一、選擇題
1．已知數(shù)列滿足,,則( )
A.-1B.C.2D.3
2．若,,則直線不經(jīng)過(guò)的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線C上一點(diǎn),則的面積為( )
A.1B.2C.4D.8
4．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,則( )
A.64B.32C.28D.22
5．一條漸近線方程為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A.B.C.D.
6．已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為其中奇數(shù)項(xiàng)之和為140,偶數(shù)項(xiàng)之和為120,則( )
A.B.7C.12D.13
7．已知A,B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),若原點(diǎn)O到直線AB的距離是橢圓C的短軸長(zhǎng)的,則橢圓C的離心率為( )
A.B.C.D.
8．已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為與,且,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知直線與直線平行,且l與間的距離為,則的方程可以是( )
A.B.C.D.
10．如圖,在四棱錐中, 底面ABCD是平行四邊形, ,,若,, 則( )
A.B.
C.D.
11．某市為了改善城市中心環(huán)境,計(jì)劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移,需要拆除工廠內(nèi)一個(gè)高塔,施工單位在某平臺(tái)O的北偏東方向處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)A,在平臺(tái)O的正西方向處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn)B,已知經(jīng)過(guò)O,A,B三點(diǎn)的圓為圓C,規(guī)定圓C及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),O的正東方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn),在平臺(tái)O的正南方向的P處,有一輛小汽車沿北偏西方向行駛,則( )
A.觀測(cè)點(diǎn)A,B之間的距離是
B.圓C的方程為
C.小汽車行駛路線所在直線的方程為
D.小汽車會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)
12．經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),的最小值是4,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.
B.
C.若點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn),則直線l的方程為
D.若,則直線l的傾斜角為或
三、填空題
13．橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的四邊形的面積是_______________.
14．若圓與圓相切,則實(shí)數(shù)_______________.
15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.
16．已知點(diǎn)A,B,C是離心率為的雙曲線上的三點(diǎn),直線AB,AC,BC的斜率分別是,,,點(diǎn)D,E,F分別是線段AB,AC,BC的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OD,OE,OF的斜率分別是,,.若則 ___________.
四、解答題
17．已知的圓心為,且過(guò)點(diǎn).
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l與相切于點(diǎn)A,求l的方程.
18．如圖,在直四棱柱中,,,E是棱的中點(diǎn),.請(qǐng)用向量法解決下列問(wèn)題.
(1)求證:;
(2)求直線CE與平面所成角的正弦值.
19．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線E的焦點(diǎn)重合.
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若過(guò)雙曲線C的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線l與拋物線E交于M,N兩點(diǎn),求線段MN的長(zhǎng)度.
20．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
21．如圖,已知與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形,平面平面BCD,平面BCD,.
(1)求點(diǎn)D到平面MBC的距離;
(2)求平面MBC與平面MAD的夾角的余弦值.
22．已知橢圓的離心率為,上、下頂點(diǎn)分別為A,B,右頂點(diǎn)為C,且的面積為6.
(1)求E的方程;
(2)若點(diǎn)P為E上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),直線是AP與BC交于點(diǎn)M,直線CP交y軸于點(diǎn)N,試判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)?若是,則求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：由,可推得 , ,,,,···
所以數(shù)列是以3為周期的一個(gè)周期數(shù)列,
所以.
故選：B.
2．答案：A
解析：由,得,又,,則直線的斜率,在y軸上的截距,
所以直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,不經(jīng)過(guò)第一象限.
故選：A.
3．答案：B
解析：因?yàn)槭荂上一點(diǎn),所以,解得,
又F是拋物線C的焦點(diǎn),所以,
所以的面積為.
故選：B.
4．答案：C
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,解得
.
故選：C.
5．答案：A
解析：由題意設(shè)雙曲線的方程為,
將點(diǎn)代入雙曲線方程得,
所以雙曲線的方程為,即.
故選：A.
6．答案：A
解析：項(xiàng)數(shù)為的中奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng),
其和為,
項(xiàng)數(shù)為的中偶數(shù)項(xiàng)共有m項(xiàng),其和為,
所以,解得
故選：A.
7．答案：D
解析：由題意知,,所以直線AB的方程為,即,
原點(diǎn)O到直線AB的距離,
整理得,
所以橢圓C的離心率.
故選：D.
8．答案：D
解析：因?yàn)閿?shù)列、都是等差數(shù)列,
所以,
又,,
故,,即有,
在中,令,得,
故.
故選：D.
9．答案：AD
解析：直線,即,
設(shè)所求直線的方程為,
由題意可得,解得或.
故所求直線的方程為或.
故選：AD.
