A. 0B. －1C. 2D. －2
2設(shè)全集，集合A，B滿足，，則（）
A. B. C. D.
3. 如圖，已知一個(gè)三棱錐的主視圖、左視圖和俯視圖均為斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，則該三棱錐的體積為（）
A. B. C. D.
4. 已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（）
A. 2B. C. D. 1
5. 已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（）
A. B. C. D.
6. 已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則P滿足的概率為（）
A. B. C. D.
7已知拋物線：，：，若直線l：與交于點(diǎn)A，B，且與交于點(diǎn)P，Q，且，則（）
A. 1B. 2C. 4D. 6
8. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，且，則的面積（）
A. 1B. C. D.
9. 已知函數(shù)在的最小值為－1，則（）
A. 2eB. 3C. eD. 1
10. 如圖，已知圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，該橢圓的長(zhǎng)軸AC為圓柱的軸截面對(duì)角線，短軸長(zhǎng)等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個(gè)周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖像的一部分，且其對(duì)應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（）
A. B. C. D. 2
11. 已知A，B是圓C：的兩點(diǎn)，且是正三角形，則直線AB的方程為（）
A. B.
C. D.
12. 已知函數(shù)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線的切線l，切點(diǎn)為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點(diǎn)B，則面積的取值范圍是（）
A. B. C. D.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知數(shù)據(jù)15，14，14，a，16的平均數(shù)為15，則其方差為______.
14. 已知某圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為r，下底面圓心為，半徑為2r，高為h.若該圓臺(tái)的外接球球心為O，且，則______.
15. 若雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是其右支上的動(dòng)點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)Q.若存在P，使得，則C的離心率的取值范圍為______.
16. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，則的最大值為______.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 某酒店為了調(diào)查入住賓客對(duì)該酒店服務(wù)的滿意率，對(duì)一個(gè)月來曾入住過的顧客進(jìn)行電話回訪，回訪結(jié)果顯示，顧客的滿意率為80%.在不滿意的顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的占60%，對(duì)服務(wù)員的服務(wù)態(tài)度不滿意的占40%.
（1）若在電話回訪的所有顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的顧客共有240人，求此次電話回訪的顧客總數(shù)；
（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顧客中，隨機(jī)選擇兩名進(jìn)行回訪，求甲、乙兩人中至少一人被選中的概率.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
（1）證明：平面平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
19. 已知等比數(shù)列公比，且，首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為.
（1）若，且為定值，求q的值；
（2）若對(duì)任意恒成立，求q的取值范圍.
20. 已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A.過點(diǎn)F且不與x軸重合的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)（P在x軸上方），直線AP交直線：于點(diǎn)M.當(dāng)P的橫坐標(biāo)為時(shí)，.
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求的值.
21. 已知.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，設(shè)，且不等式的解集為，證明：.
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為.
（1）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求圓C上的點(diǎn)到直線距離的最小值.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知正數(shù)滿足.
（1）若，求最小值；
（2）證明：.文科數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（）
A. 0B. －1C. 2D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)是實(shí)數(shù)求出的值
【詳解】因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以.
故選：B
2. 設(shè)全集，集合A，B滿足，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算的定義求解即可.
【詳解】由題意，若，則，故A錯(cuò)誤；若，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故，故C正確；
若，則，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
3. 如圖，已知一個(gè)三棱錐的主視圖、左視圖和俯視圖均為斜邊長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，則該三棱錐的體積為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三視圖可以畫出該幾何體的直觀圖,可得一條側(cè)棱與底面垂直，底面是直角三角形，得四面體的高與底面積，計(jì)算四面體的體積.
【詳解】知直角邊長(zhǎng)為，所以體積.
故選：D
4. 已知非零向量，滿足，且，則的最小值為（）
A. 2B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量數(shù)量積與模長(zhǎng)關(guān)系結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：B
5. 已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先分析題意結(jié)合已知信息，求出周期，解出答案可得.
【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，
得出的周期，所以.
故選：A.
6. 已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則P滿足的概率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用線性規(guī)劃結(jié)合幾何概型計(jì)算即可.
【詳解】如圖，可行域?yàn)樗鶉傻膮^(qū)域，
，，滿足的區(qū)域?yàn)椋?br>且，
易知，
所以的概率.
故選：D
7. 已知拋物線：，：，若直線l：與交于點(diǎn)A，B，且與交于點(diǎn)P，Q，且，則（）
A. 1B. 2C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】分別將直線l與拋物線，聯(lián)立，要使，只需，整理解出即可.
【詳解】結(jié)合題意：要使，即，
只需滿足
直線l與拋物線聯(lián)立，，消去x，整理得，
所以，
直線l與拋物線聯(lián)立，，消去x，整理得，
所以，解得.
