2022-2023學年北京市西城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  二次函數(shù)的最小值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的文化底蘊，是中華民族文化的一個組成部分．在中國傳統(tǒng)社會中，扇面形狀的設計與日常生活中的圖案息息相關．下列扇面圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  下列事件中是隨機事件的是(    )A. 明天太陽從東方升起 B. 經過有交通信號燈的路口時遇到紅燈
C. 平面內不共線的三點確定一個圓 D. 任意畫一個三角形，其內角和是4.  如圖，在中，弦，相交于點，，，則的大小是(    )A.  B.  C.  D. 5.  拋物線通過變換可以得到拋物線，以下變換過程正確的是(    )A. 先向右平移個單位，再向上平移個單位
B. 先向左平移個單位，再向下平移個單位
C. 先向右平移個單位，再向下平移個單位
D. 先向左平移個單位，再向上平移個單位6.  要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式每兩隊之間都只賽一場，計劃安排場比賽．如果設邀請個球隊參加比賽，那么根據(jù)題意可以列方程為(    )A.  B.  C.  D. 7.  如圖，在等腰中，，將繞點逆時針旋轉得到，當點的對應點落在上時，連接，則的度數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如表記錄了二次函數(shù)中兩個變量與的組對應值，其中，根據(jù)表中信息，當時，直線與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，則的取值范圍是(    ) A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共16.0分）9.  一元二次方程的解是          ．10.  已知的半徑為，點到圓心的距離為，則點在          填“內”“上”或“外”．11.  若關于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為          ．12.  圓心角是的扇形的半徑為，則這個扇形的面積是          ．13.  點是拋物線上一點，則的值是          ，點關于原點對稱的點的坐標是          ．14.  已知二次函數(shù)滿足條件：圖象過原點；當時，隨的增大而增大．請你寫出一個滿足上述條件的二次函數(shù)的解析式：          ．15.  如圖，在平面直角坐標系中，以點為圓心，為半徑畫圓．將繞點逆時針旋轉得到，使得與軸相切，則的度數(shù)是          ．16.  如圖，是的直徑，為上一點，且，為圓上一動點，為的中點，連接若的半徑為，則長的最大值是          ．三、計算題（本大題共1小題，共5.0分）17.  解方程：．四、解答題（本大題共11小題，共63.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分已知：點，，在上，且．求作：直線，使其過點，并與相切．作法：連接；分別以點，點為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于外一點；作直線．直線就是所求作直線．使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形保留作圖痕跡；完成下面的證明．證明：連接，，，四邊形是菱形．點，，在上，且，________填推理的依據(jù)．四邊形是正方形．，即．為半徑，直線為的切線____填推理的依據(jù)．19.  本小題分已知二次函數(shù)．將化成的形式，并寫出它的頂點坐標；在所給的平面直角坐標系中畫出此函數(shù)的圖象；當時，結合圖象，直接寫出函數(shù)值的取值范圍．20.  本小題分如圖，是的一條弦，點是的中點，連接并延長交劣弧于點，連接，若，，求的面積．21.  本小題分在學習用頻率估計概率時，小明和他的伙伴們設計了一個摸球試驗：在一個不透明帆布袋中裝有白球和紅球共個，這個球除顏色外無其他差別．每次摸球前先將袋中的球攪勻，然后從袋中隨機摸出個球，觀察該球的顏色并記錄，再把它放回．在老師的幫助下，小明和他的伙伴們用計算機模擬這個摸球試驗．如圖顯示的是這個試驗中摸出一個球是紅球的結果．根據(jù)所學的頻率與概率關系的知識，估計從這個不透明的帆布袋中隨機摸出一個球是紅球的概率是____，其中紅球的個數(shù)是____；如果從這個不透明的帆布袋中同時摸出兩個球，用列舉法求摸出的兩個球剛好一個是紅球和一個是白球的概率．