10．答案：ABC
解析：對(duì)于A,,故A正確;
對(duì)于B, ,
故B正確;
對(duì)于C,, 故C正確;
對(duì)于D,, 故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11．答案：BCD
解析：由題意, 得, ,
所以,即觀測(cè)點(diǎn)A,B之間的距離是,故A錯(cuò)誤;
設(shè)圓C的方程為 ,
因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)O,A,B三點(diǎn),
所以,解得,
所以圓C的方程為 ,故B正確;
小汽車行駛路線所在直線的斜率為-1,又點(diǎn)P的坐標(biāo)是,
所以小汽車行駛路線所在直線的方程為,故C正確;
圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為 , 圓心為,半徑,
圓心C到直線的距離,
所以直線與圓C相交, 即小汽車會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū),故D正確.
故選：BCD.
12．答案：BC
解析：,由題意可知直線l的斜率存在且不為0,可設(shè)直線l的方程為,
聯(lián)立,得,
,
,,
,
所以,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,
所以,,所以拋物線方程為,
所以,,
所以,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;
,
所以,
,
所以,B正確;
因?yàn)辄c(diǎn)是線段AB的中點(diǎn),所以,即,
所以直線l的方程為,C正確;
,所以,即,所以,
因?yàn)?所以,即,解得（舍去）,
又,故,所以,
所以直線l的斜率為,直線l的傾斜角為,D錯(cuò)誤.
故選：BC.
13．答案：40
解析：由橢圓方程可得橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別為,,,
故這四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形為菱形,
所以面積.
故答案為：40.
14．答案：-11或-31
解析：圓的圓心,半徑,
圓的圓心,半徑,
當(dāng)圓與圓外切時(shí),,即,解得;
當(dāng)圓與圓內(nèi)切時(shí),,即, 解得,
所以圓與圓相切時(shí), 或.
故答案為：-11或-31.
15．答案：
解析：數(shù)列的前n項(xiàng)和為,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
,不滿足上式,
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為
故答案為：.
16．答案：3
解析：因?yàn)殡p曲線的離心率為所以.
不妨設(shè),,,
因?yàn)辄c(diǎn)A,B在上,所以
兩式相減,得,
因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn),所以,,
所以,即,所以.
同理,.
因?yàn)?所以.
故答案為：3.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）由題可知,的半徑為,
所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）因?yàn)橹本€l與相切于點(diǎn)A,且,
所以,所以,
由點(diǎn)斜式得,,整理得,.
18．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：（1）由直棱柱的性質(zhì)可知 ,
因?yàn)?所以DA,DC,兩兩互相垂直,
故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn), 分別以DA,DC,所在直線為x軸, y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè),則,,
因?yàn)镋是棱的中點(diǎn),所以,
所以,,
所以.
所以,即.
（2）由(1)可知 ,,
設(shè)向量 是平面的法向量,
則 即令,得.
設(shè)直線CE與平面所成的角為,
則.
所以直線CE與平面所成角的正弦值為.
19．答案：(1);
(2)
解析：（1）設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為,,,
由可得,,所以,解得,
所以雙曲線C的右焦點(diǎn)為,
所以可設(shè)拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其焦點(diǎn)為,
所以,即,
所以拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
（2）由,得雙曲線C的右頂點(diǎn)為,
因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)且斜率為2,所以直線l的方程為,
設(shè),,聯(lián)立直線l與拋物線E的方程,
消去y,得,所以,,
所以.
20．答案：(1);
(2).
解析：（1）數(shù)列中,,當(dāng)時(shí),,由兩式相減,
得,即,
又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),則,當(dāng)時(shí),,解得,
因此數(shù)列是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列,
所以.
（2）由（1）得,,,即,
設(shè)的前n項(xiàng)和為,則,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
于是當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.
21．答案：(1);
(2).
解析：（1）作CD中點(diǎn)E,
因?yàn)榕c都是正三角形,所以,
又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD,且平面平面,
所以平面BCD,
所以分別以EB,EC,EM為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
則,,,,,
且,,
設(shè)平面MBC的法向量為,
則,即,令,則,
所以,
所以點(diǎn)D到平面MBC的距離;
（2）設(shè)平面MAD的法向量為,
因?yàn)?
所以,即,令,則,
所以,
由（1）知面MBC的法向量為,
令平面MBC與平面MAD的夾角為,
則,
所以平面MBC與平面MAD的夾角的余弦值為.
22．答案：(1)
(2)直線MN過(guò)定點(diǎn).
解析：（1）由題意知
解得,,,
所以E的方程為.
（2）顯然直線AP的斜率存在,設(shè)直線AP的斜率為k,
則直線AP的方程為,
又直線BC的方程為,
由,解得,,
即.
由得,解得或,
當(dāng)時(shí),,即,
所以直線CP的斜率,
所以直線CP的方程為,令,得,即.
所以直線MN的斜率,
所以直線MN的方程為,
即,所以直線MN過(guò)定點(diǎn).

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