1．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD．
2．如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．
3．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數量關系，并證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數量關系，并證明．
4．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝45°．直接寫出BE、DF、EF之間的數量關系；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+DF；
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF＝∠BAD，則結論EF＝BE+DF是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數量關系并證明．
5．（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E、F分別為DC、BC邊上的點，且滿足∠EAF＝45°，連接EF．將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，易證△GAF≌△EAF，從而得到結論：DE+BF＝EF．根據這個結論，若CD＝6，DE＝2，求EF的長．
（2）方法遷移：
如圖②，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，試猜想DE，BF，EF之間有何數量關系，證明你的結論．
（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，試探究線段EF、BE、FD之間的數量關系，請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．
6．（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：
延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系可判斷線段AE的取值范圍是 ；則中線AD的取值范圍是 ；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，此時：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F兩點，連接EF，此時：BE+DF EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結論仍然成立，則∠BCD＝ （用含α的代數式表示）.
7．【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題．
（1）如圖 1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，連結DA、DB、DC，且∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據∠BAC+BDC＝180°，則∠ABD+∠ACD＝180°，因為∠ACD+∠ACE＝180°可證∠ABD＝∠ACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數量關系．根據上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數量關系是 ；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系，并說明理由；
【知識應用】
（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30°所對直角邊等于斜邊一半，則PQ的長為 cm．（結果無需化簡）
8．如圖，點P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．
（1）求點P的坐標．
（2）當∠APB繞點P旋轉時，
①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．
②請求出OA2+OB2的最小值．
專題05 對角互補模型綜合應用（能力提升）
1．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+FD．
【解答】證明：延長CB至M，使BM＝FD，連接AM，如圖所示：
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABM+∠ABC＝180°，
∴∠ABM＝∠D，
在△ABM與△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF＝AM，∠BAM＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠FAE，
∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF，
即∠MAE＝∠EAF，
在△AME與△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴EF＝ME，
∵ME＝BE+BM，
∴EF＝BE+FD．
2．如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．
【解答】證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
3．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數量關系，并證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、BE、FD它們之間的數量關系，并證明．
【解答】證明：（1）如圖1，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG．
∵在△ABG與△ADF中，，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG＝AF，∠1＝∠2．
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
又AE＝AE，
易證△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD
（2）（1）中的結論EF＝BE+FD仍然成立．
證明：如圖2，延長CB至M，使BM＝DF，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM與△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠BAD＝∠EAF．
∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．
在△AME與△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME，即EF＝BE+BM．
∴EF＝BE+DF．
（3）結論EF＝BE+FD不成立，應當是EF＝BE﹣FD．
證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
易證△AEG≌△AEF．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
4．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝45°．直接寫出BE、DF、EF之間的數量關系；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE+DF；
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF＝∠BAD，則結論EF＝BE+DF是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數量關系并證明．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF；
如圖1，將△ADF繞點A順時針旋轉，使AD與AB重合，得到△ABF′，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEF′中，
，
∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF＝EF′，
又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）延長CB到G，使BG＝FD，連接AG，
∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAE，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．
（3）結論不成立，應為EF＝BE﹣DF，
證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD
＝∠EAF＝∠BAD．
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
5．（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點E、F分別為DC、BC邊上的點，且滿足∠EAF＝45°，連接EF．將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，易證△GAF≌△EAF，從而得到結論：DE+BF＝EF．根據這個結論，若CD＝6，DE＝2，求EF的長．
（2）方法遷移：
如圖②，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，試猜想DE，BF，EF之間有何數量關系，證明你的結論．
（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，試探究線段EF、BE、FD之間的數量關系，請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．
【解答】解：（1）方法感悟：
∵將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，
∴GB＝DE＝2，
∵△GAF≌△EAF
∴GF＝EF，
∵CD＝6，DE＝2
∴CE＝4，
∵EF2＝CF2+CE2，
∴EF2＝（8﹣EF）2+16，
∴EF＝5；
（2）方法遷移：
DE+BF＝EF，
理由如下：如圖②，將△ADE繞點A順時針旋轉角度為∠BAD的度數，得到△ABH，
由旋轉可得，AH＝AE，BH＝DE，∠1＝∠2，∠D＝∠ABH，
∵∠EAF＝∠DAB，
∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD，
∴∠HAF＝∠EAF，
∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°，
∴點H、B、F三點共線，
在△AEF和△AHF中，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF＝HF，
∵HF＝BH+BF，
∴EF＝DE+BF．
（3）問題拓展：
EF＝BE﹣FD，
理由如下：在BC上截取BH＝DF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，且AB＝AD，BH＝DF，
∴△ABH≌△ADF（SAS）
∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAE+∠BAH＝∠BAD，
∴∠HAE＝∠BAD＝∠EAF，且AE＝AE，AH＝AF，
∴△HAE≌△FAE（SAS）
∴HE＝EF，
∴EF＝HE＝BE﹣BH＝BE﹣DF．
6．（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：
延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系可判斷線段AE的取值范圍是 ；則中線AD的取值范圍是 ；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，此時：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F兩點，連接EF，此時：BE+DF EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結論仍然成立，則∠BCD＝ （用含α的代數式表示）.
