2. 答題前, 考生務(wù)必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。
3. 考生作答時, 請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后, 用2 B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑; 非選擇題請用直徑 0.5 毫米黑色中性筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答, 超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在試題卷、草稿紙上作答無效。
4. 命題范圍: 人教 A 版選擇性必修第一冊, 選擇性必修第二冊第四章第 1 節(jié)第 2 節(jié)。
一、選擇題: 本題共 8 小題,每小題 5 分, 共 40 分。在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的。
1. 已知數(shù)列an滿足a1=2,an+1=1-1an, 則a2024=（）
A. -1
B. 12
C. 2
D. 3
2. 若AB0, 則直線Ax-By-C=0不經(jīng)過的象限是（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知O是坐標原點, F是拋物線C:y2=4x的焦點, M4,y0是拋物線C上一點, 則△OFM的面積為（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4. 已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和, 若a2=6,a6=2, 則S8=（）
A. 64
B. 32
C. 28
D. 22
5. 一條漸近線方程為2x+3y=0, 且經(jīng)過點33,22的雙曲線的標準方程是（）
A. x29-y24=1
B. y24-x29=1
C. x24-y29=1
D. y29-x24=1
6. 已知等差數(shù)列an的項數(shù)為2m+1m∈N*, 其中奇數(shù)項之和為 140 , 偶數(shù)項之和為 120 , 則m=（）
A.6
B.7
C.12
D13
的右頂點和上頂點，若原點O到直線AB 的距離是橢圓C的短軸長的25, 則橢圓C的離心率為（）
A. 32
B. 45
C. 34
D. 74
8. 已知等差數(shù)列an與等差數(shù)列bn的前n項和分別為Sn與Tn, 且SnT2n-1=5n+34n-2, 則a3b11+a9b11=（）
A. 2921
B. 2911
C. 5821
D. 5811
二、選擇題: 本題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得 5 分, 部分選對的得 2 分,有選錯的得 0 分。
9. 已知直線l1與直線l:y=x+2平行, 且l與l1間的距離為22, 則l1的方程可以是（）
A. x-y+6=0
B. x-y+3=0
C. x-y+1=0
D. x-y-2=0
10. 如圖, 在四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD是平行四邊形, AP=a,AB=b,AD=c, 若PE=ED,CF=2FP, 則（）
A. BE=12a-b+12c
B. BF=23a-23b+13c
C. DF=23a+13b-23c
D. EF=16a-13b+16c
11. 某市為了改善城市中心環(huán)境, 計劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移, 需要拆除工廠內(nèi)一個高塔, 施工單位在某平臺O的北偏東45°方向402 m處設(shè)立觀測點A, 在平臺O的正西方向240 m處設(shè)立觀測點B, 已知經(jīng)過O,A,B三點的圓為圓C, 規(guī)定圓C及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū).以O(shè)為坐標原點, O的正東方向為x軸正方向, 建立如圖所示的平面直角坐標系. 經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn), 在平臺O的正南方向200 m的P處, 有一輛小汽車沿北偏西45°方向行駛, 則（）
A. 觀測點A,B之間的距離是280 m
B. 圓C的方程為x2+y2+240x-320y=0
C. 小汽車行駛路線所在直線的方程為y=-x-200
D. 小汽車會進人安全預(yù)警區(qū)
12. 經(jīng)過拋物線C:y2=2pxp>0的焦點F的直線l交C于A,B兩點, O為坐標原點, 設(shè)Ax1,y1, Bx2,y2y1>y2,AB的最小值是 4 , 則下列說法正確的是（）
A. OA?OB=3
B. AF+BF=AFBF
C. 若點M32,1是線段AB的中點, 則直線l的方程為2x-y-2=0
D. 若AB=4FB, 則直線l的傾斜角為60°或120°
三、填空題: 本題共 4 小題,每小題 5 分, 共 20 分。
13. 橢圓x225+y216=1的四個頂點所圍成的四邊形的面積是________
14. 若圓C1:x2+y2+4x-4y+7=0與圓C2:x2+y2-4x+2y+m=0相切, 則實數(shù)m=__________
15. 已知數(shù)列an的前n項和為Sn=-13n2+43, 則數(shù)列an的通項公式為_________
16. 已知點A,B,C是離心率為2的雙曲線Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0上的三點, 直線AB,AC,BC的斜率分別是k1,k2,k3, 點D,E,F分別是線段AB,AC,BC的中點, O為坐標原點, 直線OD,OE,OF的斜率分別是k1?',k2?',k3?', 若1k1?'+1k2?'+1k3?'=3, 則k1+k2+k3=__________
四、解答題: 本題共 6 小題, 共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17. (本小題滿分 10 分)已知⊙M的圓心為8,6, 且⊙M過點A4,3.