22.  本小題分如圖，在四邊形中，，是對角線，將點繞點逆時針旋轉得到點，連接，，．求的度數(shù)；若是等邊三角形，且，，，求的長．23.  本小題分已知關于的方程．求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；設此方程的兩個根分別為，，且，若，求的值． 24.  本小題分如圖，在中，，，點是上一點，以為圓心，長為半徑作圓，使與相切于點，與相交于點過點作，交的延長線于點．若，求的半徑；連接，求證：四邊形是平行四邊形．25.  本小題分跳臺滑雪是冬季奧運會的比賽項目之一．如圖，運動員通過助滑道后在點處起跳經空中飛行后落在著陸坡上的點處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分．這里表示起跳點到地面的距離，表示著陸坡的高度，表示著陸坡底端到點的水平距離．建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度單位：與水平距離單位：近似滿足函數(shù)關系已知，，落點的水平距離是，豎直高度是．點的坐標是____，點的坐標是____；求滿足的函數(shù)關系；運動員在空中飛行過程中，當他與著陸坡豎直方向上的距離達到最大時，直接寫出此時的水平距離．26.  本小題分在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，且．當時，求的值；點，，在拋物線上，若，判斷，與的大小關系，并說明理由． 27.  本小題分如圖，在中，，，，連接，將線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．依題意，補全圖形，并證明：；求的度數(shù)；若為線段的中點，連接，請用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明．28.  本小題分給定圖形 和點，，若圖形上存在兩個不重合的點，，使得點關于點的對稱點與點關于點的對稱點重合，則稱點與點關于圖形雙對合．在平面直角坐標系中，已知點，，．在點，，中，與點關于線段 雙對合的點是____；點是軸上一動點，的直徑為，若點與點關于雙對合，求的取值范圍；當點運動時，若上存在一點與上任意一點關于雙對合，直接寫出點 的橫坐標的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質解答即可．【解答】解：二次函數(shù)，當時，最小值是，故選：．  2.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【解答】解：該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：．  3.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．【解答】解：、明天太陽從東方升起，是必然事件，不符合題意；、經過有交通信號燈的路口時遇到紅燈，是隨機事件，符合題意；、平面內不共線的三點確定一個圓，是必然事件，不符合題意；、任意畫一個三角形，其內角和是，是不可能事件，不符合題意；故選：．  4.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理以及三角形的內角和定理可求出答案．【解答】解：，，，故選：．  5.【答案】 【解析】【分析】先通過拋物線解析式得到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【解答】解：的頂點坐標為，的頂點坐標為，將拋物線先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，可得到拋物線．故選：．  6.【答案】 【解析】【分析】賽制為單循環(huán)形式每兩隊之間都賽一場，個球隊比賽總場數(shù)，
由此可得出方程．【解答】解：設邀請個隊，每個隊都要賽場，但兩隊之間只有一場比賽，由題意得，，故選：．  7.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質與三角形的內角和定理求得與的度數(shù)，再由旋轉性質得與的度數(shù)，并得，根據(jù)等腰三角形與三角形的內角和定理求得的度數(shù)，便可求得．【解答】解：，，，由旋轉性質知，，，，，故選：．  8.【答案】 【解析】【分析】利用二次函數(shù)的圖象的對稱性求得拋物線的對稱軸，利用待定系數(shù)法求得，的值，再利用二次函數(shù)與直線的交點的特性解答即可．【解答】解：由表中信息可知：拋物線經過點和，拋物線的對稱軸為直線，，．根據(jù)表中信息，拋物線經過點，，，解得：拋物線的解析式為．，該拋物線的頂點坐標為，拋物線的開口方向向下，拋物線經過
