1. 已知復數(shù)實數(shù)，則（ ）
A. 0B. －1C. 2D. －2
2 設(shè)全集，集合A，B滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，已知一個三棱錐的主視圖、左視圖和俯視圖均為斜邊長為4的等腰直角三角形，則該三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（ ）
A. 2B. C. D. 1
5. 已知是定義域為的偶函數(shù)，且其圖像關(guān)于點對稱，當時，，則（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面直角坐標系內(nèi)的動點滿足，則P滿足的概率為（ ）
A. B. C. D.
7 已知拋物線：，：，若直線l：與交于點A，B，且與交于點P，Q，且，則（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
8. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，且，則的面積（ ）
A. 1B. C. D.
9. 已知函數(shù)在的最小值為－1，則（ ）
A. 2eB. 3C. eD. 1
10. 如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖像的一部分，且其對應的橢圓曲線的離心率為，則的值為（ ）
A. B. C. D. 2
11. 已知A，B是圓C：的兩點，且是正三角形，則直線AB的方程為（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知函數(shù)，過坐標原點O作曲線的切線l，切點為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點B，則面積的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知數(shù)據(jù)15，14，14，a，16的平均數(shù)為15，則其方差為______.
14. 已知某圓臺的上底面圓心為，半徑為r，下底面圓心為，半徑為2r，高為h.若該圓臺的外接球球心為O，且，則______.
15. 若雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P是其右支上的動點，與其左支交于點Q.若存在P，使得，則C的離心率的取值范圍為______.
16. 已知O為坐標原點，點，P為圓上一點，則的最大值為______.
三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 某酒店為了調(diào)查入住賓客對該酒店服務(wù)的滿意率，對一個月來曾入住過的顧客進行電話回訪，回訪結(jié)果顯示，顧客的滿意率為80%.在不滿意的顧客中，對住宿環(huán)境不滿意的占60%，對服務(wù)員的服務(wù)態(tài)度不滿意的占40%.
（1）若在電話回訪的所有顧客中，對住宿環(huán)境不滿意的顧客共有240人，求此次電話回訪的顧客總數(shù)；
（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顧客中，隨機選擇兩名進行回訪，求甲、乙兩人中至少一人被選中的概率.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
（1）證明：平面平面；
（2）求點到平面的距離.
19. 已知等比數(shù)列公比，且，首項，前n項和為.
（1）若，且為定值，求q的值；
（2）若對任意恒成立，求q的取值范圍.
20. 已知橢圓C：的右焦點為，左頂點為A.過點F且不與x軸重合的直線l與C交于P，Q兩點（P在x軸上方），直線AP交直線：于點M.當P的橫坐標為時，.
（1）求C的標準方程；
（2）若，求的值.
21. 已知.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個極值點，，設(shè)，且不等式的解集為，證明：.
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22. 在極坐標系中，圓C的極坐標方程為.
（1）以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，求圓C的直角坐標方程；
（2）求圓C上的點到直線距離的最小值.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知正數(shù)滿足.
（1）若，求最小值；
（2）證明：.文科數(shù)學試卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知復數(shù)是實數(shù)，則（ ）
A. 0B. －1C. 2D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，根據(jù)是實數(shù)求出的值
【詳解】因為是實數(shù)，所以.
故選：B
2. 設(shè)全集，集合A，B滿足，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的交并補運算的定義求解即可.
【詳解】由題意，若，則，故A錯誤；若，則，故B錯誤；因為，故，故C正確；
若，則，故D錯誤.
故選：C.
3. 如圖，已知一個三棱錐的主視圖、左視圖和俯視圖均為斜邊長為4的等腰直角三角形，則該三棱錐的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三視圖可以畫出該幾何體的直觀圖,可得一條側(cè)棱與底面垂直，底面是直角三角形，得四面體的高與底面積，計算四面體的體積.
【詳解】知直角邊長為，所以體積.
故選：D
4. 已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積與模長關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可.
【詳解】因為，
所以，當且僅當時，等號成立.
故選：B
5. 已知是定義域為的偶函數(shù)，且其圖像關(guān)于點對稱，當時，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先分析題意結(jié)合已知信息，求出周期，解出答案可得.
【詳解】因為是定義域為的偶函數(shù)，且其圖像關(guān)于點對稱，當時，，
得出的周期，所以.
故選：A.
6. 已知平面直角坐標系內(nèi)的動點滿足，則P滿足的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用線性規(guī)劃結(jié)合幾何概型計算即可.
【詳解】如圖，可行域為所圍成的區(qū)域，
，，滿足的區(qū)域為，
且，
易知，
所以的概率.
故選：D
7. 已知拋物線：，：，若直線l：與交于點A，B，且與交于點P，Q，且，則（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】分別將直線l與拋物線，聯(lián)立，要使，只需，整理解出即可.
