4.1 從問(wèn)題到方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練
知識(shí)點(diǎn)1 一元一次方程的有關(guān)概念
1.(2023江蘇泰興月考)下列方程中,屬于一元一次方程的有( )
①3x-y=2;②1x-2=0;③12x=12;④x2+3x-2=0.
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
2.【新獨(dú)家原創(chuàng)】若(a-1)x|a|=6是關(guān)于x的一元一次方程,則a的值為( )
A.±1 B.-1 C.1 D.2
知識(shí)點(diǎn)2 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列方程
3.【數(shù)學(xué)文化】(2022江蘇南通海門期中)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問(wèn)題:“今有三人共車,兩車空;兩人共車,九人步.問(wèn)人與車各幾何?”其大意是每車坐3人,兩車空出來(lái);每車坐2人,多出9人需步行.問(wèn)人數(shù)和車數(shù)分別為多少?設(shè)人數(shù)為x,由題意可列出的一元一次方程是 .
4.【數(shù)學(xué)文化】(2022遼寧大連中考)我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足.”其大意是“今有人合伙買豬,每人出100錢,則會(huì)多出100錢;每人出90錢,恰好合適.”若設(shè)共有x人,根據(jù)題意,可列方程為 .
5.超市某商品標(biāo)價(jià)200元,開(kāi)業(yè)期間按標(biāo)價(jià)的八折出售,這時(shí)仍可獲利25%,設(shè)這種商品的進(jìn)價(jià)為x元,由題意列出方程為 .
能力提升全練
6.(2022河北石家莊二中月考,1,★☆☆)下列方程為一元一次方程的是( )
A.x+2y=3 B.y+3=0
C.x2-2x=0 D.1y+y=0
7. 【數(shù)形結(jié)合思想】(2022江蘇泗陽(yáng)期末,9,★★☆)在矩形ABCD中放入六個(gè)長(zhǎng)、寬都相同的小長(zhǎng)方形,所標(biāo)尺寸如圖所示,求小長(zhǎng)方形的寬AE.設(shè)AE=x cm,依題意可列方程為( )
A.6+2x=14-3x B.6+2x=x+(14-3x)
C.14-3x=6 D.6+2x=14-x
8.【數(shù)學(xué)文化】(2022江蘇南通中考,11,★★☆)《九章算術(shù)》中記載:“今有共買羊,人出五,不足四十五;人出七,余三.問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何?”其大意是:今有人合伙買羊,若每人出5錢,還差45錢;若每人出7錢,多余3錢.問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各是多少?若設(shè)人數(shù)為x,則可列方程為 .
9.【數(shù)學(xué)文化】(2020吉林中考,10,★★☆)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算學(xué)啟蒙》中有這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,其大意是:跑得快的馬每天走240里,跑得慢的馬每天走150里,慢馬先走12天,快馬幾天可以追上慢馬?設(shè)快馬x天可以追上慢馬,根據(jù)題意,可列方程為 .
10.(2022江蘇南通中考,19,★☆☆)在一次植樹(shù)活動(dòng)中,甲班植樹(shù)的棵數(shù)比乙班多20%,乙班植樹(shù)的棵數(shù)比甲班的一半多10.設(shè)乙班植樹(shù)x棵.
(1)列兩個(gè)不同的含x的代數(shù)式表示甲班植樹(shù)的棵數(shù);
(2)根據(jù)題意列出含未知數(shù)x的方程;
(3)檢驗(yàn)乙班和甲班植樹(shù)的棵數(shù)是不是25和35.
素養(yǎng)探究全練
11.【模型觀念】根據(jù)“歡歡”與“樂(lè)樂(lè)”的對(duì)話,解決下面的問(wèn)題.
歡歡:“我手中有四張卡片,它們上面分別寫(xiě)有8,3x+2,12x-3,1x.”
樂(lè)樂(lè):“我用等號(hào)將這四張卡片中的任意兩張卡片上的數(shù)或式子連接起來(lái),就會(huì)得到等式或一元一次方程.”
問(wèn)題:
(1)樂(lè)樂(lè)一共能寫(xiě)出幾個(gè)等式?
(2)在她寫(xiě)的這些等式中,有幾個(gè)一元一次方程?請(qǐng)寫(xiě)出這幾個(gè)一元一次方程. 答案全解全析
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練
1.A ①3x-y=2,含有兩個(gè)未知數(shù);②1x-2=0,1x不是整式;
③12x=12,屬于一元一次方程;④x2+3x-2=0,未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
所以屬于一元一次方程的有1個(gè).
2.B 根據(jù)一元一次方程的定義,得|a|=1且a-1≠0,解得a=-1.
3.x3+2=x-92
解析 人數(shù)為x,根據(jù)車數(shù)不變,可得方程x3+2=x-92.
4.100x-90x=100
解析 根據(jù)“每人出100錢,則會(huì)多出100錢,每人出90錢,恰好合適”可列方程為100x-90x=100.
5.200×0.8-x=25%x
解析 本題中商品的售價(jià)是(200×0.8)元,利潤(rùn)是25%x元.根據(jù)售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)可得出關(guān)于x的一元一次方程.
能力提升全練
6.B 只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的次數(shù)是1,等號(hào)兩邊都是整式,這樣的方程叫做一元一次方程,A中含2個(gè)未知數(shù),C中未知數(shù)的最高次數(shù)是2,D中的1y不是整式,故A、C、D都不是一元一次方程.故選B.
7.B 如圖,AE的長(zhǎng)為x cm,則AM的長(zhǎng)為(14-3x)cm,
∵AN=MW,∴AN+6=x+MR,
即6+2x=x+(14-3x).
8.5x+45=7x-3
解析 根據(jù)購(gòu)買羊的總錢數(shù)不變,可列方程為5x+45=7x-3.
9.(240-150)x=150×12
解析 根據(jù)兩馬的速度之差×快馬走的天數(shù)=慢馬的速度×慢馬先走的天數(shù),可列方程為(240-150)x=150×12.
10.解析 (1)根據(jù)甲班植樹(shù)的棵數(shù)比乙班多20%,得甲班植樹(shù)的棵數(shù)為(1+20%)x;根據(jù)乙班植樹(shù)的棵數(shù)比甲班的一半多10,得甲班植樹(shù)的棵數(shù)為2(x-10).
(2)(1+20%)x=2(x-10).
(3)把x=25分別代入(2)中方程的左邊和右邊,
得左邊=(1+20%)×25=30,右邊=2×(25-10)=30.因?yàn)樽筮?右邊,所以x=25是方程(1+20%)x=2(x-10)的解.此時(shí)2(x-10)=30.
所以乙班植樹(shù)的棵數(shù)是25,甲班植樹(shù)的棵數(shù)是30.故乙班和甲班植樹(shù)的棵數(shù)不是25和35.
素養(yǎng)探究全練
11.解析 (1)根據(jù)題意,得3x+2=8;12x-3=8;1x=8;3x+2=12x-3;3x+2=1x;12x-3=1x,共6個(gè)等式.
(2)一元一次方程有3個(gè),分別為3x+2=8;12x-3=8;3x+2=12x-3.
大概念素養(yǎng)目標(biāo)
對(duì)應(yīng)新課標(biāo)內(nèi)容
理解一元一次方程的概念;了解方程的解;經(jīng)歷列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程
能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義,能針對(duì)具體問(wèn)題列出方程;理解方程解的意義,經(jīng)歷估計(jì)方程解的過(guò)程【P56】
掌握等式的基本性質(zhì),掌握一元一次方程的解法
掌握等式的基本性質(zhì);能解一元一次方程【P56】

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