(1) 求⊙M的標準方程;
(2) 若直線l與⊙M相切于點A, 求直線l的方程.
18. (本小題滿分 12 分)如圖, 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB//CD,AD⊥CD,E是棱DD1的中點, AD=CD=DD1=2AB. 請用向量法解決下列問題.
(1) 求證: AB1⊥CE;
(2) 求直線CE與平面AB1C所成角的正弦值.
19. (本小題滿分 12 分)已知雙曲線C:x2-y23=1的右焦點與拋物線E的焦點重合.
(1)求拋物線E的標準方程;
(2) 若過雙曲線C的右頂點且斜率為 2 的直線l與拋物線E交于M,N兩點,求線段MN的長度.
20. (本小題滿分 12 分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn, 且滿足6Sn=an2+3ann∈N*.
(1) 求數(shù)列an的通項公式;
(2) 若bn=an-25, 求數(shù)列bn的前n項和Tn.
21. (本小題滿分 12 分)如圖,已知△BCD與△MCD都是邊長為 2 的正三角形, 平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=23.
(1) 求點D到平面MBC的距離;
(2) 求平面MBC與平面MAD的夾角的余弦值.
22. (本小題滿分 12 分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為53, 上、下頂點分別為A,B, 右頂點為C, 且△ABC的面積為 6 .
(1) 求E的方程;
(2) 若點P為E上異于頂點的一點, 直線AP與BC交于點M, 直線CP交y軸于點N, 試判斷直線MN是否過定點? 若是, 則求出該定點坐標; 若不是, 請說明理由.
榆林市高二年級五校第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則
1. B 由 a1=2,an+1=1-1an, 可推得 a2=12,a3=-1,a4=2,a5=12,a6=-1,?, 所以數(shù)列 an 是以 3 為周期的一個周期數(shù)列, 所以 a2024=a674×3+2=a2=12. 故選 B.
2. A 由 ABy2, 所以 A3,23, 所以直線 l 的斜率為 23-03-1=3, 直線 l 的傾斜角為 60°,D 錯誤. 故選 BC.
13. 40
由橢圓方程, 得橢圓的四個頂點分別為 -5,0,5,0,0,-4,0,4, 故這四個頂點圍成的四邊形的面積 S=12×10×8=40.
14. -11 或 -31
圓 C1 的標準方程為 x+22+y-22=1, 圓心 C1-2,2, 半徑 r1=1, 圓 C2 的標準方程為 x-22+y+12=5-m, 圓心 C22,-1, 半徑 r2=5-m. 當圓 C1 與圓 C2 外切時, C1C2=r1+r2, 即 2+22+-1-22=1+5-m, 解得 m=-11; 當圓 C1 與圓 C2 內(nèi)切時, C1C2=r1-r2, 即 2+22+-1-22=1-5-m, 解得 m=-31. 所以圓 C1 與圓 C2 相切時, m=-11 或 m=-31.
15. an=1,n=1,-23n+13,n≥2
當 n≥2 時, an=Sn-Sn-1=-13n2+43--13n-12+43=-23n+13, 當 n=1 時, a1=1, 不滿足上式,所以 an=1,n=1,-23n+13,n≥2.
