試卷時量：120分鐘 滿分150命題：高一數(shù)學(xué)備課組 審定：高一數(shù)學(xué)備課組
一?單選題（本題共8個小題，每小題5分，共40分，每個小題只有一個正確答案）
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.設(shè)，命題“存在，使有實根”的否定是（ ）
A.任意，使無實根
B.任意，使有實根
C.存在，使無實根
D.存在，使有實根
3.已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點，那么等于（ ）
A. B. C. D.
4.若實數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知的定義域是，則的定義域為（ ）
A. B.
C. D.
6.關(guān)于的不等式的解集為，則的最小值是（ ）
A.4 B. C.2 D.
7.命題“對任意的，總存在唯一的，使得”成立的充分必要條件是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的零點相同，則的取值可能是（ ）
A.2 B.-2 C.5 D.4
二?多選題（本題共3個小題，每小題6分.共18分，每小題有多項符合題目要求，全部選對得6分.選錯得0分，部分選對得3分）
9.已知函數(shù)，則（ ）
A.函數(shù)的最小正周期為
B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D.函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
10.如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系為，且）.
下列說法正確的是（ ）
A.浮萍每月的增長率為2
B.第5個月時，浮萍面積就會超過
C.浮萍每月增加的面積都相等
D.若浮萍曼延到所經(jīng)過的時間分別是，則
11.已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，且，則（ ）
A.
B.
C.函數(shù)的增區(qū)間為
D.的最小值為
三?填空題（本題共3個小題，每題5分，共15分）
12.函數(shù)的定義域為__________.
13.若函數(shù)若在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的取值范圍是__________.
14.已知，當(dāng)時，取得最大值，則__________.
四?解答題（本題共5個小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟.）
15.（本小題滿分13分）計算下列各式的值：
（1）
（2）
16.（本小題滿分15分）
已知
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù)
（1）求的對稱軸方程；
（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍.
18.（本小題滿分17分）
已知函數(shù)（且）為奇函數(shù).
（1）求函數(shù)的定義域及解析式；
（2）若，函數(shù)的最大值比最小值大2，求的值.
19.（本小題滿分17分）
設(shè)正整數(shù)，若由實數(shù)組成的集合滿足如下性質(zhì)，則稱為集合：對中任意四個不同的元素，均有.
（1）判斷集合和是否為集合，說明理由；
（2）若集合為集合，求中大于1的元素的可能個數(shù)；
（3）若集合為集合，求證：中元素不能全為正實數(shù).
明德中學(xué)2024年上學(xué)期入學(xué)考試
數(shù)學(xué)參考答案
1-8CADAD ADA
9.ACD 10.BD 11.AD
8.【詳解】設(shè)的零點為，則，又，
故，解得，則，
因為函數(shù)與函數(shù)的零點相同，所以方程無解或與方程的解相同，所以或，解得，
所以，故選：A
11.【詳解】
如圖所示：
對于A：方程有三個解與有3個交點，從圖中可以看出A正確；
對于B：令得，即點的坐標(biāo)為，令得，即點的坐標(biāo)為，
由圖可知的范圍應(yīng)該介于，之間，可以取點，不能取點，所以，故B正確；
對于C：的增區(qū)間為，所以的增區(qū)間為，故C錯誤；
對于D：關(guān)于對稱，所以，
令得或，由圖可知
等號當(dāng)時即時成立，故D正確.
故選：ABD
12.【答案】 13.【答案】
14.【詳解】令，其中為銳角，
則，因為當(dāng)時，取得最大值，則，
所以，，所以，，，故，
15.
（2）解：由對數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)，以及對數(shù)的換底公式，可得：
16.（1）由誘導(dǎo)公式得：，
所以.
（2）由（1）得，由，得.
所以.
17.（1）
令得
所以的對稱軸方程為
（2）因為，則，
的函數(shù)值從0遞增到1，又從1遞減回0.令則
依題意得：在上僅有一個實根.
令，因為
則需或，
解得：或.
18.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，可得：，
因為為奇函數(shù)，所以，即，所以的定義域為，
由可得：，所以，
此時，是奇函數(shù)，符合題意.
（2），
①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，
，
所以，解得.
②當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，
所以，
解得.
綜上，或.
19.【詳解】（1）集合是集合，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
集合不是集合，
取，則，不滿足題中性質(zhì).
（2）當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以.
不妨設(shè)，
①若，因為，從而，與矛盾；
②若，因為，故，
所以.
經(jīng)驗證，此時是集合，元素大于1的個數(shù)為；
③若，因為，所以與矛盾；
④若，因為，故，
所以.經(jīng)驗證，此時是集合，元素大于1的個數(shù)為；
綜上：中大于1的元素的可能個數(shù)為.
（3）假設(shè)集合中全為正實數(shù).
若中至少兩個正實數(shù)大于，設(shè)，則，
取，則，
而，從而，矛盾；
因此中至多有1個正實數(shù)大于.
當(dāng)時，設(shè)，
若，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
由于，
，
所以，
所以.因為，
所以
，矛盾.因此當(dāng)時，.
當(dāng)時，集合中至少有4個不同的正實數(shù)不大于，
設(shè)，
因為是有限集，設(shè)，其中.
又因為集合中至少有4個不同的正實數(shù)不大于，
所以，且存在，且使互不相同，
則，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
于是，
與矛盾.因此，中元素不能全為正實數(shù).

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