【考點(diǎn)1 因式分解的意義】
【例1】（2023秋?鋼城區(qū)期末）多項(xiàng)式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），則m＝ ．
【變式1-1】（2023春?龍口市月考）若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2﹣3x+k有一個(gè)因式是（x﹣2），則k的值是 ．
【變式1-2】（2023?杭州模擬）若多項(xiàng)式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，則m的值是 ．
【變式1-3】（2023春?永嘉縣校級(jí)期末）若多項(xiàng)式x2+mx+n（m、n是常數(shù)）分解因式后，有一個(gè)因式是x+1，則m﹣n的值為 ．
【考點(diǎn)2 用常規(guī)方法進(jìn)行因式分解】
【例2】（2023春?滕州市校級(jí)月考）分解因式：
（1）﹣2x3+12x2﹣18x；
（2）（a2+4）2﹣16a2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．
【變式2-1】（2023秋?桐柏縣月考）分解因式：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；
（2）3m2n﹣12mn+12n；
（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；
（4）（x2+9）2﹣36x2．
【變式2-2】（2023秋?陵城區(qū)月考）把下列各式分解因式：
（1）6ab3﹣24a3b；
（2）x4﹣8x2+16；
（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；
（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．
【變式2-3】（2022春?槐蔭區(qū)校級(jí)月考）把下列各多項(xiàng)式因式分解：
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4．
【考點(diǎn)3 用分組分解法進(jìn)行因式分解】
【例3】（2023秋?永吉縣期末）閱讀下列材料：
一般地，沒有公因式的多項(xiàng)式，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí)，經(jīng)常把這些項(xiàng)分成若干組，然后各組運(yùn)用提取公因式法或公式法分別進(jìn)行分解，之后各組之間再運(yùn)用提取公因式法或公式法進(jìn)行分解，這種因式分解的方法叫做分組分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分組分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接寫出結(jié)果）．
【變式3-1】（2023春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）先閱讀下面材料，再完成后面的問題：要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成組，并提出a，再把它的后兩項(xiàng)分成組，并提出b，從而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）這時(shí)，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），從而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）這種因式分解的方法叫做分組分解法，如果把一個(gè)多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以利用分組分解法來因式分解．請用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（請你完成分解因式下面的過程）＝ ．
（2）m2﹣mn+mx﹣nx．
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．
【變式3-2】分解因式
（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．
【變式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．
【考點(diǎn)4 用十字相乘法進(jìn)行因式分解】
【例4】（2023秋?微山縣期末）【知識(shí)背景】
八年級(jí)上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關(guān)系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
對(duì)于多項(xiàng)式x2+（p+q）x+pq我們也可這樣分析：它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
類比探究：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，我們也可仿照上述方式進(jìn)行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次項(xiàng)系數(shù)2分解成2與1的積；常數(shù)項(xiàng)﹣6分解成﹣1與6（或﹣6與1，﹣2與3，﹣3與2）的積，但只有當(dāng)﹣2與3時(shí)按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法歸納】
一般地，在分解形如關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成a1與a2的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數(shù)項(xiàng)c分解成c1與c2的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把a(bǔ)1，a2，c1，c2按如圖4所示方式排列，當(dāng)且僅當(dāng)a1c2+a2c1＝b（一次項(xiàng)系數(shù)）時(shí)，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法應(yīng)用】
利用上面的方法將下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
【變式4-1】（2023秋?建昌縣期末）閱讀材料：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，我們很容易計(jì)算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．如將式子x2+2x﹣3分解因式．這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1＝1×1，常數(shù)項(xiàng)﹣3＝（﹣1）×3，一次項(xiàng)系數(shù)2＝（﹣1）+3，可以用下圖十字相乘的形式表示為：
先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用這種方法，將下列多項(xiàng)式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ ；
（3）y2﹣7y+12＝ ；
（4）x2+7x﹣18＝ ．
【變式4-2】（2023秋?新泰市期中）提出問題：你能把多項(xiàng)式x2+5x+6因式分解嗎？
探究問題：如圖1所示，設(shè)a，b為常數(shù)，由面積相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，就可以對(duì)形如x2+（a+b）x+ab的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．觀察多項(xiàng)式x2+（a+b）x+ab的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)為兩數(shù)之和．
解決問題：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
運(yùn)用結(jié)論：
（1）基礎(chǔ)運(yùn)用：把多項(xiàng)式x2+4x﹣21進(jìn)行因式分解．
（2）知識(shí)遷移：對(duì)于多項(xiàng)式4x2﹣4x﹣15進(jìn)行因式分解還可以這樣思考：
將二次項(xiàng)4x2分解成如圖2所示中的兩個(gè)2x的積，再將常數(shù)項(xiàng)﹣15分解成﹣5與3的乘積，圖中的對(duì)角線上的乘積的和為﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次項(xiàng)，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
請用十字相乘法進(jìn)行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
【變式4-3】（2023春?奉化區(qū)校級(jí)期末）【閱讀與思考】
