考生注意:
1. 本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分 150 分, 考試時(shí)間 120 分鐘。
2. 答題前, 考生務(wù)必用直徑 0.5 毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚。
3. 考生作答時(shí), 請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后, 用 2 B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑; 非選擇題請(qǐng)用直徑 0.5 毫米黑色中性筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答, 超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效,在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。
4. 命題范圍: 人教 A 版選擇性必修第一冊(cè), 選擇性必修第二冊(cè)第四章第 1 節(jié) 第 2 節(jié)。
一、選擇題: 本題共 8 小題,每小題 5 分, 共 40 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 已知數(shù)列 an 滿足 a1=2,an+1=1-1an, 則 a2024=（ ）
A. -1
B. 12
C. 2
D. 3
2. 若 AB0, 則直線 Ax-By-C=0 不經(jīng)過(guò)的象限是（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn), F 是拋物線 C:y2=4x 的焦點(diǎn), M4,y0 是拋物線 C 上一點(diǎn), 則 △OFM 的面積為（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
4. 已知 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和, 若 a2=6,a6=2, 則 S8=（ ）
A. 64
B. 32
C. 28
D. 22
5. 一條漸近線方程為 2x+3y=0, 且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 33,22 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A. x29-y24=1
B. y24-x29=1
C. x24-y29=1
D. y29-x24=1
6. 已知等差數(shù)列 an 的項(xiàng)數(shù)為 2m+1m∈N*, 其中奇數(shù)項(xiàng)之和為 140 , 偶數(shù)項(xiàng)之和為 120 , 則 m=（ ）
A.6
B.7
C.12
D 13
的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若原點(diǎn)O到直線AB 的距離是橢圓C 的短軸長(zhǎng)的 25, 則橢圓 C 的離心率為（ ）
A. 32
B. 45
C. 34
D. 74
8. 已知等差數(shù)列 an 與等差數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和分別為 Sn 與 Tn, 且 SnT2n-1=5n+34n-2, 則 a3b11+a9b11=（ ）
A. 2921
B. 2911
C. 5821
D. 5811
二、選擇題: 本題共 4 小題, 每小題 5 分, 共 20 分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得 5 分, 部分選對(duì)的得 2 分,有選錯(cuò)的得 0 分。
9. 已知直線 l1 與直線 l:y=x+2 平行, 且 l 與 l1 間的距離為 22, 則 l1 的方程可以是（ ）
A. x-y+6=0
B. x-y+3=0
C. x-y+1=0
D. x-y-2=0
10. 如圖, 在四棱錐 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四邊形, AP=a,AB=b,AD=c, 若 PE=ED,CF= 2FP, 則（ ）
A. BE=12a-b+12c
B. BF=23a-23b+13c
C. DF=23a+13b-23c
D. EF=16a-13b+16c
11. 某市為了改善城市中心環(huán)境, 計(jì)劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移, 需要拆除工廠內(nèi)一個(gè)高塔, 施工單位在某平臺(tái) O 的北偏東 45° 方向 402 m 處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn) A, 在平臺(tái) O 的正西方向 240 m 處設(shè)立觀測(cè)點(diǎn) B, 已知經(jīng)過(guò) O,A,B 三點(diǎn)的圓為圓 C, 規(guī)定圓 C 及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū).以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn), O 的正東方向?yàn)?x 軸正方向, 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn), 在平臺(tái) O 的正南方向 200 m 的 P 處, 有一輛小汽車沿北偏西 45° 方向行駛, 則（ ）
A. 觀測(cè)點(diǎn) A,B 之間的距離是 280 m
B. 圓 C 的方程為 x2+y2+240x-320y=0
C. 小汽車行駛路線所在直線的方程為 y=-x-200
D. 小汽車會(huì)進(jìn)人安全預(yù)警區(qū)
12. 經(jīng)過(guò)拋物線 C:y2=2pxp>0 的焦點(diǎn) F 的直線 l 交 C 于 A,B 兩點(diǎn), O 為坐標(biāo)原點(diǎn), 設(shè) Ax1,y1, Bx2,y2y1>y2,AB 的最小值是 4 , 則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. OA?OB=3
B. AF+BF=AFBF
C. 若點(diǎn) M32,1 是線段 AB 的中點(diǎn), 則直線 l 的方程為 2x-y-2=0
D. 若 AB=4FB, 則直線 l 的傾斜角為 60° 或 120°
三、填空題: 本題共 4 小題,每小題 5 分, 共 20 分。
13. 橢圓 x225+y216=1 的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的四邊形的面積是________
14. 若圓 C1:x2+y2+4x-4y+7=0 與圓 C2:x2+y2-4x+2y+m=0 相切, 則實(shí)數(shù) m=__________
15. 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn=-13n2+43, 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為_________
16. 已知點(diǎn) A,B,C 是離心率為 2 的雙曲線 Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 上的三點(diǎn), 直線 AB,AC,BC 的斜率分別是 k1,k2,k3, 點(diǎn) D,E,F 分別是線段 AB,AC,BC 的中點(diǎn), O 為坐標(biāo)原點(diǎn), 直線 OD,OE,OF 的斜率分別是 k1?',k2?',k3?', 若 1k1?'+1k2?'+1k3?'=3, 則 k1+k2+k3=__________
四、解答題: 本題共 6 小題, 共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17. (本小題滿分 10 分)已知 ⊙M 的圓心為 8,6, 且 ⊙M 過(guò)點(diǎn) A4,3.
