一、復(fù)習(xí)方法
1.以專(zhuān)題復(fù)習(xí)為主。 2.重視方法思維的訓(xùn)練。
3.拓寬思維的廣度，培養(yǎng)多角度、多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣。
二、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
1.專(zhuān)題的選擇要準(zhǔn)，安排時(shí)間要合理。 2.專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)要以題帶知識(shí)。
3.在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要兼顧基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)增加變式和難度，提高能力。
專(zhuān)題09 二次函數(shù)與胡不歸綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）
【專(zhuān)題說(shuō)明】
“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類(lèi)，一般分為2類(lèi)研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。
(1)其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“胡不歸”問(wèn)題；
(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“阿氏圓”問(wèn)題；
前面幾何模型中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“胡不歸”解題方法。本章節(jié)繼續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)與胡不歸綜合應(yīng)用。
【方法技巧】
胡不歸問(wèn)題
識(shí)別條件：動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線（或線段）
方法：
1、將所求線段和改為的形式（）
2、作，使
3、過(guò)點(diǎn)B作交AC于點(diǎn)P
4、的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長(zhǎng)
注意：當(dāng)k＞1時(shí)，
【典例分析】
【典例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PB+PD的最小值為 ；
【典例2】如圖1，拋物線y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．且△ABC的面積為8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的條件下，在第一象限內(nèi)拋物線上有一點(diǎn)T，T的橫坐標(biāo)為t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如圖2，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，求CP+AP的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式1】如圖，已知拋物線y＝x2﹣4x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)Q為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ+CQ的最小值．
所有
【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．若定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)Q是y軸上任意一點(diǎn)，則PQ+QB的最小值為 ．
【變式3】二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C（3，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3）．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）如圖1，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，求PD+PC的最小值；
專(zhuān)題09 二次函數(shù)與胡不歸綜合應(yīng)用（知識(shí)解讀）
【專(zhuān)題說(shuō)明】
“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。此類(lèi)問(wèn)題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來(lái)分類(lèi)，一般分為2類(lèi)研究。即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。
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(2)點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型稱(chēng)之為“阿氏圓”問(wèn)題；
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【方法技巧】
胡不歸問(wèn)題
識(shí)別條件：動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線（或線段）
方法：
1、將所求線段和改為的形式（）
2、作，使
3、過(guò)點(diǎn)B作交AC于點(diǎn)P
4、的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長(zhǎng)
注意：當(dāng)k＞1時(shí)，
【典例分析】
【典例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PB+PD的最小值為 ；
【解答】解：（1）由題意解得，
∴拋物線解析式為y＝x2﹣x﹣，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（，﹣）．
（2）如圖1中，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此時(shí)PB+PD最?。?br>理由：∵OA＝1，OB＝，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，
∴PH＝PB，
∴PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此時(shí)PB+PD最短（垂線段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，
∴sin60°＝，
∴DH＝，
∴PB+PD的最小值為．
故答案為．
【典例2】如圖1，拋物線y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．且△ABC的面積為8．
（1）求m的值；
（2）在（1）的條件下，在第一象限內(nèi)拋物線上有一點(diǎn)T，T的橫坐標(biāo)為t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．
（3）如圖2，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，求CP+AP的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），
令y＝0，則x＝2或x＝﹣m，
∵m＞0，
∴﹣m＜0，
∴A（﹣m，0），B（2，0），
∴AB＝2+m，
令x＝0，則y＝﹣2m，
∴C（0，﹣2m），
∵△ABC的面積為8，
∴×（2+m）×（2m）＝8，
解得m＝2或m＝﹣4（舍）；
（2）當(dāng)m＝2時(shí)，y＝x2﹣4，
∵的橫坐標(biāo)為t，
∴T（t，t2﹣4），
過(guò)點(diǎn)C作EF∥x軸，過(guò)點(diǎn)T作TF⊥EF交于F點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥CT交直線AT于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥EF交于E點(diǎn)，
∵∠DCT＝90°，
∴∠DCE+∠TCF＝90°，
∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠TCF＝∠CDE，
∴△CED∽△TFC，
∴＝＝，
∵∠ATC＝60°，
∴＝，
∵C（0，﹣4），
∴CF＝t，TF＝t2，
∴DE＝t，CE＝t2，
∴D（﹣t2，t﹣4），
設(shè)直線AT的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，
∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，
∴（t﹣1）2＝；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AC交于G點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，
∵A、B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴AP＝BP，
∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠ABG＝∠ACO，
∵AO＝2，CO＝4，
∴AC＝2，
∴sin∠ACO＝，
∴＝，
∴CP＝GP，
∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，
∵cs∠ACO＝＝＝，
∴BG＝，
∴CP+AP的最小值為8，
∵tan∠ACO＝＝＝，
∴OP＝1，
∴P（0，﹣1）．
【變式1】如圖，已知拋物線y＝x2﹣4x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)Q為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，求AQ+CQ的最小值．
所有
【解答】解：在第二象限內(nèi)作∠OCD＝30°，CD與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥CD于點(diǎn)P，連接AP，則∠ODC＝60°，
令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得y＝x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴OD＝OC?tan30°＝，
∴AD＝+1，
∵∠OCD＝30°，
∴PQ＝，
∴AQ+CQ＝AQ+PQ≥AP，
當(dāng)A、Q、P三點(diǎn)依次在同一直線上，且AP⊥CD時(shí)，
AQ+CQ＝AQ+PQ＝AP的值最小，
此時(shí)AP＝AD?sin60°＝，
∴AQ+CQ的最小值為．
【變式2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．若定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)Q是y軸上任意一點(diǎn)，則PQ+QB的最小值為 ．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作直線PD與y軸的夾角∠OPD＝30°，作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，過(guò)B'點(diǎn)作B'E⊥PD交于點(diǎn)E、交y軸于點(diǎn)Q，
∵B'E⊥PD，∠OPE＝30°，
∴QE＝PQ，
∵BQ＝B'Q，
∴PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此時(shí)PQ+QB取最小值，
∵∠OPD＝30°，∠POD＝90°，
∴PD＝2OD，∠ODP＝60°，
∵P的坐標(biāo)為（0，6），
∴PO＝6，
∴OD2+（6）2＝（2OD）2，
∴OD＝6，
∵直線y＝﹣x+4的圖象分別與y軸和x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，
∴A（0，4），B（4，0），
∴OB＝4，
∴OB'＝4，
∴B'D＝10，
∵B'E⊥PD，∠ODP＝60°，
∴∠EB'D＝30°，
∴DE＝B'D＝5，
∴B'E＝＝＝5，
∴PQ+QB取最小值為5，
故答案為：5．
【變式3】二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C（3，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3）．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）如圖1，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，求PD+PC的最小值；
【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c
得到，，解得．
故答案為1，﹣3．
（2）如圖1中，作PH⊥BC于H．
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠PCH＝45°，
在Rt△PCH中，PH＝PC．
∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D、P、H共線時(shí)DP+PC最小，最小值為DH′，
在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，
∴DH′＝BD＝2，
∴DP+PC的最小值為?2＝4．

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