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c進(jìn)行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a（a1c2+a2c1）x+c1c2．反過來，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2，如圖①所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2+bx+c就可以分解為（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．
像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，將式子x2﹣x﹣6分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1＝1×1，把常數(shù)項(xiàng)﹣6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按圖②所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解為（x+2）（x﹣3）．
請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”
分解因式：x2+x﹣6＝ ．
【理解與應(yīng)用】
請你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：
（1）2x2+5x﹣7 ；（2）6x2﹣7xy+2y2＝ ．
【探究與拓展】
對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝ ．
（2）若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值．
（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，請寫出一組符合題意的x，y的值．
【考點(diǎn)5 用整體思想進(jìn)行因式分解】
【例45】（2023秋?濮陽期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：將“x+y”看成整體，設(shè)x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．請你完成下列各題：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；
（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
【變式5-1】（2023秋?開封期末）閱讀下列材料：
材料1：將一個(gè)形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，如果能滿足q＝mn，且p＝m+n，則可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．
解：將“x+y”看成一個(gè)整體，令x+y＝m，則原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．
再將“m”還原，得原式＝（2x+2y+1）2．
上述解題用到了整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題．
（1）根據(jù)材料1，分解因式：x2﹣7x+12．
（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．
【變式5-2】（2023春?南山區(qū)校級(jí)期中）先閱讀材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
則（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解題過程用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你運(yùn)用這種思想方法解答下列問題：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）證明：若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．
【變式5-3】（2023春?驛城區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料：
在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看成一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．
下面是小涵同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4進(jìn)行因式分解的過程．
解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)．
原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）
＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
請根據(jù)上述材料回答下列問題：
（1）小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．差的完全平方公式
D．和的完全平方公式
（2）老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果： ；
（3）請你用換元法對(duì)多項(xiàng)式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4進(jìn)行因式分解．
【考點(diǎn)6 用拆項(xiàng)法進(jìn)行因式分解】
【例6】（2023秋?隆昌市校級(jí)月考）閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項(xiàng)法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運(yùn)用多種方法才能解決問題．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆項(xiàng)法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號(hào)進(jìn)行分組；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．
（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．
（2）請你試一試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．
【變式6-1】（2023春?南京月考）在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．先閱讀，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照這種方法把多項(xiàng)式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
【變式6-2】（2023秋?沂南縣期末）先閱讀下列材料：
我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．
（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分組分解法：
解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．
如：x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
【變式6-3】（2023秋?微山縣月考）【閱讀材料】
對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+2ab+b2可以直接分解為（a+b）2的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我們可以在二次三項(xiàng)式a2+2ab﹣8b2中先加上一項(xiàng)b2，使其成為完全平方式，再減去b2這項(xiàng)，（這里也可把﹣8b2拆成+b2與﹣9b2的和），使整個(gè)式子的值不變．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我們把像這樣將二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．
【應(yīng)用材料】
（1）上式中添（拆）項(xiàng)后先把完全平方式組合在一起，然后用 法實(shí)現(xiàn)分解因式．
（2）請你根據(jù)材料中提供的因式分解的方法，將下面的多項(xiàng)式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．
【考點(diǎn)7 由因式分解求值】
【例7】（2023秋?鐵西區(qū)期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（ ）