【詳解】結(jié)合題意：要使，即，
只需滿足
直線l與拋物線聯(lián)立，，消去x，整理得，
所以，
直線l與拋物線聯(lián)立，，消去x，整理得，
所以，解得.
故選:C.
8. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，且，則的面積（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可得，進而利用誘導公式即可得，即可求解，或者利用二倍角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進而可求解.
【詳解】方法1：因為，所以，
又，所以，
由于，解得，則，
由可得均為銳角，所以，則，
所以，即，所以.
方法2：因為，所以，又，故均為銳角，
所以，即，
因為，故，且,
所以，
則，故，.
故選：A
9. 已知函數(shù)在的最小值為－1，則（ ）
A. 2eB. 3C. eD. 1
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析題意，可知恒成立，再設(shè)，解出，求出，即.
【詳解】由題意可知，恒成立，且存在，使得等號成立，
所以恒成立，且存在，使得等號成立，
設(shè)，則，
令，解得，
時，；時，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
易知，即.
故選：B.
10. 如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖像的一部分，且其對應的橢圓曲線的離心率為，則的值為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，以及橢圓的幾何性質(zhì)，利用勾股定理列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖像的一部分，
可得，且，所以圓柱的底面直徑，
設(shè)橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，因為離心率為，可得，
所以，由勾股定理得，解得.
故選：A.
11. 已知A，B是圓C：的兩點，且是正三角形，則直線AB的方程為（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合圖形，先判斷出切線與原點與圓心連線的夾角為，進而得到兩點恰為切點，再應用點到線的距離即可求解.
【詳解】設(shè)是圓的圓心，，
由題意可知，圓與軸相切于D點，則，
又，所以，又是正三角形，
則兩點恰為切點
設(shè)點與點重合，
由題意可知，，且，所以，
不妨設(shè)線段AB中點為H，則，
設(shè)直線AB：，即，
則，
則或，
結(jié)合圖形知時與圓沒有交點，故舍去，
則，所以直線AB的方程為.
故選：C
12. 已知函數(shù)，過坐標原點O作曲線的切線l，切點為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點B，則面積的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先設(shè)出切點，求出，根據(jù)點斜式寫出切線l方程，根據(jù)切線l過原點求出切點坐標和直線l的斜率；再根據(jù)已知條件求出直線的方程，進一步求出點B坐標；最后根據(jù)三角形面積公式表示出面積，利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為，
所以.
設(shè)切點為，
則，.
所以切線l方程為.
因為切線l過坐標原點O，
所以將代入切線方程，整理得，解得：.
所以，
則點，.
因為直線過A且與直線l垂直，
所以，
則直線的方程為.
令，解得，
所以點B坐標為.
所以.
因，當且僅當，即時，等號成立，
所以.
故選：D
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于：先利用導數(shù)的幾何意義解決過原點的曲線切線方程問題；再根據(jù)平面兩直線垂直得出直線的方程，進而求出點B坐標；最后表示出面積，利用基本不等式求解即可.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知數(shù)據(jù)15，14，14，a，16的平均數(shù)為15，則其方差為______.
【答案】##
【解析】
【分析】先由平均數(shù)的公式計算出平均數(shù)，再根據(jù)方差的公式計算
【詳解】因為，所以，所以.
故答案為：
14. 已知某圓臺的上底面圓心為，半徑為r，下底面圓心為，半徑為2r，高為h.若該圓臺的外接球球心為O，且，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)圓臺與球的特征計算即可.
【詳解】因為，所以，
所以,
解之得.
故答案為：3
15. 若雙曲線C：的左、右焦點分別為，，點P是其右支上的動點，與其左支交于點Q.若存在P，使得，則C的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合即可求解.
【詳解】因為，且，所以，
所以，由于，所以，解得，所以.
故答案為：
16. 已知O為坐標原點，點，P為圓上一點，則的最大值為______.
【答案】200
【解析】
【分析】首先分析題意，方法一過O作于H，在過P作圓的一條切線，最后通過圖像，求出.
方法二設(shè)出通過化簡，得出的最大值為200.
【詳解】方法1：過O作于H，則，且易知H在以線段OA為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，則，過P作圓的一條切線，切點為B，則，故當?shù)闹底畲髸r，的值最大.記圓的圓心為，其半徑，則由幾何關(guān)系可知，故的值最大為
方法2：設(shè)，則
，故當時，的最大值為200.
故答案為：200.
三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 某酒店為了調(diào)查入住賓客對該酒店服務(wù)的滿意率，對一個月來曾入住過的顧客進行電話回訪，回訪結(jié)果顯示，顧客的滿意率為80%.在不滿意的顧客中，對住宿環(huán)境不滿意的占60%，對服務(wù)員的服務(wù)態(tài)度不滿意的占40%.