故選:C.
8. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，且，則的面積（）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式即可得，即可求解，或者利用二倍角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可求解.
【詳解】方法1：因?yàn)?，所以?br>又，所以，
由于，解得，則，
由可得均為銳角，所以，則，
所以，即，所以.
方法2：因?yàn)?，所以，又，故均為銳角，
所以，即，
因?yàn)椋?，?
所以，
則，故，.
故選：A
9. 已知函數(shù)在的最小值為－1，則（）
A. 2eB. 3C. eD. 1
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析題意，可知恒成立，再設(shè)，解出，求出，即.
【詳解】由題意可知，恒成立，且存在，使得等號(hào)成立，
所以恒成立，且存在，使得等號(hào)成立，
設(shè)，則，
令，解得，
時(shí)，；時(shí)，
所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
易知，即.
故選：B.
10. 如圖，已知圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，該橢圓的長(zhǎng)軸AC為圓柱的軸截面對(duì)角線，短軸長(zhǎng)等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個(gè)周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖像的一部分，且其對(duì)應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，以及橢圓的幾何性質(zhì)，利用勾股定理列出方程，即可求解.
【詳解】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖像的一部分，
可得，且，所以圓柱的底面直徑，
設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，因?yàn)殡x心率為，可得，
所以，由勾股定理得，解得.
故選：A.
11. 已知A，B是圓C：的兩點(diǎn)，且是正三角形，則直線AB的方程為（）
AB.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合圖形，先判斷出切線與原點(diǎn)與圓心連線的夾角為，進(jìn)而得到兩點(diǎn)恰為切點(diǎn)，再應(yīng)用點(diǎn)到線的距離即可求解.
【詳解】設(shè)是圓的圓心，，
由題意可知，圓與軸相切于D點(diǎn)，則，
又，所以，又是正三角形，
則兩點(diǎn)恰為切點(diǎn)
設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
由題意可知，，且，所以，
不妨設(shè)線段AB中點(diǎn)為H，則，
設(shè)直線AB：，即，
則，
則或，
結(jié)合圖形知時(shí)與圓沒有交點(diǎn)，故舍去，
則，所以直線AB的方程為.
故選：C
12. 已知函數(shù)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線的切線l，切點(diǎn)為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點(diǎn)B，則面積的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先設(shè)出切點(diǎn)，求出，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線l方程，根據(jù)切線l過原點(diǎn)求出切點(diǎn)坐標(biāo)和直線l的斜率；再根據(jù)已知條件求出直線的方程，進(jìn)一步求出點(diǎn)B坐標(biāo)；最后根據(jù)三角形面積公式表示出面積，利用基本不等式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
設(shè)切點(diǎn)為，
則，.
所以切線l方程為.
因?yàn)榍芯€l過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
所以將代入切線方程，整理得，解得：.
所以，
則點(diǎn)，.
因?yàn)橹本€過A且與直線l垂直，
所以，
則直線的方程為.
令，解得，
所以點(diǎn)B坐標(biāo)為.
所以.
因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于：先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決過原點(diǎn)的曲線切線方程問題；再根據(jù)平面兩直線垂直得出直線的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)；最后表示出面積，利用基本不等式求解即可.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知數(shù)據(jù)15，14，14，a，16的平均數(shù)為15，則其方差為______.
【答案】##
【解析】
【分析】先由平均數(shù)的公式計(jì)算出平均數(shù)，再根據(jù)方差的公式計(jì)算
【詳解】因?yàn)?，所以，所?
故答案為：
14. 已知某圓臺(tái)的上底面圓心為，半徑為r，下底面圓心為，半徑為2r，高為h.若該圓臺(tái)的外接球球心為O，且，則______.
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)圓臺(tái)與球的特征計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>所以,
解之得.
故答案為：3
15. 若雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是其右支上的動(dòng)點(diǎn)，與其左支交于點(diǎn)Q.若存在P，使得，則C的離心率的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>所以，由于，所以，解得，所以.
故答案為：
16. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，則的最大值為______.
【答案】200
【解析】
【分析】首先分析題意，方法一過O作于H，在過P作圓的一條切線，最后通過圖像，求出.
方法二設(shè)出通過化簡(jiǎn)，得出的最大值為200.
【詳解】方法1：過O作于H，則，且易知H在以線段OA為直徑的圓上，設(shè)該圓的圓心為，則，過P作圓的一條切線，切點(diǎn)為B，則，故當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最大.記圓的圓心為，其半徑，則由幾何關(guān)系可知，故的值最大為
方法2：設(shè)，則
，故當(dāng)時(shí)，的最大值為200.
