shù)酌媪呅蔚倪呴L變化時，所得六棱錐體積的最大值為 cm3．
【分析】連接OE1，交EF于點H，由題意得OE1⊥EF，設(shè)EF＝2xcm，則cm，cm，由已知求出，利用條件得六棱錐的體積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)導數(shù)求解即可．
【解答】解：連接OE1，交EF于點H，由題意得OE1⊥EF，
設(shè)EF＝2xcm，則cm，cm
因為，所以，
∴六棱錐的高cm．
∴正六邊形ABCDEF的面積cm2，
則六棱錐的體積cm3．
令函數(shù)，
則，
當時，f'（x）＞0，當時，f'（x）＜0，
所以f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以cm3．
故答案為：．
【點評】本題考查六棱錐體積的最值的求解，函數(shù)思想，導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬中檔題．
四、解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．
17．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝2an+1（n∈N*）．
（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)bn＝lg2（an+1），求數(shù)列的前n項和Tn．
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義變形為an+1+1＝2（an+1），即可證明結(jié)論；
（2）由（1）得數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，可得bn＝n，利用裂項相消法求和，即可得出答案．
【解答】解：（1）證明：∵an+1＝2an+1，
∴an+1+1＝2（an+1），即，
又a1+1＝2，
故數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）得數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，
∴bn＝lg2（an+1）＝n，
∴，
故．
【點評】本題考查數(shù)列求和和等比數(shù)列的定義，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
18．（12分）進行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會、經(jīng)濟、生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事．為了普及垃圾分類知識，某學校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為，乙同學答對每題的概率都為p，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙兩位同學中恰有一人答對的概率為．
（1）求p的值及每題甲、乙兩位同學同時答對的概率；
（2）試求兩人答對的題數(shù)之和為3的概率．
【分析】（1）由互斥事件和對立事件的概率公式列方程可解得p，再求解每題甲、乙兩位同學同時答對的概率；
（2）分別求出兩人答對1道的概率，答對兩道題的概率，兩人共答對3道題，則是一人答對2道題另一人答對1道題，由互斥事件和獨立事件概率公式可得結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)A＝{甲同學答對第一題}，B＝{乙同學答對第一題}，則，P（B）＝p．
設(shè)D＝{甲、乙二人中恰有一人答對第一題}，
C＝{甲、乙二人均答對第一題}，則C＝AB，．
由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以A與B相互獨立，與相互互斥，
所以P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B），．
由題意可得，則，，所以，
每題甲、乙同時答對的概率為；
（2）設(shè)Ai＝{甲同學答對了i道題}，Bi＝{乙同學答對了i道題}，i＝0，1，2．
由題意得，，，，．
設(shè)E＝{甲乙二人共答對3道題}，則E＝A1B2+A2B1.由于Ai和Bi相互獨立，A1B2與A2B1相互互斥，
所以．
所以，甲乙二人共答對3道題的概率為．
【點評】本題考查相互獨立事件的概率計算，屬于中檔題．
19．（12分）如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，BC∥AD，∠BAD＝90°，AP＝AB＝AD＝3BC＝3，且PA⊥平面ABCD．
（1）證明：平面PBC⊥平面PAB；
（2）求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．
【分析】（1）根據(jù)條件證明PA⊥BC，AB⊥BC，再由線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAB，進一步證明面面垂直；
（2）以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面PCD的法向量和平面PAB的法向量，再求出平面PAB與平面PCD夾角的余弦值．
【解答】解：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵BC∥AD，∠BAD＝90°，∴AB⊥BC，
∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB．
（2）由（1）易知AB，AD，AP兩兩垂直，
以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
如下圖所示：
則P（0，0，3），C（3，1，0），D（0，3，0），
∴，
設(shè)平面PCD的法向量為，
則，取y＝3，得，
易知平面PAB的一個法向量為，
∴，
∴平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為．
