專題5.7 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（知識(shí)講解） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.了解“三線八角”模型特征； 2．掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識(shí)別它們． 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念 1. “三線八角”模型 如圖，直線AB、CD與直線EF相交(或者說兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截)，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱為“三線八角”，如圖1. 圖1 特別說明：： ⑴兩條直線AB,CD與同一條直線EF相交． ⑵“三線八角”中的每個(gè)角是由截線與一條被截線相交而成． 2. 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義 在“三線八角”中，如上圖1， （1）同位角：像∠1與∠5，這兩個(gè)角分別在直線AB、CD的同一方，并且都在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角. （2）內(nèi)錯(cuò)角：像∠3與∠5，這兩個(gè)角都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的兩側(cè)，像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角. （3）同旁內(nèi)角：像∠3和∠6都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的同一旁，像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角. 特別說明：： (1)“三線八角”是指上面四個(gè)角中的一個(gè)角與下面四個(gè)角中的一個(gè)角之間的關(guān)系，顯然是沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角. (2)“三線八角”中共有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角． 要點(diǎn)二、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征 特別說明：：巧妙識(shí)別三線八角的兩種方法： (1)巧記口訣來識(shí)別： 一看三線，二找截線，三查位置來分辨. (2)借助方位來識(shí)別 根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標(biāo)出方位，判斷時(shí)依方位來識(shí)別，如圖2． 【典型例題】 類型一、三線八角??同位角 1．下列圖中和是同位角的是????（????????） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①② 【答案】D 【分析】根據(jù)同位角的定義，即兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．對(duì)每個(gè)圖進(jìn)行判斷即可． 解：①圖中∠1和∠2是同位角，符合題意； ②圖中∠1和∠2是同位角，符合題意； ③圖中∠1和∠2不是同位角，不符合題意； ④圖中∠1和∠2不是同位角，不符合題意； 圖中是同位角的是①②． 故選：D． 【點(diǎn)撥】本題考查了同位角的定義，掌握基本概念是解題的關(guān)鍵． 舉一反三： 【變式1】如圖，和∠A是同位角的有___． 【答案】 【分析】同位角的含義：若兩個(gè)角在截線的同旁，都在被截線的同側(cè)，則這兩個(gè)角為同位角，根據(jù)此含義即可判斷． 解：由圖知：與∠A都是同位角 故答案為： 【點(diǎn)撥】本題考查了同位角的識(shí)別，關(guān)鍵是掌握同位角的含義并能在圖中正確識(shí)別． 【變式2】如圖，在圖中與∠1是同位角的角有_____個(gè)． 【答案】4 【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角，據(jù)此解答即可． 解：如圖，根據(jù)同位角的定義，與∠1是同位角的角有：∠2，∠3，∠4，∠5，共4個(gè)． 故答案為：4． 【點(diǎn)撥】此題主要考查了“三線八角”中的同位角的概念，掌握同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形是解答此題的關(guān)鍵． 類型二、三線八角??內(nèi)錯(cuò)角 2．如圖，的內(nèi)錯(cuò)角是（???） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義判斷即可； 解：、的內(nèi)錯(cuò)角是，故此選項(xiàng)符合題意； 、與是同旁內(nèi)角，故此選項(xiàng)不合題意； 、與是同位角，故此選項(xiàng)不合題意； 、與不是內(nèi)錯(cuò)角，故此選項(xiàng)不合題意； 答案：． 【點(diǎn)撥】本題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角的判定，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵． 舉一反三： 【變式1】如圖，與∠1構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的所有角是_____． 【答案】∠DEF或∠DEC 【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義即可判斷，注意有兩解． 解：∠1與∠DEF可以看成直線AB與直線EF被直線DE所截的內(nèi)錯(cuò)角， ∠1與∠DEC可以看成直線AB與直線AC被直線DE所截的內(nèi)錯(cuò)角， 故答案為∠DEF或∠DEC． 【點(diǎn)撥】本題考查內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解內(nèi)錯(cuò)角的定義，屬于基礎(chǔ)題． 【變式2】如圖，下列兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角的是（????） A． B．∠1與∠3 C．∠2與∠3 D．∠2與∠4 【答案】A 【分析】?jī)?nèi)錯(cuò)角是Z字型． 解：是內(nèi)錯(cuò)角，A正確；∠1與∠3同旁內(nèi)角，B錯(cuò)誤；∠3與∠2是鄰補(bǔ)角，C錯(cuò)誤；∠2與∠4是同位角，D錯(cuò)誤； 故選A 【點(diǎn)撥】此題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、鄰補(bǔ)角的概念，掌握內(nèi)錯(cuò)角的定義是解題的關(guān)鍵． 類型三、三線八角??同旁內(nèi)角 3．如圖，直線a，b被直線c所截，那么∠2的同旁內(nèi)角是（　?。? A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】C 【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角． 解：∵直線a、b被直線c所截， ∴∠2的同旁內(nèi)角是∠4． 故選：C． 【點(diǎn)撥】本題主要考查了同旁內(nèi)角的概念，三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定，同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形． 