(1) 求 ⊙M 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 若直線 l 與 ⊙M 相切于點(diǎn) A, 求直線 l 的方程.
18. (本小題滿分 12 分)如圖, 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AB//CD,AD⊥CD,E 是棱 DD1 的中點(diǎn), AD=CD=DD1= 2AB. 請(qǐng)用向量法解決下列問(wèn)題.
(1) 求證: AB1⊥CE;
(2) 求直線 CE 與平面 AB1C 所成角的正弦值.
19. (本小題滿分 12 分)已知雙曲線 C:x2-y23=1 的右焦點(diǎn)與拋物線 E 的焦點(diǎn)重合.
(1)求拋物線 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 若過(guò)雙曲線 C 的右頂點(diǎn)且斜率為 2 的直線 l 與拋物線 E 交于 M,N 兩點(diǎn),求線段 MN 的長(zhǎng)度.
20. (本小題滿分 12 分)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn, 且滿足 6Sn=an2+3ann∈N*.
(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式;
(2) 若 bn=an-25, 求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tn.
21. (本小題滿分 12 分)如圖,已知 △BCD 與 △MCD 都是邊長(zhǎng)為 2 的正三角形, 平面MCD⊥ 平面 BCD,AB⊥ 平面 BCD,AB =23.

(1) 求點(diǎn) D 到平面 MBC 的距離;
(2) 求平面 MBC 與平面 MAD 的夾角的余弦值.
22. (本小題滿分 12 分)已知橢圓 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 53, 上、下頂點(diǎn)分別為 A,B, 右頂點(diǎn)為 C, 且 △ABC 的面積為 6 .
(1) 求 E 的方程;
(2) 若點(diǎn) P 為 E 上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn), 直線 AP 與 BC 交于點(diǎn) M, 直線 CP 交 y 軸于點(diǎn) N, 試判斷直線 MN 是否過(guò)定點(diǎn)? 若是, 則求出該定點(diǎn)坐標(biāo); 若不是, 請(qǐng)說(shuō)明理由.
榆林市高二年級(jí)五校第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
1. B 由 a1=2,an+1=1-1an, 可推得 a2=12,a3=-1,a4=2,a5=12,a6=-1,?, 所以數(shù)列 an 是以 3 為周期的一個(gè)周期數(shù)列, 所以 a2024=a674×3+2=a2=12. 故選 B.
2. A 由 ABy2, 所以 A3,23, 所以直線 l 的斜率為 23-03-1=3, 直線 l 的傾斜角為 60°,D 錯(cuò)誤. 故選 BC.
13. 40
由橢圓方程, 得橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)分別為 -5,0,5,0,0,-4,0,4, 故這四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積 S= 12×10×8=40.
14. -11 或 -31
圓 C1 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x+22+y-22=1, 圓心 C1-2,2, 半徑 r1=1, 圓 C2 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x-22 +y+12=5-m, 圓心 C22,-1, 半徑 r2=5-m. 當(dāng)圓 C1 與圓 C2 外切時(shí), C1C2=r1+r2, 即 2+22+-1-22=1+5-m, 解得 m=-11; 當(dāng)圓 C1 與圓 C2 內(nèi)切時(shí), C1C2=r1-r2, 即 2+22+-1-22=1-5-m, 解得 m=-31. 所以圓 C1 與圓 C2 相切時(shí), m=-11 或 m=-31.