，．當時，直線與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，．故選：．  9.【答案】， 【解析】【分析】方程變形后，開方即可求出解．【解答】解：方程變形得：，開方得：，解得：，．故答案為：，  10.【答案】外 【解析】【分析】根據(jù)的半徑為和點到圓心的距離的大小關系判斷即可．【解答】解：的半徑為，點到圓心的距離為，，點在外．故答案為：外．  11.【答案】 【解析】【分析】由判別式求解．【解答】解：一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得．故答案為：．  12.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式計算，即可得出結果．【解答】解：該扇形的面積．故答案為：．  13.【答案】 【解析】【分析】將代入即可求得的值，進一步求得點關于原點對稱的點的坐標．【解答】解：點是拋物線上一點，，，點關于原點對稱的點的坐標是．故答案為：，．  14.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)該函數(shù)的增減性確定其系數(shù)的取值，然后代入已知點后即可求得其解析式．【解答】解：當時，隨的增大而增大，拋物線方程中的二次項系數(shù)，對稱軸是直線．圖象過原點，拋物線方程中的常數(shù)項符合題意．答案不唯一，如：．  15.【答案】或 【解析】【分析】分兩種情況，一是點在第一象限，設與軸相切于點，連接、，由切線的性質得，由旋轉的性質得，，根據(jù)勾股定理求得，則，此時；二是點在第二象限，設與軸相切于點，連接、，則，此時．
【解答】解：如圖，點在第一象限，設與軸相切于點，連接、，，，的半徑為，，，由旋轉得，的半徑為，，，，，．如圖，點在第二象限，設與軸相切于點，連接、，，，，，，，，．故答案為：或．  16.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)題意得出點的移動軌跡，再根據(jù)圓外一點到圓上一點最大距離進行計算即可．【解答】解：如圖，當點在上移動時，的中點的軌跡是以為直徑的，因此交于點，此時的值最大，由題意得，，，在中，，，，，故答案為：．  17.【答案】解：，則，解得：，． 【解析】【分析】直接利用配方法解方程的步驟分析得出答案．  18.【答案】解：補全圖形，如圖所示：證明：連接，，如圖：，四邊形是菱形．點，，在上，且，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．四邊形是正方形．，即．為半徑，直線為的切線經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． 【解析】【分析】按要求作圖即可；證明四邊形是正方形，即可得，從而證明直線為的切線．  19.【答案】解：．該函數(shù)的頂點坐標為．，該函數(shù)的頂點坐標為，與軸的交點為，，經過點和點，函數(shù)圖象如下圖所示．當時，由圖象可知，的取值范圍是． 【解析】【分析】根據(jù)配方法，可以將題目中的函數(shù)解析式化為頂點式，然后即可寫出頂點坐標；先求出拋物線的頂點坐標，與軸的兩個點，及其它的兩個點，然后即可畫出相應的函數(shù)圖象；根據(jù)中的函數(shù)圖象，可以寫出當時，函數(shù)值的取值范圍．  20.【答案】解：設的半徑是，點是的中點，過圓心，，，，，，，，，，的面積． 【解析】【分析】設的半徑是，由勾股定理，垂徑定理求出圓的半徑，由三角形的面積公式即可計算。  21.【答案】解：，；由可知帆布袋中有個紅球和個白球．列表如下： 白紅紅紅白 白，紅白，紅白，紅紅  紅，紅紅，紅紅   紅，紅紅    可以看出，從帆布袋中同時摸出兩個球，所有可能出現(xiàn)的結果共有種，即白，紅，白，紅，白，紅，紅，紅，紅，紅，紅，紅，且這些結果出現(xiàn)的可能性相等，其中摸出的兩個球剛好一個是紅球和一個是白球記為事件共有種結果，即白，紅，白，紅，白，紅，所以摸出的兩個球剛好一個是紅球和一個是白球的概率是． 【解析】【分析】通過圖中的數(shù)據(jù)，隨著次數(shù)的增多，摸到紅球的頻率越穩(wěn)定在左右，得出紅球的概率，再用紅球的概率乘總球數(shù)，即可得出紅球的個數(shù)；列表得出所有等可能的情況是，找出符合條件的情況是，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．  