舉一反三： 【變式1】 如圖，直線a，b被直線c所截，那么∠2的同旁內(nèi)角是（　?。? A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】C 【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角． 解：∵直線a、b被直線c所截， ∴∠2的同旁內(nèi)角是∠4． 故選：C． 【點(diǎn)撥】本題主要考查了同旁內(nèi)角的概念，三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定，同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形． 【變式2】如圖所示，∠EDB的同旁內(nèi)角有_____． 【答案】∠BED，∠FED，∠B 【分析】根據(jù)角位于兩直線的中間，截線的同一側(cè)是同旁內(nèi)角，可得同旁內(nèi)角． 解：∠EDB的同旁內(nèi)角有∠BED，∠FED，∠B． 故答案為：∠BED，∠FED，∠B． 【點(diǎn)撥】本題考查了同旁內(nèi)角．解題的關(guān)鍵是掌握同旁內(nèi)角的定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角． 類型四、三線八角??同位角??內(nèi)錯(cuò)角??同旁內(nèi)角 4．如圖：與成內(nèi)錯(cuò)角的是______；與成同旁內(nèi)角的是______． 【答案】???? 、和???? 、和 【分析】準(zhǔn)確識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截．也就是說，在辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線． 解：如圖，與成內(nèi)錯(cuò)角的是、和，與成同旁內(nèi)角的是：、和． 故答案分別是：、和，、和． 【點(diǎn)撥】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．在復(fù)雜的圖形中識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角時(shí)，應(yīng)當(dāng)沿著角的邊將圖形補(bǔ)全，或者把多余的線暫時(shí)略去，找到三線八角的基本圖形，進(jìn)而確定這兩個(gè)角的位置關(guān)系． 舉一反三： 【變式1】 如圖所示，下列說法不正確的是（　　） A．∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角 B．∠1和∠3是對(duì)頂角 C．∠3和∠4是同位角 D．∠2和∠4是同旁內(nèi)角 【答案】D 【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角的定義逐一分析即可． 解：由圖可得，∠1和∠4是內(nèi)錯(cuò)角，∠1和∠3是對(duì)頂角，∠3和∠4是同位角，∠2和∠4是同位角，而不是同旁內(nèi)角， 故選：D． 【點(diǎn)撥】本題主要考查了三線八角，同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形． 【變式2】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，∠1是∠2的同旁內(nèi)角，∠2是∠3的內(nèi)錯(cuò)角． （1）畫出示意圖，標(biāo)出∠1，∠2，∠3． （2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度數(shù)． 【答案】(1)見解析；(2) 36° 【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角進(jìn)行分析即可，進(jìn)而畫出圖形即可； （2）利用鄰補(bǔ)角的關(guān)系可求出∠3的度數(shù)． 解：（1）如圖所示： （2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3， ∴設(shè)∠3＝x，則∠2＝2x，∠1＝4x， 故x+4x＝180°， 解得：x＝36°， 故∠3的度數(shù)為36°． 【點(diǎn)撥】此題主要考查了三線八角以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，得出∠1與∠3的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 中考真題專練 5．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（????） A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角 C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角 D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角 【答案】D 【分析】?jī)蓷l線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可． 解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知 第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角． 故選：D． 【點(diǎn)撥】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們． 舉一反三： 【變式1】 （2022·廣西賀州·中考真題）如圖，直線a，b被直線c所截，下列各組角是同位角的是（????） A．與 B．與 C．與 D．與 【答案】B 【分析】?jī)蓷l線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角，據(jù)此作答即可． 解：∠1與∠2是對(duì)頂角，選項(xiàng)A不符合題意； ∠1與∠3是同位角，選項(xiàng)B符合題意； ∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角，選項(xiàng)C不符合題意； ∠3與∠4是鄰補(bǔ)角，選項(xiàng)D不符合題意； 故選：B． 【點(diǎn)撥】此題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，熟記同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義是解題的關(guān)鍵． 【變式2】（2021·廣西百色·中考真題）如圖，與∠1是內(nèi)錯(cuò)角的是（????） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】C 【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，即兩條直線被第三條直線所截，位于截線的兩側(cè)，且夾在兩條被截直線之間的兩個(gè)角，解答即可． 解：根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義，得：∠1是內(nèi)錯(cuò)角的是 ． 故選：C 【點(diǎn)撥】本題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并理解內(nèi)錯(cuò)角的定義．

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