A．2B．5C．20D．9
【變式7-1】（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），則m3+2mn﹣n3＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
【變式7-2】（2023秋?東興區(qū)校級(jí)期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ．
【變式7-3】（2023秋?源匯區(qū)校級(jí)期中）若實(shí)數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ ．
【考點(diǎn)8 因式分解的應(yīng)用】
【例8】（2023秋?松滋市期末）如圖，將一塊長方形紙板沿圖中的虛線裁剪成9塊，其中2塊是邊長為a的小正方形，5塊是長為b，寬為a的小長方形，2塊是邊長為b的大正方形．
（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以分解因式為 ；
（2）若這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15．
①則圖中1塊邊長為a的小正方形和1塊邊長為b的大正方形的面積之和為 ；
②試求圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和．
【變式8-1】（2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為a厘米的大正方形，2塊是邊長都為b厘米的小正方形，5塊是長為a厘米，寬為b厘米的相同的小長方形，且a＞b．
（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以因式分解為 ．
（2）若圖中陰影部分的面積為20平方厘米，大長方形紙板的周長為24厘米，求圖中空白部分的面積．
【變式8-2】（2023春?鎮(zhèn)江期中）【活動(dòng)材料】若干個(gè)如圖1所示的長方形和正方形硬紙片
【活動(dòng)要求】用若干塊這樣的長方形和正方形硬紙片拼成一個(gè)新的長方形，通過不同的方法計(jì)算面積，探求相應(yīng)的等式．
例如，由圖2，我們可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
【問題解決】
（1）選取正方形、長方形硬紙片共8塊，拼出如圖3的長方形，直接寫出相應(yīng)的 ；
（2）嘗試借助拼圖的方法，把二次三項(xiàng)式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的圖形畫在圖4的虛線方框內(nèi)；
（3）將2b2﹣3ab+a2分解因式： （直接寫出結(jié)果，不需要畫圖）．
【變式8-3】（2023春?沭陽縣期中）如圖，正方形紙片A類，B類和長方形紙片C類若干張，
（1）①請你選取適當(dāng)數(shù)量的三種紙片，拼成一個(gè)長為（a+2b）、寬為（a+b）的長方形，畫出拼好后的圖形；
②觀察拼圖共用 張A類紙片， 張B類紙片， 張C類紙片．通過面積計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)（a+2b）（a+b）＝ ．
（2）①請你用這三類卡片拼出面積為3a2+4ab+b2的長方形，畫出拼好后的圖形．
②觀察拼圖共用 張A類紙片， 張B類紙片， 張C類紙片．通過面積計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)3a2+4ab+b2＝ ．
③利用拼圖，把下列多項(xiàng)式因式分解
a2+3ab+2b2＝ ；3a2+5ab+2b2＝ ．
專題4.1 因式分解章末重難點(diǎn)突破
【北師大版】

【考點(diǎn)1 因式分解的意義】
【例1】（2023秋?鋼城區(qū)期末）多項(xiàng)式x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），則m＝ ．
【分析】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積，可得答案．
【解答】解：x2+mx+6因式分解得（x﹣2）（x+n），得
x2+mx+6＝（x﹣2）（x+n），（x﹣2）（x+n）＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
x2+mx+6＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
﹣2n＝6，m＝n﹣2．
解得n＝﹣3，m＝﹣5，
故答案為：﹣5．
【變式1-1】（2023春?龍口市月考）若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式x2﹣3x+k有一個(gè)因式是（x﹣2），則k的值是 ．
【分析】設(shè)另一個(gè)因式為x+m，則x2﹣3x+k＝（x+m）（x﹣2），根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，即可得出答案．
【解答】解：設(shè)另一個(gè)因式為x+m，則x2﹣3x+k＝（x+m）（x﹣2），
而（x+m）（x﹣2）＝x2+（m﹣2）x﹣2m，
∴m﹣2＝﹣3，
解得m＝﹣1，
∴k＝﹣2m＝2．
故答案為：2．
【變式1-2】（2023?杭州模擬）若多項(xiàng)式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，則m的值是 ．
【分析】設(shè)另一個(gè)因式是x+a，根據(jù)已知得出（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，再進(jìn)行化簡，即可求出a、m值．
【解答】解：∵多項(xiàng)式x3+x+m含有因式x2﹣x+2，
∴設(shè)另一個(gè)因式是x+a，
則（x2﹣x+2）（x+a）＝x3+x+m，
∵（x2﹣x+2）（x+a）
＝x3+ax2﹣x2﹣ax+2x+2a
＝x3+（a﹣1）x2+（﹣a+2）x+2a，
∴a﹣1＝0，2a＝m，
解得：a＝1，m＝2，
故答案為：2．
【變式1-3】（2023春?永嘉縣校級(jí)期末）若多項(xiàng)式x2+mx+n（m、n是常數(shù)）分解因式后，有一個(gè)因式是x+1，則m﹣n的值為 ．
【分析】設(shè)另一個(gè)因式為x+a，因?yàn)檎匠朔ㄊ且蚴椒纸獾哪孢\(yùn)算，所以將兩個(gè)因式相乘后結(jié)果得x2+mx+n，根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)相等列式，計(jì)算可得m﹣n的值．
【解答】解：設(shè)另一個(gè)因式為x+a，
則x2+mx+n＝（x+1）（x+a）＝x2+ax+x+a＝x2+（a+1）x+a，
由此可得，
由①得：a＝m﹣1③，
把③代入②得：n＝m﹣1，
m﹣n＝1，
故答案為：1．
【考點(diǎn)2 用常規(guī)方法進(jìn)行因式分解】
【例2】（2023春?滕州市校級(jí)月考）分解因式：
（1）﹣2x3+12x2﹣18x；
（2）（a2+4）2﹣16a2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2．
【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；
（2）先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；
（3）利用提公因式法分解即可；
（4）利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）﹣2x3+12x2﹣18x
＝﹣2x（x2﹣6x+9）
＝﹣2（x﹣3）2；
（2）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2；
（3）2（y﹣x）2﹣6（x﹣y）
＝2（x﹣y）2﹣6（x﹣y）
＝2（x﹣y）（x﹣y﹣3）；
（4）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2
＝[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]
＝（4a﹣4b+3a+3b）（4a﹣4b﹣3a﹣3b）
＝（7a﹣b）（a﹣7b）．
【變式2-1】（2023秋?桐柏縣月考）分解因式：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；
（2）3m2n﹣12mn+12n；
（3）（x+2y）2﹣4（x+2y﹣1）；
（4）（x2+9）2﹣36x2．
【分析】（1）將y﹣x變形為﹣（x﹣y），提公因式即可；
（2）先提公因式再用完全平方公式分解因式即可；
（3）把（x+2y）看作整體，利用完全平方公式分解因式即可；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式即可．
【解答】解：（1）原式＝a（x﹣y）﹣b（x﹣y）
＝（x﹣y）（a﹣b）；
（2）原式＝3n（m2﹣4m+4）
＝3n（m﹣2）2；
（3）原式＝（x+2y）2﹣4（x+2y）+4
＝（x+2y﹣2）2；
（4）原式＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）