故答案為：200.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 某酒店為了調(diào)查入住賓客對(duì)該酒店服務(wù)的滿意率，對(duì)一個(gè)月來曾入住過的顧客進(jìn)行電話回訪，回訪結(jié)果顯示，顧客的滿意率為80%.在不滿意的顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的占60%，對(duì)服務(wù)員的服務(wù)態(tài)度不滿意的占40%.
（1）若在電話回訪的所有顧客中，對(duì)住宿環(huán)境不滿意的顧客共有240人，求此次電話回訪的顧客總數(shù)；
（2）若在一同住宿的甲、乙等五名顧客中，隨機(jī)選擇兩名進(jìn)行回訪，求甲、乙兩人中至少一人被選中的概率.
【答案】（1）人
（2）
【解析】
【分析】（1）利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系求解；
（2）利用古典概率模型求解
【小問1詳解】
住宿環(huán)境不滿意的顧客在所有顧客中所占的比例為，
所以回訪的顧客總數(shù)為人；
【小問2詳解】
設(shè)甲、乙兩人中至少一人被選中為事件A，
由題意可知，甲乙兩人都未被選中的概率為,
所以.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
（1）證明：平面平面；
（2）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分別作的中點(diǎn)，證得，得到，再由，得到，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.
（2）過作于，求得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合，即可求解.
【小問1詳解】
證明：分別作的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，且四邊形為等腰梯形，
可得，所以，
在等腰梯形中，因?yàn)?，?br>可得，所以，
因?yàn)槭钦切?，是中點(diǎn)，所以，又由，可知
又因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)椋?，且平面，所以平面?br>又因?yàn)槠矫?，所以平面平?
【小問2詳解】
解：由（1）知，，且為的中點(diǎn)，可得，
過作于，因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn)，
且，所以，
又由，所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
19. 已知等比數(shù)列的公比，且，首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為.
（1）若，且為定值，求q的值；
（2）若對(duì)任意恒成立，求q的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算變形即可得解.
（2）對(duì)公比進(jìn)行分類討論即可，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行適當(dāng)放縮比較即可得解.
【小問1詳解】
易知，
若，且為定值，
則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，為定值－1.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，有，即要滿足恒成立，
當(dāng)時(shí)，由于，這與恒成立矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，即要滿足恒成立，
當(dāng)時(shí)，由于，
故.
綜上，q的取值范圍是.
20. 已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為A.過點(diǎn)F且不與x軸重合的直線l與C交于P，Q兩點(diǎn)（P在x軸上方），直線AP交直線：于點(diǎn)M.當(dāng)P的橫坐標(biāo)為時(shí)，.
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件及橢圓的定義求得a、b的值即可.
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線l，求出表達(dá)式，根據(jù)直線AP交直線：于點(diǎn)M，與，求出點(diǎn)M坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值.
【小問1詳解】
由題意可知，，即，
設(shè)，則，且有，
所以，
又，
整理化簡(jiǎn)有，
所以（不合題意舍去），或，
所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
由題可知，直線l的斜率不為0，設(shè)l：，，，
將l與C的方程聯(lián)立，，消去x，整理得，
所以，，
則，
又直線AP的方程為，則，
所以，
且，所以，
所以，整理得，
因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方，所以直線的斜率，且，
所以，即，
所以
，
又，
所以，
所以，即.
21. 已知.
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，設(shè)，且不等式的解集為，證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）首先分析題意，可知，再分情況討論a,總結(jié)出的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）通過（1），可知，再分析題意，設(shè)出，證明出，進(jìn)一步解析即可得出答案.
【小問1詳解】
易知，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，的解集為，的解集為，
所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，的解集為，的解集為，
所以的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
【小問2詳解】
由（1）可知，，且，
設(shè)，則，，
令，解得，易知，所以單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
由題意可知，，所以，其中，
要證，即證明，即證明，
即證明，即證明，
設(shè)，即證明，
易知，則，
所以單調(diào)遞增，所以，
所以單調(diào)遞增，所以，即命題得證.
（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22. 在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為.
（1）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求圓C上的點(diǎn)到直線距離的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】應(yīng)用三角恒等變換、轉(zhuǎn)換公式及點(diǎn)到線的距離公式即可求解；
【小問1詳解】
因，所以，
又，，，所以，
整理得；
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以?br>即直線的直角坐標(biāo)方程為，
又由（1）可知，圓心C的坐標(biāo)為，且半徑，
所以最小距離.
[選修4-5：不等式選講]
23. 已知正數(shù)滿足.
（1）若，求的最小值；
（2）證明：.
【答案】（1）4 （2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，得到，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到，再由，即可得證.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.
【小問2詳解】
證明：因?yàn)椋傻?
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋裕?br>所以.

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