一、選擇題（以下每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)，每小題2分，共16分）
1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2．二次函數(shù)的圖像是由二次函數(shù)的圖像（ ）變換得到的．
A．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
B．先向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
C．先向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位
D．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位
3．小華的桌兜里有兩副不同顏色的手套，不看桌兜任意取出兩只，剛好是一副的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，⊙O的直徑垂直于弦，垂足為．若，，則的長(zhǎng)是（ ）

A．B．C．D．
如圖，在等腰中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上時(shí)，連接，則的度數(shù)是（ ）

A．30°B．45°C．55°D．75°
如圖，小強(qiáng)從熱氣球上的A點(diǎn)測(cè)量一棟高樓頂部的仰角，測(cè)量這棟高樓底部的俯角，熱氣球與高樓的水平距離為米，則這棟高樓的高BC為（ ）米．

A．45B．60C．75D．90
如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；
動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，
那么經(jīng)過（ ）秒時(shí)與相似．

A．2秒B．4秒C．或秒D．2或4秒
8 .如圖，已知開口向上的拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．
下列結(jié)論：
①；
②；
③若關(guān)于的方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
④.
其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題（每小題2分，共16分）
9 .若，則的值為 ．
10 .一口袋中裝有10個(gè)紅球和若干個(gè)黃球（這些球除顏色外都相同），通過大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)得知，摸到紅球的頻率為0.4．據(jù)此估計(jì)：口袋中約有 個(gè)黃球．
11．如果拋物線的對(duì)稱軸是，那么 ．
如圖，扇形OAB是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，∠AOB＝120°，的長(zhǎng)為6πcm，
則該圓錐的側(cè)面積為 cm2（結(jié)果保留π） ．

如圖，在中，，，是邊上的中線，則的值是 ．

如圖，輸電塔高．在遠(yuǎn)離高壓輸電塔的處，小宇用測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋?br>已知測(cè)角儀高，則 ．

15．如圖，在⊙O中，＝，AB＝10，BC＝12，D是上一點(diǎn)，CD＝5，則AD的長(zhǎng)為 ．

如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．如下結(jié)論中：
①平分；②；③；④．
所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

解答題（本大題共11個(gè)題，總分68分 ）
17．解一元二次方程：
(1)
(2)
18．下面是小雪設(shè)計(jì)的“作以已知線段為斜邊的等腰直角三角形”的尺規(guī)作圖過程．

已知：線段AB．
求作：以AB為斜邊的一個(gè)等腰直角△ABC．
作法：
（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P、Q兩點(diǎn)；
（2）作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；
（3）以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作圓，交直線PQ于點(diǎn)C；
（4）連接AC，BC．
則△ABC即為所求作的三角形．根據(jù)小雪設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程：
（1）使用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；
（2）完成下面的證明：
證明：∵PA=PB，QA=QB，
∴PQ垂直平分AB（ ）
在⊙O中，
∵AB為直徑，∴∠ACB=90°（ ）
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴AC=BC（ ），
∴△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形．
19．已知關(guān)于的一元二次方程.
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，求的取值范圍.
20．已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，過點(diǎn)（﹣4，0），（0，﹣2）．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)﹣4＜x＜4時(shí)，求y的取值范圍．
21．某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中，開設(shè)的體育社團(tuán)活動(dòng)課有：
A：籃球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門，
學(xué)校李老師對(duì)某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，
制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．
(1)則該班的總?cè)藬?shù)為______人，其中學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是______度；
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
(3)該班班委4人中，2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球，
李老師要從這4人中選2人了解他們對(duì)體育社團(tuán)活動(dòng)課的看法，
請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法，求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率．
22．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB與點(diǎn)P，且PC=BC，求證：BC是⊙O的切線．

23 .如圖，在中，，點(diǎn)D在上，，
過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：；
（2）如果，，求的長(zhǎng)．
如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D是弧BC的中點(diǎn)，
過點(diǎn)D作AC的垂線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AD．
（1）求證：是⊙O的切線；
（2）連接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的長(zhǎng)．