＝（x+3）2（x﹣3）2．
【變式2-2】（2023秋?陵城區(qū)月考）把下列各式分解因式：
（1）6ab3﹣24a3b；
（2）x4﹣8x2+16；
（3）a2（x+y）﹣b2（y+x）；
（4）4m2n2﹣（m2+n2）2．
【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（2）先用完全平方公式，再用平方差公式分解因式，最后用積的乘方；
（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；
（4）先用平方差公式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：（1）原式＝6ab（b2﹣4a2）
＝6ab（b+2a）（b﹣2a）；
（2）原式＝（x2﹣4）2
＝[（x+2）（x﹣2）]2
＝（x﹣2）2（x+2）2；
（3）原式＝（x+y）（a2﹣b2）
＝（x+y）（a+b）（a﹣b）；
（4）原式＝（2mn+m2+n2）（2mn﹣m2﹣n2）
＝﹣（m+n）2（m﹣n）2．
【變式2-3】（2022春?槐蔭區(qū)校級(jí)月考）把下列各多項(xiàng)式因式分解：
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解；
（2）（3）先把（b﹣a）用﹣（a﹣b）表示，再提取公因式；
（4）先利用平方差公式再利用完全平方公式分解；
（5）把m2﹣5看成一個(gè)整體，先利用完全平方公式，再用平方差公式因式分解；
（6）先利用完全平方公式，再利用平方差公式因式分解．
【解答】解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4
＝﹣3xy2（x2﹣2xy+y2）
＝﹣3xy2（x﹣y）2；
（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）
＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）
＝3（a﹣b）（x+2y）；
（3）18b（a﹣b）2+12（b﹣a）3
＝18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3
＝6（a﹣b）2[3b﹣2（a﹣b）]
＝6（a﹣b）2（3b﹣2a+2b）
＝6（a﹣b）2（5b﹣2a）；
（4）（x2+16y2）2﹣64x2y2；
＝（x2+16y2）2﹣（8xy）2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2；
（5）（m2﹣5）2+8（m2﹣5）+16
＝（m2﹣5+4）2
＝（m2﹣1）2
＝[（m+1）（m﹣1）]2
＝（m+1）2（m﹣1）2；
（6）16x4﹣72x2y2+81y4
＝（4x2﹣9y2）2
＝[（2x+3y）（2x﹣3y）]2
＝（2x+3y）2（2x﹣3y）2．
【考點(diǎn)3 用分組分解法進(jìn)行因式分解】
【例3】（2023秋?永吉縣期末）閱讀下列材料：
一般地，沒有公因式的多項(xiàng)式，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí)，經(jīng)常把這些項(xiàng)分成若干組，然后各組運(yùn)用提取公因式法或公式法分別進(jìn)行分解，之后各組之間再運(yùn)用提取公因式法或公式法進(jìn)行分解，這種因式分解的方法叫做分組分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分組分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （a+b+1）（a+b﹣1） （直接寫出結(jié)果）．
【分析】（1）①直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
②直接將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)組合，提取公因式，進(jìn)而分解因式即可；
（2）將前三項(xiàng)利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；
（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．
故答案為：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【變式3-1】（2023春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）先閱讀下面材料，再完成后面的問題：要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成組，并提出a，再把它的后兩項(xiàng)分成組，并提出b，從而得到am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）這時(shí)，由于a（m+n）+b（m+n）中又有公因式（m+n），于是提取公因式（m+n），從而得到（m+n）（a+b），因此有am+an+bm+bn＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）這種因式分解的方法叫做分組分解法，如果把一個(gè)多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以利用分組分解法來因式分解．請用上面材料中提供的方法因式分解：
（1）ab﹣ac+bc﹣b2＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c）（請你完成分解因式下面的過程）＝ （b﹣c）（a﹣b） ．
（2）m2﹣mn+mx﹣nx．
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16．
【分析】（1）提公因式（b﹣c）即可；
（2）先分組，使因式分解先在組內(nèi)進(jìn)行，再使分組在組與組之間進(jìn)行即可；
（3）前兩項(xiàng)提公因式x2y，后兩項(xiàng)利用平方差公式，再進(jìn)行提公因式即可．
【解答】解：（1）提公因式（b﹣c）得，（b﹣c）（a﹣b），
故答案為：（b﹣c）（a﹣b）；
（2）m2﹣mn+mx﹣nx
＝m（m﹣n）+x（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+x）；
（3）x2y2﹣2x2y﹣4y2+16
＝x2y（y﹣2）﹣（4y+8）（y﹣2）
＝（y﹣2）（x2y﹣4y﹣8）．
【變式3-2】分解因式
（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3．
【分析】（1）首先利用補(bǔ)項(xiàng)法再利用完全平方公式分解即可，再利用平方差公式分解得出；
（2）先利用十字相乘法把前三項(xiàng)化為兩個(gè)因式積的形式，再把后三項(xiàng)湊出前兩項(xiàng)中任意整式，提取公因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy﹣3y2+2x+10y﹣8
＝x2+2x（1﹣y）﹣3y2+10y﹣8
＝x2+2x（1﹣y）+（1﹣y）2﹣（1﹣y）2﹣3y2+10y﹣8
＝[x+（1﹣y）]2﹣1+2y﹣y2+﹣3y2+10y﹣8
＝[x+（1﹣y）]2﹣（4y2﹣12y+9）
＝[x+（1﹣y）]2﹣（2y﹣3）2
＝[x+（1﹣y）﹣（2y﹣3）][x+（1﹣y）+（2y﹣3）]
＝（x﹣3y+4）（x+y﹣2）；
（2）4x2﹣4xy﹣3y2﹣4x+10y﹣3
＝（2x﹣3y）（2x+y）﹣3（2x﹣3y）+（2x+y）﹣3
＝（2x﹣3y）（2x+y﹣3）+（2x+y﹣3）
＝（2x﹣3y+1）（2x+y﹣3）．
【變式3-3】因式分解：2ax+2ay﹣3bx+4cy+4cx﹣3by．
【分析】首先將第1，2項(xiàng)組合以及將第3，6相結(jié)合和第4，5項(xiàng)結(jié)合提取公因式求出即可．
【解答】解：2ax+2ay﹣3bx+4cy﹣4cx﹣3by
＝2a（x+y）﹣3b（x+y）+4c（y+x）
＝（x+y）（2a﹣3b+4c）．
【考點(diǎn)4 用十字相乘法進(jìn)行因式分解】
【例4】（2023秋?微山縣期末）【知識(shí)背景】
八年級(jí)上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關(guān)系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
對(duì)于多項(xiàng)式x2+（p+q）x+pq我們也可這樣分析：它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次項(xiàng)系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項(xiàng)6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