（1）若在電話回訪的所有顧客中，對住宿環(huán)境不滿意的顧客共有240人，求此次電話回訪的顧客總數(shù)；
（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顧客中，隨機選擇兩名進行回訪，求甲、乙兩人中至少一人被選中的概率.
【答案】（1）人
（2）
【解析】
【分析】（1）利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系求解；
（2）利用古典概率模型求解
【小問1詳解】
住宿環(huán)境不滿意的顧客在所有顧客中所占的比例為，
所以回訪的顧客總數(shù)為人；
【小問2詳解】
設(shè)甲、乙兩人中至少一人被選中為事件A，
由題意可知，甲乙兩人都未被選中的概率為,
所以.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
（1）證明：平面平面；
（2）求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分別作的中點，證得，得到，再由，得到，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得平面，進而證得平面平面.
（2）過作于，求得，，設(shè)點到平面的距離為，結(jié)合，即可求解.
【小問1詳解】
證明：分別作的中點，連接，
因為分別為的中點，且四邊形為等腰梯形，
可得，所以，
在等腰梯形中，因為，，
可得，所以，
因為是正三角形，是中點，所以，又由，可知
又因為，所以，所以，
因為，，且平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
解：由（1）知，，且為的中點，可得，
過作于，因為，則為的中點，
且，所以，
又由，所以，
設(shè)點到平面的距離為，則，解得，
所以點到平面的距離為.
19. 已知等比數(shù)列的公比，且，首項，前n項和為.
（1）若，且為定值，求q的值；
（2）若對任意恒成立，求q的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比數(shù)列前項和公式、等比數(shù)列通項公式運算變形即可得解.
（2）對公比進行分類討論即可，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式進行適當放縮比較即可得解.
【小問1詳解】
易知，
若，且為定值，
則當且僅當時，為定值－1.
【小問2詳解】
因為，所以，
當時，有，即要滿足恒成立，
當時，由于，這與恒成立矛盾.
當時，有，即要滿足恒成立，
當時，由于，
故.
綜上，q的取值范圍是.
20. 已知橢圓C：的右焦點為，左頂點為A.過點F且不與x軸重合的直線l與C交于P，Q兩點（P在x軸上方），直線AP交直線：于點M.當P的橫坐標為時，.
（1）求C的標準方程；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件及橢圓的定義求得a、b的值即可.
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線l，求出表達式，根據(jù)直線AP交直線：于點M，與，求出點M坐標，進而求出的值.
【小問1詳解】
由題意可知，，即，
設(shè)，則，且有，
所以，
又，
整理化簡有，
所以（不合題意舍去），或，
所以C的標準方程為.
【小問2詳解】
由題可知，直線l的斜率不為0，設(shè)l：，，，
將l與C的方程聯(lián)立，，消去x，整理得，
所以，，
則，
又直線AP的方程為，則，
所以，
且，所以，
所以，整理得，
因為點P在x軸上方，所以直線的斜率，且，
所以，即，
所以
，
又，
所以，
所以，即.
21. 已知.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個極值點，，設(shè)，且不等式的解集為，證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）首先分析題意，可知，再分情況討論a,總結(jié)出的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）通過（1），可知，再分析題意，設(shè)出，證明出，進一步解析即可得出答案.
【小問1詳解】
易知，
當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
當時，的解集為，的解集為，
所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
當時，的解集為，的解集為，
所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
【小問2詳解】
由（1）可知，，且，
設(shè)，則，，
令，解得，易知，所以單調(diào)遞增，
又因為，所以當時，，當時，，
由題意可知，，所以，其中，
要證，即證明，即證明，
即證明，即證明，
設(shè)，即證明，
易知，則，
所以單調(diào)遞增，所以，
所以單調(diào)遞增，所以，即命題得證.
（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
22. 在極坐標系中，圓C的極坐標方程為.
（1）以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系，求圓C的直角坐標方程；
（2）求圓C上的點到直線距離的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】應用三角恒等變換、轉(zhuǎn)換公式及點到線的距離公式即可求解；
【小問1詳解】
因，所以，
又，，，所以，
整理得；
【小問2詳解】
因為，所以，
即直線的直角坐標方程為，
又由（1）可知，圓心C的坐標為，且半徑，
所以最小距離.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知正數(shù)滿足.
（1）若，求的最小值；
（2）證明：.
【答案】（1）4 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，再由，即可得證.
【小問1詳解】
解：當時，可得，
所以，
當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.
【小問2詳解】
證明：因為，可得,
所以，
當且僅當時，等號成立，
因為，所以，
所以.

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