2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題03 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（知識解讀）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【專題說明】
二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，一個(gè)難點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)必考的一個(gè)知識點(diǎn)。特別是在壓軸題中，二次函數(shù)和幾何綜合出現(xiàn)的題型，才是最大的區(qū)分度。與面積有關(guān)的問題，更是常見。本節(jié)介紹二次函數(shù)考試題型種，與面積問題的常用解法。同學(xué)們，只要熟練運(yùn)用解法，爐火純青，在考試答題的時(shí)候，能夠輕松答題。
【知識點(diǎn)梳理】
類型一：面積等量關(guān)系
類型二：面積平分
方法一：利用割補(bǔ)
將圖形割（補(bǔ)）成三角形或梯形面積的和差，其中需使三角形的底邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸；（例如以下4、5兩圖中，連結(jié)BD解法不簡便。）
方法二：鉛錘法
（1）求 A、B 兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；
（2）過點(diǎn) C 作 x 軸垂線與 AB 交于點(diǎn) D，可得點(diǎn) D 橫坐標(biāo)同點(diǎn) C；
（3）求直線 AB 解析式并代入點(diǎn) D 橫坐標(biāo)，得點(diǎn) D 縱坐標(biāo)；
（4）根據(jù) C、D 坐標(biāo)求得鉛垂高
（5）
方法三：其他面積方法
如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．
如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．
如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．
如圖1 如圖2 如圖3
【典例分析】
【類型一：面積等量關(guān)系】
【典例21】（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．點(diǎn)P在拋物線上，連接BC，BP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)D在線段BC上，連接PD并延長交x軸于點(diǎn)E，
連接CE，記△DCE的面積為S1，△DBP的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【變式1】（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，c的值；
（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點(diǎn)D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；
（3）P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動點(diǎn)，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點(diǎn)F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【類型二：面積平分】
【典例2】（2022?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)D（4，﹣3），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．
（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
②直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E是直線AD下方的拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(dāng)S1＝2S2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
【變式2】（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【典例3】（深圳）如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），且OB＝OC．
（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；
（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式3】（2021秋?合川區(qū)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△PBD與△BDE的面積之比為1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
專題03 二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（知識解讀）
【專題說明】
二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，一個(gè)難點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)必考的一個(gè)知識點(diǎn)。特別是在壓軸題中，二次函數(shù)和幾何綜合出現(xiàn)的題型，才是最大的區(qū)分度。與面積有關(guān)的問題，更是常見。本節(jié)介紹二次函數(shù)考試題型種，與面積問題的常用解法。同學(xué)們，只要熟練運(yùn)用解法，爐火純青，在考試答題的時(shí)候，能夠輕松答題。
【知識點(diǎn)梳理】
類型一：面積等量關(guān)系
類型二：面積平分
方法一：利用割補(bǔ)
將圖形割（補(bǔ)）成三角形或梯形面積的和差，其中需使三角形的底邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸；（例如以下4、5兩圖中，連結(jié)BD解法不簡便。）
方法二：鉛錘法
（1）求 A、B 兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；
（2）過點(diǎn) C 作 x 軸垂線與 AB 交于點(diǎn) D，可得點(diǎn) D 橫坐標(biāo)同點(diǎn) C；
（3）求直線 AB 解析式并代入點(diǎn) D 橫坐標(biāo)，得點(diǎn) D 縱坐標(biāo)；
（4）根據(jù) C、D 坐標(biāo)求得鉛垂高
（5）
方法三：其他面積方法
如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．
如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．
如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．
如圖1 如圖2 如圖3
【典例分析】
【類型一：面積等量關(guān)系】
【典例21】（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．點(diǎn)P在拋物線上，連接BC，BP．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)D在線段BC上，連接PD并延長交x軸于點(diǎn)E，連接CE，記△DCE的面積為S1，△DBP的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）將B（4，0）、C（0，﹣4）兩點(diǎn)代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣3m﹣4），
則，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x軸，
∴點(diǎn)P與C關(guān)于對稱軸x＝對稱，
∴P（3，﹣4）；
【變式1】（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)，直線x＝3與x軸交于點(diǎn)C．
