試卷時(shí)量：120分鐘 滿分150命題：高一數(shù)學(xué)備課組 審定：高一數(shù)學(xué)備課組
一?單選題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，每個(gè)小題只有一個(gè)正確答案）
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.設(shè)，命題“存在，使有實(shí)根”的否定是（ ）
A.任意，使無實(shí)根
B.任意，使有實(shí)根
C.存在，使無實(shí)根
D.存在，使有實(shí)根
3.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么等于（ ）
A. B. C. D.
4.若實(shí)數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知的定義域是，則的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
6.關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是（ ）
A.4 B. C.2 D.
7.命題“對任意的，總存在唯一的，使得”成立的充分必要條件是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)相同，則的取值可能是（ ）
A.2 B.-2 C.5 D.4
二?多選題（本題共3個(gè)小題，每小題6分.共18分，每小題有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分.選錯(cuò)得0分，部分選對得3分）
9.已知函數(shù)，則（ ）
A.函數(shù)的最小正周期為
B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D.函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到
10.如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系為，且）.
下列說法正確的是（ ）
A.浮萍每月的增長率為2
B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過
C.浮萍每月增加的面積都相等
D.若浮萍曼延到所經(jīng)過的時(shí)間分別是，則
11.已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則（ ）
A.
B.
C.函數(shù)的增區(qū)間為
D.的最小值為
三?填空題（本題共3個(gè)小題，每題5分，共15分）
12.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.
13.若函數(shù)若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是__________.
14.已知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，則__________.
四?解答題（本題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟.）
15.（本小題滿分13分）計(jì)算下列各式的值：
（1）
（2）
16.（本小題滿分15分）
已知
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
（1）求的對稱軸方程；
（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）
已知函數(shù)（且）為奇函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域及解析式；
（2）若，函數(shù)的最大值比最小值大2，求的值.
19.（本小題滿分17分）
設(shè)正整數(shù)，若由實(shí)數(shù)組成的集合滿足如下性質(zhì)，則稱為集合：對中任意四個(gè)不同的元素，均有.
（1）判斷集合和是否為集合，說明理由；
（2）若集合為集合，求中大于1的元素的可能個(gè)數(shù)；
（3）若集合為集合，求證：中元素不能全為正實(shí)數(shù).
明德中學(xué)2024年上學(xué)期入學(xué)考試
數(shù)學(xué)參考答案
1-8CADAD ADA
9.ACD 10.BD 11.AD
8.【詳解】設(shè)的零點(diǎn)為，則，又，
故，解得，則，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的零點(diǎn)相同，所以方程無解或與方程的解相同，所以或，解得，
所以，故選：A
11.【詳解】
如圖所示：
對于A：方程有三個(gè)解與有3個(gè)交點(diǎn)，從圖中可以看出A正確；
對于B：令得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，令得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由圖可知的范圍應(yīng)該介于，之間，可以取點(diǎn)，不能取點(diǎn)，所以，故B正確；
對于C：的增區(qū)間為，所以的增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；
對于D：關(guān)于對稱，所以，
令得或，由圖可知
等號(hào)當(dāng)時(shí)即時(shí)成立，故D正確.
故選：ABD
12.【答案】 13.【答案】
14.【詳解】令，其中為銳角，
則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，則，
所以，，所以，，，故，
15.
（2）解：由對數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，以及對數(shù)的換底公式，可得：
16.（1）由誘導(dǎo)公式得：，
所以.
（2）由（1）得，由，得.
所以.
17.（1）
令得
所以的對稱軸方程為
（2）因?yàn)?，則，
的函數(shù)值從0遞增到1，又從1遞減回0.令則
依題意得：在上僅有一個(gè)實(shí)根.
令，因?yàn)?br>則需或，
解得：或.
18.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，可得：，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以的定義域?yàn)椋?br>由可得：，所以，
此時(shí)，是奇函數(shù)，符合題意.
（2），
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，
，
所以，解得.
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，
所以，
解得.
綜上，或.
19.【詳解】（1）集合是集合，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
集合不是集合，
取，則，不滿足題中性質(zhì).
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
不妨設(shè)，
①若，因?yàn)?，從而，與矛盾；
②若，因?yàn)?，故?br>所以.
經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)是集合，元素大于1的個(gè)數(shù)為；
③若，因?yàn)椋耘c矛盾；
④若，因?yàn)?，故?br>所以.經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)是集合，元素大于1的個(gè)數(shù)為；
綜上：中大于1的元素的可能個(gè)數(shù)為.
（3）假設(shè)集合中全為正實(shí)數(shù).
若中至少兩個(gè)正實(shí)數(shù)大于，設(shè)，則，
取，則，
而，從而，矛盾；
因此中至多有1個(gè)正實(shí)數(shù)大于.
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
若，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由于，
，
所以，
所以.因?yàn)椋?br>所以
，矛盾.因此當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，集合中至少有4個(gè)不同的正實(shí)數(shù)不大于，
設(shè)，
因?yàn)槭怯邢藜?，設(shè)，其中.
又因?yàn)榧现兄辽儆?個(gè)不同的正實(shí)數(shù)不大于，
所以，且存在，且使互不相同，
則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
于是，

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