25．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線．
(1)若拋物線過點(diǎn)，求拋物線的對(duì)稱軸；
(2)若為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，，求a的值；
②若對(duì)于，都有，求a的取值范圍．
26 .如圖是某品牌自行車的最新車型實(shí)物圖和簡(jiǎn)化圖，
它在輕量化設(shè)計(jì)、剎車、車籃和座位上都做了升級(jí)．為后胎中心，經(jīng)測(cè)量車輪半徑為，
中軸軸心到地面的距離為，座位高度最低刻度為，
此時(shí)車架中立管長(zhǎng)為，且．
（參考數(shù)據(jù)：，，）
（1）求車座到地面的高度（結(jié)果精確到）；
（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)車座到地面的距離為時(shí)，身高的人騎車比較舒適，
此時(shí)車架中立管拉長(zhǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？（結(jié)果精確到）
27．（1）如圖1，和均為等邊三角形，直線和直線交于點(diǎn)F．填空：
①線段，之間的數(shù)量關(guān)系為________；②的度數(shù)為______．
（2）如圖2所示，和均為等腰直角三角形，，
直線和直線交于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖3所示，和均為直角三角形，，，當(dāng)點(diǎn)B在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段和的長(zhǎng)度．

2023—2024學(xué)年第一學(xué)期北京市九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬試卷 解析
一、選擇題（以下每題只有一個(gè)正確的選項(xiàng)，每小題2分，共16分）
1．【答案】A
解析：
解：A、既軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故A符合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B不符合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故C不符合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故D不符合題意；
故選：A．
2．【答案】C
解：拋物線向右平移1個(gè)單位，得：；
再向下平移2個(gè)單位，得：．
故選：C．
3．【答案】B
設(shè)其中一副手套分別為a，a'；另一副手套分別為b，b'．
共有12種情況，能配成一副的有4種情況，
所以剛好是一副的概率是．
故選：B．
4．【答案】C
解：∵⊙O的直徑垂直于弦，
∴
∵，，
∴CE=1
∴CD=2．
故選：C．
5.【答案】B
解：，，
，
由旋轉(zhuǎn)得，，，
，
，
故選：B．
6.【答案】B
解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故選B．
7.【答案】C
解：設(shè)經(jīng)過秒時(shí), 與相似,
則
,
當(dāng) 時(shí), ,
即
解得：
當(dāng) 時(shí), ,
即
解得：
綜上所述：經(jīng)過或秒時(shí),與相似
故選：C
8 .【答案】D
解：∵拋物線開口向上，
∴，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸，
∴，
∵對(duì)稱軸為，
∴，
∴，
故①正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為，
∴，
∴，
故②正確；
∵函數(shù)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)．
∴關(guān)于的方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故③正確；
∵時(shí)，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正確，
故選：D
二、填空題（每小題2分，共16分）
9 .【答案】
解：∵
∴，
∴ ．
故答案為 ．
10 .【答案】15
解：設(shè)有黃球x個(gè)，由題意得，，
解得，，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
故答案為：15
11．【答案】4
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
故答案為：4．
12 .【答案】27π
解：設(shè)cm
的長(zhǎng)為6πcm，
解得：cm
圓錐的側(cè)面積為cm2
故答案為：27π．
13 .【答案】2
解：∵是邊上的中線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴；
故答案為：2．
14 .【答案】
如圖，作交BE于點(diǎn)C，
根據(jù)題意可知AD=CE=1.7m，BE=41.7m，AC=DE=100m，
∴BC=BE-CE=41.7-1.7=40m，
∴．
故答案為：．
15．【答案】3＋2/
解：過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥AD于F，則∠AEB=∠CFD=90°，
∵＝， AB＝10，
∴∠ACB=∠B=∠D，AB=AC=10，
∵AE⊥BC，BC=12，
∴BE=CE=6，
∴，
∵∠B=∠D，∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE∽△CDF，
∴，
∵AB=10，CD=5，BE=6，AE=8，
∴，
解得：DF=3，CF=4，
在Rt△AFC中，∠AFC=90°，AC=10，CF=4，
則，
∴AD=DF+AF=3＋2，
故答案為：3＋2．
16 .【答案】①②③
由旋轉(zhuǎn)得：AD=AC，∠ADE=∠C，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∴∠ADC=∠ADE，即DA平分∠EDC，故①正確；
∵∠E=∠B，∠AFE=∠BFD，
∴△AEF∽△DBF，故②正確；
∵∠ADB=∠ADE+∠BDF=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C，
∴，故③正確；
∵∠FAD不一定等于∠CAD，AD=AD，∠ADC=∠ADE，
∴不能證明△ADF全等于△ADC，
故CD不一定等于DF，
∴DE-DF不一定等于BC-CD，即無法證明EF=BD，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．
三、解答題（共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第27，28題，每小題7分）
17．【答案】(1)，；
(2)，．
（1）解：∵，，，
∴，
∴，
故方程解為：，．
（2）解：移項(xiàng)得：，
∴，
∴或，
故方程解為：，．
18．【答案】（1）答案見解析；（2）到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，直徑所對(duì)圓周角是直角，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等．
(1)如圖即為補(bǔ)全的圖形；