類比探究：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，我們也可仿照上述方式進(jìn)行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次項(xiàng)系數(shù)2分解成2與1的積；常數(shù)項(xiàng)﹣6分解成﹣1與6（或﹣6與1，﹣2與3，﹣3與2）的積，但只有當(dāng)﹣2與3時(shí)按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項(xiàng)系數(shù)﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法歸納】
一般地，在分解形如關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)a分解成a1與a2的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數(shù)項(xiàng)c分解成c1與c2的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把a(bǔ)1，a2，c1，c2按如圖4所示方式排列，當(dāng)且僅當(dāng)a1c2+a2c1＝b（一次項(xiàng)系數(shù)）時(shí)，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法應(yīng)用】
利用上面的方法將下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
【分析】（1）根據(jù)6＝﹣2×（﹣3），﹣5＝﹣2+（﹣3），進(jìn)行分解即可；
（2）根據(jù)10＝2×5，﹣21＝3×（﹣7），1＝2×（﹣7）+5×3，進(jìn)行分解即可；
（3）先把x2﹣4x看成一個(gè)整體，利用十字相乘法分解成（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3），然后再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
（2）10x2+x﹣21＝（2x+3）（5x﹣7）；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12
＝（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3）
＝（x﹣2）2（x﹣1）（x﹣3）．
【變式4-1】（2023秋?建昌縣期末）閱讀材料：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，我們很容易計(jì)算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．如將式子x2+2x﹣3分解因式．這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1＝1×1，常數(shù)項(xiàng)﹣3＝（﹣1）×3，一次項(xiàng)系數(shù)2＝（﹣1）+3，可以用下圖十字相乘的形式表示為：
先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用這種方法，將下列多項(xiàng)式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ （x+2）（x+5） ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ （x﹣3）（x+1） ；
（3）y2﹣7y+12＝ （y﹣3）（y﹣4） ；
（4）x2+7x﹣18＝ （x+9）（x﹣2） ．
【分析】（1）把10分解成2×5；
（2）把﹣3分解成﹣3×1；
（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；
（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；
【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；
（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．
故答案為：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．
【變式4-2】（2023秋?新泰市期中）提出問題：你能把多項(xiàng)式x2+5x+6因式分解嗎？
探究問題：如圖1所示，設(shè)a，b為常數(shù)，由面積相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，就可以對(duì)形如x2+（a+b）x+ab的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．觀察多項(xiàng)式x2+（a+b）x+ab的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)為兩數(shù)之和．
解決問題：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
運(yùn)用結(jié)論：
（1）基礎(chǔ)運(yùn)用：把多項(xiàng)式x2+4x﹣21進(jìn)行因式分解．
（2）知識(shí)遷移：對(duì)于多項(xiàng)式4x2﹣4x﹣15進(jìn)行因式分解還可以這樣思考：
將二次項(xiàng)4x2分解成如圖2所示中的兩個(gè)2x的積，再將常數(shù)項(xiàng)﹣15分解成﹣5與3的乘積，圖中的對(duì)角線上的乘積的和為﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次項(xiàng)，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
請用十字相乘法進(jìn)行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
【分析】根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點(diǎn)，分解即可．
【解答】解：①原式＝（3x+2）（x﹣7）；
②原式＝（2a﹣3b）（3a﹣2b）．
【變式4-3】（2023春?奉化區(qū)校級(jí)期末）【閱讀與思考】
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式ax2+bx+c進(jìn)行因式分解呢？我們已經(jīng)知道，（a1x+c1）（a2x+c2）＝a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2＝a（a1c2+a2c1）x+c1c2．反過來，就得到：a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2，如圖①所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù)b，那么ax2+bx+c就可以分解為（a1x+c1）（a2x+c2），其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．
像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，將式子x2﹣x﹣6分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即1＝1×1，把常數(shù)項(xiàng)﹣6也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即﹣6＝2×（﹣3）；然后把1，1，2，﹣3按圖②所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到1×（﹣3）+1×2＝﹣1，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)﹣1，于是x2﹣x﹣6就可以分解為（x+2）（x﹣3）．
請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖③的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”
分解因式：x2+x﹣6＝ （x+3）（x﹣2） ．
【理解與應(yīng)用】
請你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：
（1）2x2+5x﹣7 （x﹣1）（2x+7） ；（2）6x2﹣7xy+2y2＝ （2x﹣y）（3x﹣2y） ．
【探究與拓展】
對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關(guān)于x，y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖④，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k），請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝ （x+2y﹣1）（3x﹣y+4） ．
（2）若關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求m的值．
（3）已知x，y為整數(shù)，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，請寫出一組符合題意的x，y的值．
【分析】【閱讀與思考】根據(jù)閱讀材料中的方法分解即可；