【解答】解：（1）在△ADC與△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案為：2＜AE＜8；1＜AD＜4；
（2）如圖，延長FD至點G，使DG＝DF，連接BG，EG，
∵點D是BC的中點，
∴DB＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵ED⊥FD，FD＝GD，
∴EF＝EG，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF，
故答案為：＞；
（3）BE+DF＝EF，
如圖，延長AB至點G，使BG＝DF，連接CG，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠D，
又∵CB＝CD，BG＝DF，
∴△CBG≌△CDF（SAS），
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠DCF+∠BCE＝70°，
∴∠BCE+∠BCG＝70°，
∴∠ECG＝∠ECF＝70°，
又∵CE＝CE，CG＝CF，
∴△ECG≌△ECF（SAS），
∴EG＝EF，
∵BE+BG＝EG，
∴BE+DF＝EF，
故答案為：＝；
（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
若BE+DF＝EF，
則EG＝EF，
∴△ECF≌△ECG（SSS），
∴∠ECG＝∠ECF，
∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，
故答案為：2α．
7．【閱讀理解】截長補短法，是初中數學幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題．
（1）如圖 1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，連結DA、DB、DC，且∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據∠BAC+BDC＝180°，則∠ABD+∠ACD＝180°，因為∠ACD+∠ACE＝180°可證∠ABD＝∠ACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數量關系．根據上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數量關系是 ；
【拓展延伸】
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數量關系，并說明理由；
【知識應用】
（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30°所對直角邊等于斜邊一半，則PQ的長為 cm．（結果無需化簡）
【解答】解：（1）如圖1，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BDC＝120°，
∴∠BAC+BDC＝180°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACD+∠ACE＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD＝DE，
∴DA＝DE＝DC+CE＝DB+DC；
故答案為：DA＝DB+DC；
（2）DA＝DB+DC，
理由如下：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
∵∠ACE+∠ACD＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，CE＝BD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴DA2+AE2＝DE2，
∴2DA2＝（DB+DC）2，
∴DA＝DB+DC；
（3）如圖3，連接PQ，
∵MN＝2cm，∠QMN＝30°，
∴QN＝MN＝1cm，
∴MQ＝＝（cm），
由（2）可得：PQ＝QM+QN，
解得：PQ＝cm，
故答案為：．
8．如圖，點P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．
（1）求點P的坐標．
（2）當∠APB繞點P旋轉時，
①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．
②請求出OA2+OB2的最小值．
【解答】解：（1）∵點P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，
∴3m﹣1＝﹣2m+4，
∴m＝1，
∴P（2，2）；
（2）①不變．
過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，PM＝PN＝2，
∴四邊形QMPN是正方形，
∴∠MPN＝90°＝∠APB，
∴∠MPB＝∠NPA．
在△PMB和△PNA中，
，
∴△PMB≌△PNA（ASA），
∴BM＝AN，
∴OB+OA＝OM﹣BM+ON+AN＝2OM＝4，
②連接AB，
∵∠AOB＝90°，
∴OA2+OB2＝AB2，
∵∠BPA＝90°，
∴AB2＝PA2+PB2＝2PA2，
∴OA2+OB2＝2PA2，當PA最小時，OA2+OB2也最?。?br>根據垂線段最短原理，PA最小值為2，
∴OA2+OB2的最小值為8．

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