16. 3
因為雙曲線 Γ 的離心率為 2, 所以 ba=1, 不妨設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2,Dx0,y0, 因為點 A,B 在 Γ 上, 所以 x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1, 兩式相減,得 x1+x2x1-x2a2=y1+y2y1-y2b2, 因為點 D 是 AB 的中點, 所以 x1+x2=2x0, y1+y2=2y0, 所以 y1+y2y1-y2x1+x2x1-x2=b2a2, 即 y0y1-y2x0x1-x2=b2a2, 所以 k1k1?'=y1-y2x1-x2?y0-0x0-0=b2a2=1, 同理 k2k2?'=1,k3k3?'=1, 因為 1k1+1k2+1k3=3, 所以 k1+k2+k3=1k1+1k2+1k3=3.
17. 解: (1) 由于 ⊙M 的圓心為 8,6, 故可設(shè) ⊙M 的方程為 x-82+y-62=r2. 1 分
由于 ⊙M 過點 4,3, 所以 4-82+3-62=r2, 得 r2=25. 3 分
所以 ⊙M 的標準方程為 x-82+y-62=25. 4 分
(2) 由于直線 l 與 ⊙M 相切于點 A, 所以直線 l 與直線 AM 垂直, 并且 l 過點 A. 6 分
直線 AM 的斜率為 6-38-4=34, 所以 l 的斜率為 -43, 8 分
所以直線 l 的方程為 y-3=-43x-4, 整理得 4x+3y-25=0.
18. (1) 證明: 由直棱柱的性質(zhì)可知 DD1⊥DA,DD1⊥DC,
因為 AD⊥CD, 所以 DA,DC,DD1 兩兩互相垂直, 故以點 D 為坐標原點, 分別以 DA,DC,DD1 所在直線為 x 軸, y 軸, z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
不妨設(shè) AD=2, 則 A2,0,0,B12,1,2,C0,2,0. 2 分
因為 E 是棱 DD1 的中點, 所以 E0,0,1, 所以 AB1=0,1,2,CE=0,-2,1,
所以 AB1?CE=0×0+1×-2+2×1=0. 3 分
所以 AB1⊥CE, 即 AB1⊥CE. 5 分
(2)
解: 由(1) 可知 AB1=0,1,2,AC=-2,2,0,CE=0,-2,1. 6 分
設(shè)向量 n=x,y,z 是平面 AB1C 的法向量, 則 AB1?n=0,AC?n=0, 即 y+2z=0,-2x+2y=0, 令 z=1,得 n=-2,-2,1.
設(shè)直線 CE 與平面 AB1C 所成的角為 θ, 則 sinθ=CE?nCEn=535=53.所以直線 CE 與平面 AB1C 所成角的正弦值為 53.
19. 解: (1) 雙曲線 C:x2-y23=1 中, a2=1,b2=3,
所以 c2=a2+b2=4, 解得 c=2,
所以雙曲線 C 的右焦點為 2,0.
所以可設(shè)拋物線 E 的標準方程為 y2=2pxp>0, 其焦點為 p2,0,
所以 p2=2, 即 p=4, 4 分
所以拋物線 E 的標準方程為 y2=8x. 6 分
(2) 由 a2=1, 得雙曲線 C 的右頂點為 1,0, 因為直線 l 過點 1,0 且斜率為 2 , 所以直線 l 的方程為 y=2x-1, 8 分x1x2=1, 10 分
所以 MN=x1-x22+y1-y22=5x1-x22=5x1+x22-4x1x2=215. 12 分
20. 解: (1) 因為 6Sn=an2+3an, 所以 n≥2 時, 6Sn-1=an-12+3an-1,由兩式相減, 得 6an=an2+3an-an-12-3an-1,
即 an+an-1an-an-1=3an+an-1, 2 分
又數(shù)列 an 的各項都為正數(shù), 所以 an+an-1>0,an-an-1=3. 3 分
當 n=1 時, 6a1=a12+3a1, 解得 a1=0 (舍) 或 a1=3,所以數(shù)列 an 是首項為 3 , 公差為 3 的等差數(shù)列. 4 分
所以 an=3+n-1×3=3n. 5 分
(2) 由 (1), 得 bn=an-25=3n-25,
設(shè) bn 的前 n 項和為 Rn,又 6Sn=an2+3an=9n2+9n,
所以 Sn=32n2+32n,
所以 Rn=Sn-25n=32n2-472n. 7 分
當 3n-250 時, n≥9,
所以當 n≤8 時, Tn=-b1+b2+?+bn=-Rn=-32n2+472n; 9 分
當 n≥9 時, Tn=-b1+b2+?+b8+b9+b10+?+bn=Rn-2R8=32n2-472n+184.
