考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色，黑水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．
3．考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．
4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章～第二章．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．以為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，，則（ ）
A．B．C．22D．29
3．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則下列不在直線上的點(diǎn)是（ ）
A．B．C．D．
4．在梯形中，，且和所在直線的方程分別是與，則梯形的面積為（ ）
A．B．C．D．45
5．已知是空間的一個(gè)基底，，，若，則（ ）
A．B．0C．5D．6．
6．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線上，若為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）長度的最大值為（ ）
A．B．C．10D．
7．在四棱柱中，四邊形是正方形，，，，則的長為（ ）
A．B．7C．6D．
8．已知圓和點(diǎn)，，若點(diǎn)在圓上，且，則實(shí)數(shù)的取值范目是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．若直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
10．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
11．已知圓和圓相交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．直線的方程為
C．線段的長為
D．到直線的距離與到直線的距離之比為
12．如圖，在長方體中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．異面直線和所成角的余弦值為
D．若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離不是定值
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．直線的傾斜角為__________．
14．已知是平面的一個(gè)法向岳，點(diǎn)，在平面內(nèi)，則_________．
15．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為_______．
16．2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
已知三條直線，和．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若三條直線相交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．
18．（本小題滿分12分）
在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，設(shè)，．
（1）若與互相垂直，求的值；
（2）求點(diǎn)到直線的距離．
19．（本小題滿分12分）
已知，，，圓是的外接圓．
（1）求圓的方程；
（2）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為6，求直線的方程．
20．（本小題滿分12分）
在四棱錐中，平面，底面是正方形，，分別在棱，上且，．
（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．
21．（本小題滿分12分）
已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過直線上一點(diǎn)向曲線作切線，切點(diǎn)分別為，，若圓過，，三點(diǎn)，證明圓恒過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．
22．（本小題滿分12分）
如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，四邊形為菱形，且，平面平面，為棱的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）棱（除兩端點(diǎn)外）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由．
2023年秋季學(xué)期高二期中考試試題·數(shù)學(xué)
參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則
1．B 由題意知，圓心是，圓的半徑，所以圓的方程為．故選B．
2．A 由，，得，，所以．故選A．
3．D 由直線的兩點(diǎn)式方程，得直線的方程為，即，所以點(diǎn)，，都在直線上，點(diǎn)不在直線上．故選D．
4．B 由，知，所以梯形的高即為直線和間的距離，所以梯形的面積為．故選B．
5．D ，因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以，所以解得所以．故選D．
6．A 線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以線段的中垂線的斜率為，所以線段，，．故選A．
7．D 由題意知，所以，所以，即的長為．故選D．
8．C 設(shè)，由，得，即點(diǎn)在圓上，圓心為，半徑．圓的圓心為，半徑，又點(diǎn)在圓上，故圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是．故選C．
9．BC 當(dāng)截距為0時(shí)，過點(diǎn)和原點(diǎn)，所以的方程為，即；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)的方程為，由過點(diǎn)，得，解得，所以的方程為．故選BC．
10．AB 因?yàn)?，，是不共面的向量，能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故A正確；，，是不共面的向量，能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故B正確；因?yàn)?，所以，，是共面向量，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，，是共面向量，不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤．故選AB．
11．ABC 對于A項(xiàng)，若兩個(gè)圓相交，則圓心，所在直線垂直平分兩圓的公共弦，故A正確；對于B項(xiàng)，因?yàn)閳A和圓相交于，兩點(diǎn)，所以兩圓相減得到，即，故B正確；對于C項(xiàng)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心到直線的距離為，所以，故C正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)閳A化為標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心到直線的距離為，所以到直線的距離與到直線的距離之比為，故D錯(cuò)誤．故選ABC．
12．ACD 以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，對于，因?yàn)?，，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)榕c不平行，所以平面不成立，故B錯(cuò)誤；對于C，，，設(shè)異面直線和所成的角為，則，故C正確；對于D，設(shè)，其中，所以，又平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離，不是定值，故D正確．故選ACD．
13． 由題意得該直線的斜率為，故其傾斜角為．
14．9 由，，得，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，點(diǎn)，在平面內(nèi)，所以，所以，解得．
15．2 由題意知直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，最小，此時(shí)．根據(jù)弦長公式得的最小值為．
16． 由題可知，在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則解得即．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線即為，又，所以直線的方程為，設(shè)將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)為，則即為與的交點(diǎn)，所以．
17．解：（1）因?yàn)椋?，所以，解得．?jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，．
（2）由解得即與的交點(diǎn)為，
因?yàn)槿龡l直線相交于一點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，
所以，解得．
18．解：（1）由題意知，
，
所以，．
又與互相垂直，
所以，解得．
（2）由（1）知，，
所以，
所以點(diǎn)到直線的距離．
19．解：（1）設(shè)圓的一般方程為，
因?yàn)閳A過，，三點(diǎn)，所以解得
所以圓的一般式方程為．
（2）由（1）可知圓心為，半徑，又被圓截得的弦長為6，
所以由垂徑定理可得圓心到直線的距離，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)，
所以的方程為，圓心到直線的距離，故滿足要求．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，
又過點(diǎn)，所以直線的方程為，
由點(diǎn)到直線的距離公式可得，
解得，直線的方程為．
綜上所述，直線的方程為或．
20．（1）證明：如圖，在棱上取點(diǎn)，使得，連接，，
因?yàn)?，所以且?br>由正方形，，得且，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）解：若，則可設(shè)，所以．
以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)，，，，，
則，，，
設(shè)平面的法向量為，則
由得
令，得平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成角的大小為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為．
21．（1）解：設(shè)曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)為，由已知得，
化簡可得，即曲線的軌跡方程為．
（2）證明：由（1）知曲線是以為圓心，半徑為的圓，
過直線上一點(diǎn)向曲線作切線，切點(diǎn)分別為，，
則，，所以，，，四點(diǎn)共圓，
即圓為的外接圓，圓心為的中點(diǎn)，半徑為．
設(shè)，則，的中點(diǎn)為，，
所以圓的方程為，
即．
將變形，得，
所以解得或
所以圓恒過定點(diǎn)和．
22．（1）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，．
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以?br>又，所以為等邊三角形，所以．
因?yàn)樗倪呅螢檎叫吻?，分別是，的中點(diǎn)，所以，
又，，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>且，平面，所以平面．
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)，則點(diǎn)，，，．
，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則由及，得
不妨取，則．假設(shè)棱上（除端點(diǎn)外）存在點(diǎn)滿足題意，
令，得，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則由及，
得不妨取，得．
設(shè)，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則由及，得
不妨取，得．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，解得或．
因?yàn)?，?br>所以在棱（除兩端點(diǎn)外）上不存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為．

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