?中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練（19）專題?阿氏圓
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、填空題
1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓C，分別交AC、BC于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．

2．如圖，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為4的正方形，⊙B的半徑為2，P是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，則PD＋PC的最小值為 ；PD＋4PC的最小值為 ．

3．如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為 ．

4．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD＋的最小值為 ，PD﹣的最大值為 ．
（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD＋的最小值為 ，PD﹣的最大值為 ．

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），B（4，4），點(diǎn)P在半徑為2的圓O上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為 ．
??
6．如圖，點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，0），⊙C的半徑為，點(diǎn)B在⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值為 ．

7．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為 ．

8．如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PB＋2PC的最小值為 ．


二、解答題
9．如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：

①，
②，
③，
④的最小值．
10．如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．

11．如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC＝1，BD＝2，P為上一動(dòng)點(diǎn)，求PC＋PD的最小值．

12．如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A(-4，-4)，B(0，4)兩點(diǎn)，直線AC：y=-x-6交y軸與點(diǎn)C．點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.
（1）求拋物線y=-x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）連接GB、EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）①在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH、HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A、E、F、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E、H的坐標(biāo)；
②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為⊙E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM的最小值.

13．如圖1，拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．
（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為C1，△AEN的周長(zhǎng)為C2，若，求m的值；
（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．

14．如圖，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以點(diǎn)B為圓心作圓與AC相切，圓C的半徑為，點(diǎn)P為圓B上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．

15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，的半徑為2，點(diǎn)P是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為？

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，P是△AOB外部第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且∠BPA＝135°，則的最小值是多少？

17．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝，連接AF，BD

（1）求證：△BDC≌△AFC
（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD＋AD的值；
（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋AD的最小值．
18．問題提出：
（1）如圖①，在△ABC，AB=AC，BD時(shí)AC邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖做出AB邊上的中線CE，并證明BD=CE；
問題探究：
（2）如圖②，已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，PA=3，求PC+PD最小值．
問題解決：
（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，點(diǎn)M是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，MA=15，當(dāng)MC+MD最小時(shí)，畫出點(diǎn)M的位置，并求出MC+MD最小值．


參考答案：
1．
【分析】取CD的中點(diǎn)N，得AD=CD=2，CN=DN=1，連接PN，PC，BN可證明得，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得結(jié)論．
【詳解】解：取CD的中點(diǎn)N，

∵AC=4，CD=2
∴AD=CD=2，CN=DN=1
連接PN，PC，BN
∵
∴
又
∴
∴
∴
∴
當(dāng)點(diǎn)P在BN上有最小值，且最小值為BN
∵
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短距離問題，證明得出是解答本題的關(guān)鍵．
2． 5
【分析】連接PB、在BC上取一點(diǎn)E，使得BE＝1，連接PE，DE，根據(jù)PB2＝4，BE?BC＝4得PB2＝BE?BC，即，根據(jù)∠PBE＝∠CBP，得△PBE∽△CBP，則，即，因?yàn)镻E+PD≤DE，根據(jù)勾股定理得DE=5，即可得；②連接DB，PB，在BD上取一點(diǎn)E，使得，連接EC，作EF⊥BC于F，根據(jù)BP2＝BE?BD得，根據(jù)∠PBE＝∠PBD得△PBE∽△DBP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，則，，因?yàn)镻E+PC≥EC，所以根據(jù)勾股定理得，即可得
【詳解】解：①如圖，連接PB、在BC上取一點(diǎn)E，使得BE＝1，連接PE，DE，

∵PB2＝4，BE?BC＝4，
∴PB2＝BE?BC，
∴，
∵∠PBE＝∠CBP，
∴△PBE∽△CBP，
∴，
∴，
∵PE+PD≤DE，
在Rt△DCE中，，
∴的最小值為5．
②連接DB，PB，在BD上取一點(diǎn)E，使得，連接EC，作EF⊥BC于F，

∵，，
∴BP2＝BE?BD，
∴，
∵∠PBE＝∠PBD，
∴△PBE∽△DBP，
∴，
∴，
∴，
∵PE+PC≥EC，
在Rt△EFC中，，，根據(jù)勾股定理得，
∴，
∴的最小值為：，
故答案為5，．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
3．
【分析】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．
【詳解】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，