15. an=1,n=1,-23n+13,n≥2
當(dāng) n≥2 時(shí), an=Sn-Sn-1=-13n2+43--13n-12+43=-23n+13, 當(dāng) n=1 時(shí), a1=1, 不滿足上式,所以 an=1,n=1,-23n+13,n≥2.
16. 3
因?yàn)殡p曲線 Γ 的離心率為 2, 所以 ba=1, 不妨設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2,Dx0,y0, 因?yàn)辄c(diǎn) A,B 在 Γ 上, 所以 x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1, 兩式相減,得 x1+x2x1-x2a2=y1+y2y1-y2b2, 因?yàn)辄c(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn), 所以 x1+x2=2x0, y1+y2=2y0, 所以 y1+y2y1-y2x1+x2x1-x2=b2a2, 即 y0y1-y2x0x1-x2=b2a2, 所以 k1k1?'=y1-y2x1-x2?y0-0x0-0=b2a2=1, 同理 k2k2?'= 1,k3k3?'=1, 因?yàn)?1k1+1k2+1k3=3, 所以 k1+k2+k3=1k1+1k2+1k3=3.
17. 解: (1) 由于 ⊙M 的圓心為 8,6, 故可設(shè) ⊙M 的方程為 x-82+y-62=r2. 1 分
由于 ⊙M 過(guò)點(diǎn) 4,3, 所以 4-82+3-62=r2, 得 r2=25. 3 分
所以 ⊙M 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x-82+y-62=25. 4 分
(2) 由于直線 l 與 ⊙M 相切于點(diǎn) A, 所以直線 l 與直線 AM 垂直, 并且 l 過(guò)點(diǎn) A. 6 分
直線 AM 的斜率為 6-38-4=34, 所以 l 的斜率為 -43, 8 分
所以直線 l 的方程為 y-3=-43x-4, 整理得 4x+3y-25=0.
18. (1) 證明: 由直棱柱的性質(zhì)可知 DD1⊥DA,DD1⊥DC,
因?yàn)?AD⊥CD, 所以 DA,DC,DD1 兩兩互相垂直, 故以點(diǎn) D 為坐標(biāo)原點(diǎn), 分別以 DA,DC,DD1 所在直線為 x 軸, y 軸, z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè) AD=2, 則 A2,0,0,B12,1,2,C0,2,0. 2 分
因?yàn)?E 是棱 DD1 的中點(diǎn), 所以 E0,0,1, 所以 AB1=0,1,2,CE=0,-2,1,
所以 AB1?CE=0×0+1×-2+2×1=0. 3 分
所以 AB1⊥CE, 即 AB1⊥CE. 5 分
(2)

解: 由(1) 可知 AB1=0,1,2,AC=-2,2,0,CE=0,-2,1. 6 分
設(shè)向量 n=x,y,z 是平面 AB1C 的法向量, 則 AB1?n=0,AC?n=0, 即 y+2z=0,-2x+2y=0, 令 z=1,得 n=-2,-2,1.
設(shè)直線 CE 與平面 AB1C 所成的角為 θ, 則 sinθ=CE?nCEn=535=53.所以直線 CE 與平面 AB1C 所成角的正弦值為 53.
19. 解: (1) 雙曲線 C:x2-y23=1 中, a2=1,b2=3,
所以 c2=a2+b2=4, 解得 c=2,
所以雙曲線 C 的右焦點(diǎn)為 2,0.