綜上所述, Tn=-32n2+472n,n≤8,32n2-472n+184,n≥9. 12 分
21. 解: 取 CD 的中點 O, 連接 OB,OM,
由于 △BCD 和 △MCD 都是等邊三角形, 所以 OB⊥CD,OM⊥CD.
又平面 MCD⊥ 平面 BCD, 平面 MCD∩ 平面 BCD=CD,OM? 平面 MCD, 所以 MO⊥ 平面 BCD. 2 分
以 O 為原點, OC,OB,OM 所在直線分別為 x 軸, y 軸, z 軸, 建立如圖所示的空間直角坐標系 Oxyz.
由于 OB=OM=3,OC=1, 所以 C1,0,0,M0,0,3,B0,-3,0,D-1,0,0,A0,-3,23.4 分
(1) BC=1,3,0,BM=0,3,3.
設(shè) n=x,y,z 是平面 MBC 的法向量, 由 n?BC=0,n?BM=0, 得 x+3y=0,3y+3z=0, 令 z=1, 則 n=(3, -1,1). 6 分
因為 BD=-1,3,0, 所以 d=BD?nn=235=2155,
即點 D 到平面 MBC 的距離為 2155.
(2) MA=0,-3,3,MD=-1,0,-3,
設(shè) m=p,q,r 是平面 MAD 的法向量, 由 m?MA=0,m?MD=0, 得 -3q+3r=0,-p-3r=0,
令 p=3, 則 m=3,-1,-1.
由 (1) 可知 n=3,-1,1 是平面 MBC 的法向量.
設(shè)平面 MBC 與平面 MAD 的夾角為 θ, 則 csθ=cs?m,n?=m?nm?n=35×5=35,
因此平面 MBC 與平面 MAD 的夾角的余弦值是 35.
22. 解: (1) 由題意知 ca=53,12a?2b=6, c2=a2-b2,
解得 a=3,b=2,c=5, 3 分
所以 E 的方程為 x29+y24=1.
(2) 顯然直線 AP 的斜率存在, 設(shè)直線 AP 的斜率為 k, 則直線 AP 的方程為 y=kx+2,
又直線 BC 的方程為 y=23x-2, 由 y=kx+2y=23x-2, 解得 x=-123k-2,y=-6k+43k-2,
即 M-123k-2,-6k+43k-2.
由 x29+y24=1,y=kx+2 得 4+9k2x2+36kx=0, 解得 x=0 或 x=-36k4+9k2,
當 x=-36k4+9k2 時, y=k-36k4+9k2+2=8-18k24+9k2, 即 P-36k4+9k2,8-18k24+9k2,
所以直線 CP 的斜率 kCP=8-18k24+9k2-0-36k4+9k2-3=6k-49k+6,
所以直線 CP 的方程為 y=6k-49k+6x-3, 令 x=0, 得 y=4-6k3k+2, 即 N0,4-6k3k+2.
所以直線 MN 的斜率 kMN=-6k+43k-2-4-6k3k+2-123k-2-0=4k3k+2,
所以直線 MN 的方程為 y=4k3k+2x+4-6k3k+2,
即 y=4k3k+2x-3+2, 所以直線 MN 過定點 3,2.

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