【理解與應(yīng)用】利用得出的十字相乘法分解即可；
【探究與拓展】（1）仿照十字相乘方法分解即可；
（2）根據(jù)題意確定出m的值即可；
（3）寫出一組符合題意x與y的值即可．
【解答】解：【閱讀與思考】
分解因式：x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2）；
故答案為：（x+3）（x﹣2）；
【理解與應(yīng)用】
（1）2x2+5x﹣7＝（x﹣1）（2x+7）；
（2）6x2﹣7xy+2y2＝（2x﹣y）（3x﹣2y）；
故答案為：（1）（x﹣1）（2x+7）；（2）（2x﹣y）（3x﹣2y）；
【探究與拓展】
（1）分解因式3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4＝（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）；
故答案為：（x+2y﹣1）（3x﹣y+4）
（2）∵關(guān)于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個(gè)一次因式的積，
∴存在其中1×1＝1，9×（﹣2）＝﹣18，（﹣8）×3＝﹣24；
而7＝1×（﹣2）+1×9，﹣5＝1×（﹣8）+1×3，
∴m＝27+16＝43或m＝﹣72﹣6＝﹣78，
故m的值為43或﹣78；
（3）x，y為整數(shù)，且滿足x2+3xy+2y2+2x+3y＝﹣1，可以是x＝﹣1，y＝0（答案不唯一）．
【考點(diǎn)5 用整體思想進(jìn)行因式分解】
【例45】（2023秋?濮陽期末）先閱讀下列材料，再解答下列問題：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：將“x+y”看成整體，設(shè)x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．請你完成下列各題：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；
（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．
【分析】（1）把x﹣y看作一個(gè)整體，利用完全平方公式分解即可；
（2）把a(bǔ)+2看作一個(gè)整體，利用完全平方公式分解即可；
（3）把y2﹣6y看作一個(gè)整體，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）設(shè)x﹣y＝m，
原式＝1﹣2m+m2
＝（1﹣m）2
＝[1﹣（x﹣y）]2
＝（1﹣x+y）2；
（2）設(shè)a+2＝m，
原式＝25m2﹣10m+1
＝（5m﹣1）2
＝[5（a+2）﹣1]2
＝（5a+9）2；
（3）設(shè)y2﹣6y＝m，
原式＝m（m+18）+81
＝m2+18m+81
＝（m+9）2
＝（y2﹣6y+9）2
＝（y﹣3）4．
【變式5-1】（2023秋?開封期末）閱讀下列材料：
材料1：將一個(gè)形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，如果能滿足q＝mn，且p＝m+n，則可以把x2+px+q分解因式成（x+m）（x+n）．例如：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；②x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
材料2：因式分解：4（x+y）2+4（x+y）+1．
解：將“x+y”看成一個(gè)整體，令x+y＝m，則原式＝4m2+4m+1＝（2m+1）2．
再將“m”還原，得原式＝（2x+2y+1）2．
上述解題用到了整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題．
（1）根據(jù)材料1，分解因式：x2﹣7x+12．
（2）結(jié)合材料1和材料2，完成下面小題：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：x（x+2）（x2+2x﹣2）﹣3．
【分析】（1）將x2﹣7x+12寫成x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4），根據(jù)材料1的方法可得（x﹣3）（x﹣4）即可；
（2）①令x﹣y＝A，原式可變?yōu)锳2+4A+3，再利用十字相乘法分解因式即可；
②令B＝x（x+2）＝x2+2x，原式可變?yōu)锽（B﹣2）﹣3，即B2﹣2B﹣3，利用十字相乘法可分解為（B﹣3）（B+1），再代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝x2+（﹣3﹣4）x+（﹣3）×（﹣4）＝（x﹣3）（x﹣4）；
（2）①令A(yù)＝x﹣y，
則原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝x（x+2）＝x2+2x，
則原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3，
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（x2+2x+1）（x2+2x﹣3）
＝（x+1）2（x﹣1）（x+3）．
【變式5-2】（2023春?南山區(qū)校級(jí)期中）先閱讀材料：
分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：令a+b＝M，
則（a+b）2+2（a+b）+1＝M2+2M+1＝（M+1）2，
所以（a+b）2+2（a+b）+1＝（a+b+1）2．
材料中的解題過程用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你運(yùn)用這種思想方法解答下列問題：
（1）分解因式：（x+y）2﹣2（x+y）+1＝ （x+y﹣1）2 ．
（2）分解因式：（m+n）（m+n﹣4）+4；
（3）證明：若n為正整數(shù)，則式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．
【分析】（1）將（x+y）看作一個(gè)整體進(jìn)行因式分解；
（2）將（m+n）看作一個(gè)整體進(jìn)行因式分解；
（3）先計(jì)算（n+1）（n+2）得n2+3n+2，再將n2+3n看作整體因式分解得原式＝（n2+3n+1）2，繼而由n2+3n+1為正整數(shù)可得答案．
【解答】解：（1）令x+y＝M，
則（x+y）2﹣2（x+y）+1＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2，
所以（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2．
故答案為：（x+y﹣1）2；
（2）令A(yù)＝m+n，
則（m+n）（m+n﹣4）+4＝A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
所以（m+n）（m+n﹣4）+4＝（m+n﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1．
令n2+3n＝A，
則原式＝A2+2A+1
＝（A+1）2
＝（n2+3n+1）2．
∵n是正整數(shù)，
∴n2+3n+1也為正整數(shù)．
∴式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一個(gè)整數(shù)的平方．
【變式5-3】（2023春?驛城區(qū)校級(jí)月考）閱讀下列材料：
在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看成一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”．
下面是小涵同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4進(jìn)行因式分解的過程．
解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)．
原式＝（y+3）（y﹣1）+4（第一步）
＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2+2x+1）2（第四步）．
請根據(jù)上述材料回答下列問題：
（1）小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 D ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．差的完全平方公式
D．和的完全平方公式
（2）老師說，小涵同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結(jié)果： （x+1）4 ；
（3）請你用換元法對(duì)多項(xiàng)式（9x2﹣6x+3）（9x2﹣6x﹣1）+4進(jìn)行因式分解．
【分析】（1）直接由第三步的式子得到結(jié)果；
（2）由x2+2x+1＝（x+1）2得到最后結(jié)果；
（3）設(shè)9x2﹣6x＝y(tǒng)，然后代入原式因式分解．
【解答】解：（1）由（y+1）2可知第二步到第三步運(yùn)用了和的完全平方公式，
故選：D．
由y2+2y+1＝（y+1）2可知，小涵運(yùn)用了因式分解的完全平方公式法，故選C．