22.【答案】解：將點繞點逆時針旋轉得到點，，，是等邊三角形，，的度數(shù)為．是等邊三角形，，．，，．，≌，．，，，在中，，，的長為． 【解析】【分析】由旋轉的性質可得，，從而可得是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質即可解答；利用等邊三角形的性質可得，，再利用等式的性質可得，從而利用證明≌，進而可得，然后利用角的和差關系可得，從而在中，利用勾股定理進行計算即可解答．  23.【答案】證明：，方程有兩個不相等的實數(shù)根．解：解方程，得，，，，，，． 【解析】【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出，由此可證出此方程有兩個不相等的實數(shù)根；利用因式分解法可得出方程的根，結合，根據(jù)，即可找出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．  24.【答案】解：連接．，，．與相切于點，，是等腰直角三角形，，，．故的半徑為．證明：在與中，≌，，．，，  ，  ，四邊形是平行四邊形． 【解析】【分析】連接，根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質以及切線的性質即可得到結論；根據(jù)全等三角形的性質得到，根據(jù)圓周角定理得到，
根據(jù)平行線的判定定理得到  ，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結論．  25.【答案】解：，．把，代入得：解得，所以二次函數(shù)的表達式為．如圖，作  軸分別交拋物線和于、兩點．，，設線段的關系式為，則，解得：，所以線段的關系式為．設，則，則，，當時，有最大值，最大值為．答：運動員到坡面豎直方向上的最大距離時水平距離是． 【解析】【分析】根據(jù)題意可知直接求出，坐標；把，坐標代入，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；作  軸分別交拋物線和于、兩點，先求出的關系式，再分別表示出、的縱坐標，計算縱坐標的差可得答案．  26.【答案】解：，當時，得，．，對稱軸為直線，．．理由：，，．，，．點關于直線的對稱點的坐標是，．．，當時，隨的增大而增大，． 【解析】【分析】將的值代入拋物線和，然后即可求得的值；先求出的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可得到，與的大小關系．  27.【答案】如圖．
證明：，，在和中，≌，．
解：≌，，，，，．解：結論：．理由：如圖，延長到，使得，連接．在和中，，≌，，  ，．，．，，，在和中，，≌，，，． 【解析】【分析】證明≌，可得；證明，可得結論；結論：如圖，延長到，使得，連接利用全等三角形的性質證明，可得結論．  28.【答案】解：、；設，，，點關于點對稱點為，點關于點對稱點為，點與點關于雙對合，點關于點的對稱點在以點為圓心，為半徑的圓上，點關于點的對稱點在以為圓心，為半徑的圓上，如圖所示，點與點關于雙對合，當圓與圓有交點，，，解得．，，，，點關于點的對稱點，點關于點的對稱點，點關于點的對稱點，上任意一點關于點對稱點在陰影區(qū)域，上存在一點與上任意一點關于雙對合，陰影區(qū)域與圓有公共交點，陰影部分是由邊上任意一點為圓心，為半徑的圓構成的區(qū)域，如圖時，，解得；如圖時，，解得；時，上存在一點與上任意一點關于雙對合；  過點作交于，直線交軸于點，設直線的解析式為，，解得，，，直線與平行，，，如圖時，，解得，如圖時，，解得，時，上存在一點與上任意一點關于雙對合；綜上所述：或時，上存在一點與上任意一點關于雙對合．     【解析】【分析】當點是點的中點時，對應點為；當點是點的中點時，對應點為；當點是點的中點時，對應點為；當點是點的中點時，對應點為；當點是點的中點時，對應點為；當點是點的中點時，對應點為；當點是點的中點時，對應點為；當點是點的中點時，對應點為；、與點關于線段雙對合，故答案為：、；設，分別求出點關于點對稱點為，點關于點對稱點為，由題意可知點關于點的對稱點在以點為圓心，為半徑的圓上，點關于點的對稱點在以為圓心，為半徑的圓上，當圓與圓有交點時，點與點關于雙對合再由，可得，求出的值即可；分別求出點關于點的對稱點，點關于點的對稱點，點關于點的對稱點，上的點的對稱點在邊上任意一點為圓心，為半徑的圓構成的區(qū)域，當此區(qū)域與圓有公共交點時，上存在一點與上任意一點關于雙對合，畫出圖形，分別求解即可．  

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