所以可設(shè)拋物線 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=2pxp>0, 其焦點(diǎn)為 p2,0,
所以 p2=2, 即 p=4, 4 分
所以拋物線 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=8x. 6 分
(2) 由 a2=1, 得雙曲線 C 的右頂點(diǎn)為 1,0, 因?yàn)橹本€ l 過(guò)點(diǎn) 1,0 且斜率為 2 , 所以直線 l 的方程為 y=2x-1, 8 分 x1x2=1, 10 分
所以 MN=x1-x22+y1-y22=5x1-x22=5x1+x22-4x1x2=215. 12 分
20. 解: (1) 因?yàn)?6Sn=an2+3an, 所以 n≥2 時(shí), 6Sn-1=an-12+3an-1,由兩式相減, 得 6an=an2+3an-an-12-3an-1,
即 an+an-1an-an-1=3an+an-1, 2 分
又?jǐn)?shù)列 an 的各項(xiàng)都為正數(shù), 所以 an+an-1>0,an-an-1=3. 3 分
當(dāng) n=1 時(shí), 6a1=a12+3a1, 解得 a1=0 (舍) 或 a1=3,所以數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 3 , 公差為 3 的等差數(shù)列. 4 分
所以 an=3+n-1×3=3n. 5 分
(2) 由 (1), 得 bn=an-25=3n-25,
設(shè) bn 的前 n 項(xiàng)和為 Rn,又 6Sn=an2+3an=9n2+9n,
所以 Sn=32n2+32n,
所以 Rn=Sn-25n=32n2-472n. 7 分
當(dāng) 3n-250 時(shí), n≥9,
所以當(dāng) n≤8 時(shí), Tn=-b1+b2+?+bn=-Rn=-32n2+472n; 9 分
當(dāng) n≥9 時(shí), Tn=-b1+b2+?+b8+b9+b10+?+bn=Rn-2R8=32n2-472n+184.
綜上所述, Tn=-32n2+472n,n≤8,32n2-472n+184,n≥9. 12 分
21. 解: 取 CD 的中點(diǎn) O, 連接 OB,OM,
由于 △BCD 和 △MCD 都是等邊三角形, 所以 OB⊥CD,OM⊥CD.
又平面 MCD⊥ 平面 BCD, 平面 MCD∩ 平面 BCD=CD,OM? 平面 MCD, 所以 MO⊥ 平面 BCD. 2 分
以 O 為原點(diǎn), OC,OB,OM 所在直線分別為 x 軸, y 軸, z 軸, 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Oxyz.
由于 OB=OM=3,OC=1, 所以 C1,0,0,M0,0,3,B0,-3,0,D-1,0,0,A0,-3,23.4 分

(1) BC=1,3,0,BM=0,3,3.
設(shè) n=x,y,z 是平面 MBC 的法向量, 由 n?BC=0,n?BM=0, 得 x+3y=0,3y+3z=0, 令 z=1, 則 n=(3, -1,1). 6 分
因?yàn)?BD=-1,3,0, 所以 d=BD?nn=235=2155,
即點(diǎn) D 到平面 MBC 的距離為 2155.
(2) MA=0,-3,3,MD=-1,0,-3,
設(shè) m=p,q,r 是平面 MAD 的法向量, 由 m?MA=0,m?MD=0, 得 -3q+3r=0,-p-3r=0,
令 p=3, 則 m=3,-1,-1.
由 (1) 可知 n=3,-1,1 是平面 MBC 的法向量.
設(shè)平面 MBC 與平面 MAD 的夾角為 θ, 則 csθ=cs?m,n?=m?nm?n=35×5=35,
因此平面 MBC 與平面 MAD 的夾角的余弦值是 35.
22. 解: (1) 由題意知 ca=53,12a?2b=6, c2=a2-b2,
解得 a=3,b=2,c=5, 3 分
所以 E 的方程為 x29+y24=1.
(2) 顯然直線 AP 的斜率存在, 設(shè)直線 AP 的斜率為 k, 則直線 AP 的方程為 y=kx+2,
又直線 BC 的方程為 y=23x-2, 由 y=kx+2y=23x-2, 解得 x=-123k-2,y=-6k+43k-2,
即 M-123k-2,-6k+43k-2.
由 x29+y24=1,y=kx+2 得 4+9k2x2+36kx=0, 解得 x=0 或 x=-36k4+9k2,
當(dāng) x=-36k4+9k2 時(shí), y=k-36k4+9k2+2=8-18k24+9k2, 即 P-36k4+9k2,8-18k24+9k2,
所以直線 CP 的斜率 kCP=8-18k24+9k2-0-36k4+9k2-3=6k-49k+6,
所以直線 CP 的方程為 y=6k-49k+6x-3, 令 x=0, 得 y=4-6k3k+2, 即 N0,4-6k3k+2.
所以直線 MN 的斜率 kMN=-6k+43k-2-4-6k3k+2-123k-2-0=4k3k+2,
所以直線 MN 的方程為 y=4k3k+2x+4-6k3k+2,
即 y=4k3k+2x-3+2, 所以直線 MN 過(guò)定點(diǎn) 3,2.

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