（2）∵x2+2x+1＝（x+1）2，
∴（x2+2x+1）2＝（x+1）4，
故答案為：（x+1）4．
（3）設(shè)9x2﹣6x＝y(tǒng)，
原式＝（y+3）（y﹣1）+4
＝y(tǒng)2+2y+1
＝（y+1）2
＝（9x2﹣6x+1）2
＝（3x﹣1）4．
【考點(diǎn)6 用拆項(xiàng)法進(jìn)行因式分解】
【例6】（2023秋?隆昌市校級(jí)月考）閱讀理解：因式分解有多種方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，還有分組分解法，拆項(xiàng)法，配方法等．一般情況下，我們需要綜合運(yùn)用多種方法才能解決問題．
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6．步驟：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆項(xiàng)法，將﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分組分解法，通過添括號(hào)進(jìn)行分組；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整體）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后結(jié)果分解徹底．
（1）請你試一試分解因式x3﹣7x+6．
（2）請你試一試在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式x4﹣5x2+6．
【分析】（1）將﹣7x拆分為﹣x﹣6x，分組后分別提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【解答】解：（1）x3﹣7x+6
＝x3﹣x﹣6x+6
＝x（x2﹣1）﹣6（x﹣1）
＝x（x﹣1）（x+1）﹣6（x﹣1）
＝（x﹣1）（x2+x﹣6）
＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）；
（2）x4﹣5x2+6
＝（x2﹣2）（x2﹣3）
＝（x）（x）（x）（x）．
【變式6-1】（2023春?南京月考）在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)．先閱讀，再分解因式：
x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）．
（1）按照這種方法把多項(xiàng)式x4+4y4分解因式；
（2）分解因式：a4+a2b2+b4．
【分析】（1）將原式變形為x4+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2，進(jìn)一步分解可得；
（2）將原式變形為a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再進(jìn)一步分解可得．
【解答】解：（1）x4+4y4
＝x4+4x2y2+4y4﹣4x2y2
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）a4+a2b2+b4
＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2
＝（a2+b2）2﹣（ab）2
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
【變式6-2】（2023秋?沂南縣期末）先閱讀下列材料：
我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．
（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．
如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分組分解法：
解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．
如：x2+2x﹣3
解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．
【分析】（1）將前兩項(xiàng)利用平方差公式分解因式，進(jìn)而利用提取公因式法分解因式得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）
＝（x﹣3）2﹣16
＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）
＝（x﹣7）（x+1）．
【變式6-3】（2023秋?微山縣月考）【閱讀材料】
對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+2ab+b2可以直接分解為（a+b）2的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我們可以在二次三項(xiàng)式a2+2ab﹣8b2中先加上一項(xiàng)b2，使其成為完全平方式，再減去b2這項(xiàng)，（這里也可把﹣8b2拆成+b2與﹣9b2的和），使整個(gè)式子的值不變．于是有：a2+2ab﹣8b2＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2＝（a+b）2﹣9b2＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]＝（a+4b）（a﹣2b）．我們把像這樣將二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．
【應(yīng)用材料】
（1）上式中添（拆）項(xiàng)后先把完全平方式組合在一起，然后用 添（拆）項(xiàng) 法實(shí)現(xiàn)分解因式．
（2）請你根據(jù)材料中提供的因式分解的方法，將下面的多項(xiàng)式分解因式：①m2+6m+8；②a4+10a2b2+9b4．
【分析】（1）根據(jù)給出材料方法，直接得答案；
（2）①把8變?yōu)?﹣1，利用添（拆）項(xiàng)法分解；
②把9b4變?yōu)?5b4﹣16b4，利用添（拆）項(xiàng)法分解．
【解答】解：（1）二次三項(xiàng)式a2+2ab﹣8b2的因式分解，利用了添（拆）項(xiàng)法．
故答案為：添（拆）項(xiàng)．
（2）①m2+6m+8
＝m2+6m+9﹣1
＝（m+3）2﹣1
＝（m+3+1）（m+3﹣1）
＝（m+4）（m+2）；
②a4+10a2b2+9b4
＝a4+10a2b2+25b4﹣16b4
＝（a2+5b2）2﹣（4b2）2
＝（a2+5b2+4b2）（a2+5b2﹣4b2）
＝（a2+9b2）（a2+b2）．
【考點(diǎn)7 由因式分解求值】
【例7】（2023秋?鐵西區(qū)期中）若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，則a+b﹣c的值是（ ）
A．2B．5C．20D．9
【分析】根據(jù)分組分解法分解因式得c2﹣（a+b）2＝10，從而（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，根據(jù)a+b+c＝﹣5即可得出答案．
【解答】解：∵c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，
∴c2﹣（a2+2ab+b2）＝10，
∴c2﹣（a+b）2＝10，
∴（c+a+b）（c﹣a﹣b）＝10，
∵a+b+c＝﹣5，
∴c﹣a﹣b＝﹣2，
∴a+b﹣c＝2，
故選：A．
【變式7-1】（2023秋?思明區(qū)校級(jí)期中）已知m2＝2﹣n，n2＝m+2（m+n≠0），則m3+2mn﹣n3＝（ ）
A．0B．1C．2D．﹣2
【分析】由m2＝2﹣n，n2＝m+2及平方差公式可得m﹣n＝﹣1，由m3＝m?m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n?n2＝n（m+2）＝mn+2n可得原式＝2（m﹣n）＝﹣2．
【解答】解：∵m2＝2﹣n，n2＝m+2，
∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝2﹣n﹣m﹣2＝﹣（m+n），
∴m﹣n＝﹣1，
∵m3＝m?m2＝m（2﹣n）＝2m﹣mn，n3＝n?n2＝n（m+2）＝mn+2n，
∴m3+2mn﹣n3＝2m﹣mn+2mn﹣mn﹣2n＝2（m﹣n）＝﹣2，
故選：D．
【變式7-2】（2023秋?東興區(qū)校級(jí)期中）若a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，則a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝ ．
【分析】由已知a，b，c求出a﹣b，a﹣c以及b﹣c的值，原式乘以2變形，利用完全平方公式化簡，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．
【解答】解：∵a＝x+19，b＝x+20，c＝x+21，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
原式（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
＝3，
故答案為：3．