，






在△PDM中，PD-PM＜DM，
當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，

四邊形是正方形

在中，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．
4．
【分析】（1）如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，先證明，得到，所以，而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出得到的最小值，，而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出得到的最大值；
（2）如圖4中，在上取一點(diǎn)，使得，作交于點(diǎn)，解法同（1）．
【詳解】（1）

如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，
，，，
，
，
，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），
的最小值為，
的最小值為，
，
的最大值為，
故答案為：，；
（2）

如圖4中，在上取一點(diǎn)，使得，作交于點(diǎn)，
，，，
，
，
，
，
（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），
的最小值為，
的最小值為，
在中，，，
，，
在中，，
的最小值為，
，
的最大值為，
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合題、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問題．
5．5
【分析】如圖，取點(diǎn)K（1，0），連接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得，推出PK=PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+PA=PB+PK的最小值為BK的長(zhǎng)，計(jì)算即可．
【詳解】如圖，取點(diǎn)K（1，0），連接OP、PK、BK．
??
∵OP=2，OA=4，OK=1，
∴ ，∵∠POK=∠AOP，
∴△POK∽△AOP，
∴，
∴PK=PA，
∴PB+PA=PB+PK，
在△PBK中，PB+PK≥BK，
∴PB+PA=PB+PK的最小值為BK的長(zhǎng)，
∵B（4，4），K（1，0），
∴BK==5．
故答案為5．
【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.
6．5
【分析】在AC上取點(diǎn)P，使∠CBP=∠BAC，可得△CBP∽△CAB，從而得到，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，可得，可得到 ， ，則有，進(jìn)而當(dāng)O、B、P三點(diǎn)共線，且B位于O、P兩點(diǎn)之間時(shí)，OB+BP有最小值，最小值為OP，然后求出直線AC的解析式為 ，可設(shè) ，從而得到，可得點(diǎn) ，即可求解．
【詳解】解：如圖，在AC上取點(diǎn)P，使∠CBP=∠BAC，

∴△CBP∽△CAB，
∴ ，
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，5），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，0），
∴ ，
∵⊙C的半徑為，
∴,
∴，解得： ，
∴，
∴ ，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至AC的下方時(shí)，OB+BP有最小值，
∵OB+BP≥OP，
∴當(dāng)O、B、P三點(diǎn)共線，且B位于O、P兩點(diǎn)之間時(shí)，OB+BP有最小值，最小值為OP，
設(shè)直線AC的解析式為 ，把點(diǎn)C（2，5），A（7，0）代入，得：
，解得： ，
∴直線AC的解析式為 ，
可設(shè) ，
∵ ，
∴ ，解得： 或-1（舍去），
∴ ，
∴點(diǎn) ，
∴
∴的最小值為5．
故答案為：5
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理，兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．
7．
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．
【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，

OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中點(diǎn)I，連接PI，
∴OI＝IB＝，
∵， ，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時(shí)，AP＋PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB?BE＝3，
∴AI＝，
∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），
∴PA＋PB的最小值是AI＝．
故答案是．
【點(diǎn)睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．
8．
【分析】如圖，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，首先證明，得到，所以，而（當(dāng)且僅當(dāng)、P、共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出得到的最小值．
【詳解】
如圖，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，
為的內(nèi)切圓，
，
是等邊三角形，
，，
，
在中，，
，
，，，
，
，
，
，
，
的最小值為的長(zhǎng)度，
的最小值為的長(zhǎng)度，
，，
，
的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段．
9．①；②；③；④．
【分析】①在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說明當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可；
②由，即可求出結(jié)果；
③在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說明當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可；
④由，即可求出結(jié)果．
【詳解】解：①如圖，在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．

∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．
∵在中，．
∴的最小值為；
②∵，
∴的最小值為；
③如圖，在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．

∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．
∵在中，．
∴的最小值為；
④∵，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線，并且理解三點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵．
10．
【分析】連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．由題意易證，即得出，從而得出，由此可知當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)，最后在中利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)即可．
【詳解】如圖，連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．

∵C是OA的中點(diǎn)，
∴．
∴在△OPC和△OEP中，，
∴，
∴，即，
∴，.
∴當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為DE的長(zhǎng)，如圖，