（1）求a，c的值；
（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線分別與線段AB，直線x＝3交于點(diǎn)D，E，且△BDO與△OCE的面積相等，求直線DE的解析式；
（3）P是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動點(diǎn)，在線段OC和直線x＝3上是否分別存在點(diǎn)F，G，使B，F(xiàn)，G，P為頂點(diǎn)的四邊形是以BF為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)代入拋物線y＝ax2+x+c中得：
解得：；
（2）由（1）知：拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+4，
設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，
則，解得：，
∴AB的解析式為：y＝2x+4，
設(shè)直線DE的解析式為：y＝mx，
∴2x+4＝mx，
∴x＝，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝3m，
∴E（3，3m），
∵△BDO與△OCE的面積相等，CE⊥OC，
∴?3?（﹣3m）＝?4?，
∴9m2﹣18m﹣16＝0，
∴（3m+2）（3m﹣8）＝0，
∴m1＝﹣，m2＝（舍），
∴直線DE的解析式為：y＝﹣x；
【類型二：面積平分】
【典例2】（2022?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)D（4，﹣3），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．
（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
②直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E是直線AD下方的拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，△BDF的面積記為S1，△DEF的面積記為S2，當(dāng)S1＝2S2時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
【解答】解：（1）①∵拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)D（4，﹣3），
∴，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣3；
②由①得y＝x2﹣x﹣3，
當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣x﹣3＝0，
解得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
設(shè)直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1；
（2）設(shè)點(diǎn)E（t，t2﹣t﹣3），F(xiàn)（x，y），過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖1，
∵S1＝2S2，即＝2，
∴＝2，
∴＝，
∵EM⊥x軸，F(xiàn)N⊥x軸，
∴EM∥FN，
∴△BFN∽△BEM，
∴＝＝＝，
∵BM＝6﹣t，EM＝﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t+3，
∴BN＝（6﹣t），F(xiàn)N＝（﹣t2+t+3），
∴x＝OB﹣BN＝6﹣（6﹣t）＝2+t，y＝﹣（﹣t2+t+3）＝t2﹣t﹣2，
∴F（2+t，t2﹣t﹣2），
∵點(diǎn)F在直線AD上，
∴t2﹣t﹣2＝﹣（2+t）﹣1，
解得：t1＝0，t2＝2，
∴E（0，﹣3）或（2，﹣4）；
【變式2】（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，如圖．
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，
則，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x+2．
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cs∠EDG＝cs∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，點(diǎn)D到直線AC的距離取得最大值．
此時(shí)yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；
（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，
直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
則BE：AE＝1：5或5：1
則AE＝5或1，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣3，0），
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直線CP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
聯(lián)立方程組或，
解得：x＝6或﹣，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【典例3】（深圳）如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），且OB＝OC．
（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；
（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1） y＝﹣x2+2x+3 ；x＝1（2）P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（8，﹣45）
【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴點(diǎn)B（3，0），
則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3…①，
函數(shù)的對稱軸為：x＝1；
（2）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，
直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
則BE：AE＝3：5或5：3，
則AE＝或，
即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直線CP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②
聯(lián)立①②并解得：x＝4或8（不合題意值已舍去），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（8，﹣45）．
【變式3】（2021秋?合川區(qū)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△PBD與△BDE的面積之比為1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【答案】（1） y＝﹣x2+5x+6 （2）P（，）
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6；
（2）∵拋物線y＝﹣x2+5x+6過點(diǎn)C，
∴C（0，6），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6，
設(shè)P（m，﹣m2+5m+6），則D（m，﹣m+6），
∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，
∵△PBD與△BDE的面積之比為1：2，
∴PD：DE＝1：2，
∴PE：DE＝3：2，
∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），
解得，m2＝6（舍去），
∴P（，）；

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