(2)完成下面的證明：
證明：∵PA=PB，QA=QB，
∴PQ垂直平分AB(到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上)
在⊙O中，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90° (直徑所對(duì)圓周角是直角)
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴AC=BC(相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等)，
∴△ABC為以AB為斜邊的等腰直角三角形．
故答案為：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上、
直徑所對(duì)圓周角是直角、相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等．
19．【答案】（1）見解析；（2）
（1），
∵，
∴方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）∵，
∴，，
∵方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，
∴，
∴．
20．【答案】（1）yx2x﹣2，頂點(diǎn)坐標(biāo)(－1，)；（2）y的取值范圍是y＜4．
(1)∵對(duì)稱軸為x=﹣1，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)(﹣4，0)，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+4)(x﹣2)，把(0，﹣2)代入，
解得：a，
∴拋物線的解析式為y=(x+4)(x﹣2)(x+1)2x2x﹣2；，
故拋物線的解析式為：yx2x﹣2；頂點(diǎn)坐標(biāo)(－1，)；
(2)yx2x﹣2(x+1)2，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，
把x=4代入y=(x+4)(x﹣2)得y=4，
∵﹣4＜﹣1＜4，
∴當(dāng)﹣4＜x＜4時(shí)，y的取值范圍是y＜4．
21．【答案】(1)50，72
(2)見解析
(3)
（1）解：由題意可得：該班的總?cè)藬?shù)為：（人），
學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：，
故答案為：50；72；
（2）解：由題意可得：
選“B：足球”的學(xué)生人數(shù)為：（人），
選“E：兵乓球”的學(xué)生人數(shù)為：（人）
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下；
（3）解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種；
∴選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率為．
22．【答案】證明過程見解析
∵PC=BC，
∴∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CBP=∠APO，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∴∠CBP+∠ABO=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線．
23 .【答案】（1）見解析 （2）
解析：
【小問1】
證明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小問2】
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
24.【答案】（1）見解析；（2）1．
（1） 證明：如下圖所示，連接，
∵D是弧BC的中點(diǎn)，
即
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線.；
（2）解：如下圖所示，連接OC，
∵∠CDA=30°，
∴∠AOC=2∠CDA=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC＝AO＝OD
由（1）可得，AC∥OD，
∴ 四邊形ACDO既是平行四邊形，也是菱形，
∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，
∠CDE=90°－60°＝30°，
∵DE⊥AE, ∠CED＝90°
∴CE=1．
25．【答案】(1)
(2)①，②
（1）解：把點(diǎn)代入得：
，
解得：，
∴該拋物線的表達(dá)式為：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：．
（2）①∵當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：，
∴，解得：．
②∵對(duì)于，都有，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴，解得：．
26 .【答案】（1）；（2）
解：（1）設(shè)與交于，
，，，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
長(zhǎng)為，且，
，
；
答：車座到地面的高度是；
（2）如圖所示，，設(shè)與交于點(diǎn)，則有，
△，得．
即，
．
故．
車架中立管拉長(zhǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)是．
27．【答案】（1）①；②；（2）；；
（3）；
解：（1）①∵和均為等邊三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案為：；
②∵，
∴，
設(shè)交于點(diǎn)O，
∵，
∴，
即．
故答案為：．
（2）結(jié)論：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．

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