在中， ，
∴ 的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)．正確作出輔助線并理解當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．
11．
【分析】取CO中點(diǎn)M，利用相似三角形的判定和性質(zhì)推出，利用勾股定理即可計(jì)算求解．
【詳解】解：連接CO、OP，取CO中點(diǎn)M，連接DM，PM，
∵OA=AC=1，AC是切線，
∴∠CAO=90°，
∴CO=，

∴OM=，
∴，∠POM=∠COP，
∴，
∴，
∴，
∴，
過M作MH⊥BD于H，MN⊥AB于N，
∴，MN=，
∴，
∵BD是切線，BD=2，
∴∠ABD=90°，
∴四邊形MNBH為矩形，
∴，BH= MN=，
，
∴
∴，即最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是取CO中點(diǎn)M，利用相似三角形的性質(zhì)求解．
12．（1）y=-x2-2x+4；（2）G(-2，4)；（3）①H(0，-1)；②
【詳解】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而利用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程求解即可；
（3）①先判斷出要以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，只有EF為對(duì)角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程即可；
②先取EG的中點(diǎn)P進(jìn)而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=AM，連接CP交圓E于M，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．
詳解：（1）（1）∵點(diǎn)A（-4，-4），B（0，4）在拋物線y=-x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+4；
（2）設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b
∵直線AB過點(diǎn)A(-4，-4)，B(0，4)，
∴，解得，
∴y=2x+4
設(shè)E(m，2m+4)，則G(m，-m2-2m+4)
∵四邊形GEOB是平行四邊形，
∴GE=OB=4，
∴-m2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2
∴G(-2，4)
（3）①設(shè)E(m，2m+4)，則F(m，-m-6)
過A作AN⊥EG，過H作HQ⊥EG
四邊形AFHE是矩形，∴△PFN≌△HEQ，∴AN=QH，∴m+4=-m，解得m=-2，E(-2，0)
EQ=FN=-4+m+6=1
∴H(0，-1)

②由題意可得，E(-2，0)，H(0，-1),∴EH=，即⊙E的半徑為，
∵M(jìn)點(diǎn)在⊙E上，∴EM=
∵A(-4，-4)，E(-2，0)，∴AE=2
在AE上截取EP=EM，則EP=，連接PM，
在ΔEPM與ΔEMA中，∵====，∠PEM=∠MEA，∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=AM
∴線段PC的長(zhǎng)即為AM+CM的最小值
由EP=EM=AE=×2=，AP=AE-PE= , AC=2??∴PC=
即AM+CM的最小值為.
點(diǎn)睛：此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，極值的確定，解（1）的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是利用平行四邊形的對(duì)邊相等建立方程求解，解（3）①的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解，解（3）②的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，是一道中等難度的題目．
13．（1）a＝﹣；y＝﹣x+3；（2）2；（3）
【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，可求得，設(shè)設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，求解即可；
（2）通過相似三角形可得，分別求得的長(zhǎng)，代入求解即可；
（3）在y軸上 取一點(diǎn)M′使得，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)E′使得，通過相似三角形的判定，可得，
【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入拋物線，得
，解得，此時(shí)拋物線解析式為
∴
∵A（4，0），B（0，3），
設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，則，解得，
∴直線AB解析式為．
（2）由題意可得：，，則，
如圖1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴，
∵NE∥OB，
∴

∴，∴，
∵拋物線解析式為，
∴，
∴，解得．
（3）如圖2中，在y軸上 取一點(diǎn)M′使得OM′＝，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)E′使得OE′＝OE．

∵OE′＝2，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，當(dāng)A、M′、E′共線時(shí)，最小，為，
由勾股定理可得
即最小值為
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，作輔助線，構(gòu)造出相似三角形．
14．
【分析】作于，取的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)切線的性質(zhì)得為的半徑，接著證明，得到，所以，而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出得到的最小值．
【詳解】解：

如圖所示，作于，取的中點(diǎn)，連接，，，
為切線，
為的半徑，
，
，，
而，
，
，
，
，
而（當(dāng)且僅當(dāng)、、共線時(shí)取等號(hào)），
而，
∴的最小值為，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段．
15．
【分析】在BC上取點(diǎn)D，使 ，連接AD，PC，可得 ，從而得到△PCD∽△BCP，可得到 ，從而，進(jìn)而的最小值為AD，即可求解．
【詳解】解：如圖，在BC上取點(diǎn)D，使 ，連接AD，PC，