【變式7-3】（2023秋?源匯區(qū)校級(jí)期中）若實(shí)數(shù)x滿足x2﹣2x﹣1＝0，則2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ 2022 ．
【分析】先將x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，再代入計(jì)算可求解．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，
∴原式＝2x?x2﹣2x2﹣6x+2020
＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020
＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020
＝2x2﹣4x+2020
＝2（x2﹣2x）+2020
＝2×1+2020
＝2022．
【考點(diǎn)8 因式分解的應(yīng)用】
【例8】（2023秋?松滋市期末）如圖，將一塊長方形紙板沿圖中的虛線裁剪成9塊，其中2塊是邊長為a的小正方形，5塊是長為b，寬為a的小長方形，2塊是邊長為b的大正方形．
（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以分解因式為 （a+2b）（2a+b） ；
（2）若這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15．
①則圖中1塊邊長為a的小正方形和1塊邊長為b的大正方形的面積之和為 51 ；
②試求圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和．
【分析】（1）按照整體思想和分割思想利用面積法分析求解；
（2）①利用整體思想代入求值；
②利用平移思想分析求解．
【解答】解：（1）如圖，
∵矩形ABCD由2塊邊長為a的小正方形，5塊長為b，寬為a的小長方形，2塊邊長為b的大正方形組成，
∴S矩形ABCD＝2a2+5ab+2b2，
又∵矩形ABCD的長為（a+2b），寬為（2a+b），
∴S矩形ABCD＝（a+2b）（2a+b），
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案為：（a+2b）（2a+b）；
（2）①∵這塊長方形紙板的面積為177，每塊長為b，寬為a的小長方形的面積是15，
∴2a2+5ab+2b2＝177，ab＝15，
∴2（a2+b2）+5ab＝177，
2（a2+b2）+5×15＝177，
2（a2+b2）＝177﹣75，
2（a2+b2）＝102，
a2+b2＝51，
即1塊邊長為a的小正方形和1塊邊長為b的大正方形的面積之和為51，
故答案為：51；
②通過平移的性質(zhì)可知，圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和即為矩形ABCD的周長，
2[（2a+b）+（a+2b）]
＝2（2a+b+a+2b）
＝2（3a+3b）
＝6a+6b，
∴圖中所有剪裁線（虛線部分）長的和6a+6b．
【變式8-1】（2023秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一張大長方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長為a厘米的大正方形，2塊是邊長都為b厘米的小正方形，5塊是長為a厘米，寬為b厘米的相同的小長方形，且a＞b．
（1）觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以因式分解為 （a+2b）（2a+b） ．
（2）若圖中陰影部分的面積為20平方厘米，大長方形紙板的周長為24厘米，求圖中空白部分的面積．
【分析】（1）根據(jù)長方形面積的兩種表達(dá)方式求解．
（2）由陰影部分面積及大長方形周長可得兩方程，聯(lián)立方程求解．
【解答】解：（1）觀察圖形可得圖形面積為2a2+5ab+2b2，
利用長方形面積公式可得面積為（a+2b）（2a+b），
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案為：（a+2b）（2a+b）．
（2）∵圖中陰影部分的面積為20平方厘米，
∴2a2+2b2＝20，
∵大長方形紙板的周長為24厘米，
∴6a+6b＝24，
聯(lián)立方程，
解得ab＝3．
∴空白部分面積為5ab＝15平方厘米．
【變式8-2】（2023春?鎮(zhèn)江期中）【活動(dòng)材料】若干個(gè)如圖1所示的長方形和正方形硬紙片
【活動(dòng)要求】用若干塊這樣的長方形和正方形硬紙片拼成一個(gè)新的長方形，通過不同的方法計(jì)算面積，探求相應(yīng)的等式．
例如，由圖2，我們可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
【問題解決】
（1）選取正方形、長方形硬紙片共8塊，拼出如圖3的長方形，直接寫出相應(yīng)的 3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a） ；
（2）嘗試借助拼圖的方法，把二次三項(xiàng)式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的圖形畫在圖4的虛線方框內(nèi)；
（3）將2b2﹣3ab+a2分解因式： 2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a） （直接寫出結(jié)果，不需要畫圖）．
【分析】運(yùn)用不同方法求解矩形面積：分割法求解、公式法求解，所得的結(jié)果是一樣的，由此可得出答案．
【解答】解：（1）如圖3，用分割法求解圖3的矩形，可發(fā)現(xiàn)是由3個(gè)邊長為b的正方形和1個(gè)邊長為a的正方形以及4個(gè)長寬分別為b、a的長方形組成，所以矩形面積可為（3b2+4ab+a2），矩形面積求解還可以用長乘寬計(jì)算，長為（3b+a），寬為（a+b），所以矩形面積可為（3b+a）（a+b），面積相等，即：3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）．
（2）如圖所示，2a2+3ab+b2可看作由2個(gè)邊長為a的正方形，1個(gè)邊長為b的正方莆，3個(gè)長宙斯分別為b、a的長方形組成的矩形的面積，所以可畫圖．由（1）的方法可得2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．
（3）由幾何思想可利用已有圖形拼湊，拼湊成2個(gè)邊長為b的正方形減去3個(gè)長寬分別為b、a的矩形，再加上一個(gè)邊長為a的正方形即可，再用公式法算出剩下圖形的面積，即可得到式子：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）．
【變式8-3】（2023春?沭陽縣期中）如圖，正方形紙片A類，B類和長方形紙片C類若干張，
（1）①請你選取適當(dāng)數(shù)量的三種紙片，拼成一個(gè)長為（a+2b）、寬為（a+b）的長方形，畫出拼好后的圖形；
②觀察拼圖共用 1 張A類紙片， 2 張B類紙片， 3 張C類紙片．通過面積計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)（a+2b）（a+b）＝ a2+3ab+2b2 ．
（2）①請你用這三類卡片拼出面積為3a2+4ab+b2的長方形，畫出拼好后的圖形．
②觀察拼圖共用 3 張A類紙片， 1 張B類紙片， 4 張C類紙片．通過面積計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)3a2+4ab+b2＝ （3a+b）（a+b） ．
③利用拼圖，把下列多項(xiàng)式因式分解
a2+3ab+2b2＝ （a+2b）（a+b） ；3a2+5ab+2b2＝ （3a+b）（a+2b） ．
【分析】（1）①根據(jù)長方形長為（a+2b）、寬為（a+b）即可畫出圖形；②通過觀察拼好的圖形即可得知A、B、C種圖形的張數(shù)，用兩種方法表示圖形的面積即可得出等式；
（2）①根據(jù)長方形的面積即可得出圖形的長和寬從而畫出圖形；②根據(jù)觀察即可得知A、B、C類紙片的數(shù)量，通過兩種方法表示圖形的面積即可得出等式；③利用拼圖即可對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
【解答】解：（1）①如圖所示：
②觀察拼圖共用1張A紙片，2張B紙片3張C紙片．
圖形的面積＝（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
故答案為：1，2，3；a2+3ab+2b2．
（2）①如圖所示：
②觀察拼圖共用3張A類紙片，1張B類紙片，4張C類紙片．
根據(jù)圖形面積可知3a2+4ab+b2＝（3a+b）（a+b）．
③因式分解：a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），
3a2+5ab+2b2＝（3a+2b）（a+b）．
故答案為：3，1，4；（3a+b）（a+b）；（a+2b）（a+b），（3a+2b）（a+b）．

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1 因式分解

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