【點評】本題主要考查二面角的平面角，屬于中檔題．
20．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知sinAcsA＝0，a＝2，b＝2．
（1）求角A和邊長c；
（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．
【分析】（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出A，再根據(jù)余弦定理即可求出，
（2）先根據(jù)夾角求出csC，求出CD的長，得到S△ABDS△ABC．
【解答】解：（1）∵sinAcsA＝0，
∴tanA，
∵0＜A＜π，
∴A，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccsA，
即28＝4+c2﹣2×2c×（），
即c2+2c﹣24＝0，
解得c＝﹣6（舍去）或c＝4，
故c＝4．……（5分）
（2）∵c2＝b2+a2﹣2abcsC，
∴16＝28+4﹣2×22×csC，
∴csC，
∴CD，
∴CDBC，
∵S△ABCAB?AC?sin∠BAC4×22，
∴S△ABDS△ABC．…（10分）
【點評】本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，以及解三角形的問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
21．（12分）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A、B，上頂點M與左右頂點連線MA，MB的斜率乘積為，焦距為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點P為橢圓上異于A，B的點，直線AP與y軸的交點為Q，過坐標原點O作ON∥AP交橢圓于N點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【分析】（1）設(shè)P（x0，y0），kAP?kBP?可得，進而由2c＝4，可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線PA的方程為y＝k（x+4），（k≠0），則Q（0，4k），聯(lián)立方程組可求P的坐標，進而可得，，可求值．
【解答】解：（1）設(shè)P（x0，y0），即1，
∴kAP?kBP?，
又2c＝4，∴c＝2，
∴a2﹣b2＝4，解得a＝4，b＝2，
∴橢圓C的方程為1；
（2）設(shè)直線PA的方程為y＝k（x+4），（k≠0），則Q（0，4k），
∴直線OM的方程為y＝kx，聯(lián)立直線直線AP所橢圓的方程，
可得（3+4k2）x2+32k2x﹣64k2﹣48＝0，
由xA＝﹣4，可得xP，
聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程可得，
（3+4k2）x2﹣48＝0，即，
2．
∴是定值，定值為2．
【點評】本題考查求橢圓的標準方程，考查求定值問題，考查運算求解能力，屬中檔題．
22．（12分）已知函數(shù)和函數(shù)有相同的最大值，直線y＝m與兩曲線y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三個交點，從左到右三個交點橫坐標依次為x1，x2，x3．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求證：x1x3．
【分析】（1）分別對f（x），g（x）求導，得出f（x），g（x）的單調(diào)性，求出f（x），g（x）的最大值，即可求出實數(shù)a的值；
（2）畫出f（x），g（x）的圖象，設(shè)f（x），g（x）圖象的交點為M，直線y＝m經(jīng)過點M時，此時直線y＝m與兩曲線y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三個交點，可得0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，再利用指對同構(gòu)及f（x）的單調(diào)性，即可證明．
【解答】解：（1），，
當a＜0時，x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x＜1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當x＝1時，函數(shù)f（x）有最小值，沒有最大值，不符合題意；
當a＞0時，當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x＜1時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以當x＝1時，函數(shù)f（x）有最大值，
即；
當a＞0時，當x＞e時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當0＜x＜e時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
所以當x＝e時，函數(shù)g（x）有最大值，即；
于是有，
∵a＞0，
∴a＝1；
證明：（2）兩個函數(shù)大致圖象如下：設(shè)f（x），g（x）圖象的交點為M，
當直線y＝m經(jīng)過點M時，此時直線y＝m與兩曲線y＝f（x）和y＝g（x）恰好有三個交點，
不妨設(shè)0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，且（*），
由，又x1＜1，lnx2＜lne＝1，
又當x＜1時，f（x）單調(diào)遞增，所以x1＝lnx2，又，又x2＞1，lnx3＞lne＝1，
又當x＞1時，f（x）單調(diào)遞減，所以x2＝lnx3，由（*）可得：，，
于是有，即．
【點評】本題主要考查了導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了導數(shù)與單調(diào)性及函數(shù)性質(zhì)在等式證明中的應(yīng)用，屬于中檔題．
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