由題意得：PC=2，
∵CD=1，BC=4，
∴ ，
∵∠PCB=∠PCD，
∴△PCD∽△BCP，
∴ ，
∴ ，
∴，
∵AP+PD≥AD，
∴的最小值為AD，
∵ ，
∴的最小值為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
16．
【分析】如圖，取一點(diǎn)T（1，0），連接OP，PT，TD．首先利用四點(diǎn)共圓證明OP=2，再利用相似三角形的性質(zhì)證明PT=PC，推出2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），根據(jù)PD+PT≥DT，求出DT即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取一點(diǎn)T（1，0），連接OP，PT，TD．

∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），
∴OA=OB=2，OC=4，
以O(shè)為圓心OA為半徑作⊙O，在優(yōu)弧AB上取一點(diǎn)Q，連接QB，QA，
∵∠Q=∠AOB=45°，∠APB=135°，
∴∠Q+∠APB=180°，
∴A，P，B，Q四點(diǎn)共圓，
∴OP=OA=2，
∵OP=2，OT=1，OC=4，
∴OP2=OC?OT，
∴，
∵∠POT=∠POC，
∴△POT∽△COP，
∴，
∴PT=PC，
∴2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT=，
∴2PD+PC≥，??
∴2PD+PC的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何問題的最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
17．（1）見解析；（2）或 ；（3）
【分析】（1）利用SAS，即可證明△FCA≌△DCB；
（2）分兩種情況當(dāng)點(diǎn)D，E在AB邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上時(shí)，討論即可求解；
（3）取AC的中點(diǎn)M．連接DM，BM．則CM＝1，可證得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，從而得到當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，即可求解．
【詳解】（1）證明： ∵四邊形CDEF是正方形，
∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠DCB，
∵AC＝CB，
∴△FCA≌△DCB（SAS）；
（2）解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D，E在AB邊上時(shí)，

∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴BD+AD＝；
②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上時(shí)．

BD＝CF＝，
AD＝＝，
∴BD+AD＝，
綜上所述，BD＋AD的值或；
（3）如圖4中．取AC的中點(diǎn)M．連接DM，BM．則CM＝1，

∵CD＝，CM＝1，CA＝2，
∴CD2＝CM?CA，
∴＝，
∵∠DCM＝∠ACD，
∴△DCM∽△ACD，
∴＝＝，
∴DM＝AD，
∴BD+AD＝BD+DM，
∴當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，
最小值．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
18．(1)見解析;(2);(3)2 .
【分析】（1）如圖1中，作線段AB的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)E，連接EC．線段EC即為所求，再根據(jù)SAS證明△BAD≌△CAE即可解決問題；
（2）如圖2中，在AD上截取AE，使得AE＝ ．首先證明△PAE∽△DAP，推出 ，可得，推出PC＋PD＝PC＋PE，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題；
（3）如圖3中，如圖2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．由△MAE∽△DAM，推出
，可得ME＝MD，推出MC＋MD＝MC＋ME，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題；
【詳解】解：（1）如圖1中，作線段AB的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)E，連接EC．線段EC即為所求；

∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，
∴AE＝AD，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）如圖2中，在AD上截取AE，使得AE＝．



∵∠PAE＝∠DAP，
∴△PAE∽△DAP，
∴，
∴PE＝PD，
∴PC＋PD＝PC＋PE，
∵PC＋PE≥EC，
∴PC＋PD的最小值為EC的長(zhǎng)，
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，
∴EC＝，
∴PC＋PD的最小值為 ．
（3）如圖3中，如圖2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．

∵，AE?AD＝9×25＝225，
∴，
∴ ，∵∠MAE＝∠DAM，
∴△MAE∽△DAM，
∴，
∴ME＝MD，
∴MC＋MD＝MC＋ME，
∵M(jìn)C＋ME≥EC，
∴MC＋MD的最小值為EC的長(zhǎng)，
在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，
∴EC＝ ,
∴MC＋MD的最小值為 ．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．

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