學(xué)校____________ 姓名____________ 班級____________
一、單選題
1．記等比數(shù)列{}的前n項和為.若，則=（ ）
A．B．
C．D．
2．等比數(shù)列中，已知，，則（ ）
A．31B．32C．63D．127
3．已知為公差不為0的等差數(shù)列的前n項和.若，，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．11B．13C．23D．24
4．在等比數(shù)列中，為方程的兩根，則的值為（ ）
A．B．C．D．
5．在等比數(shù)列中，，若，，成等差數(shù)列，則的公比為（ ）．
A．2B．3C．4D．5
6．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，已知，，則公比（ ）
A．或B．
C．或D．
7．已知等比數(shù)列滿足，且，，2，…，且，則當(dāng)時，（ ）．
A．B．C．D．
8．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為，且，則（ ）
A．36B．39C．40D．44
9．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列．若存在兩項使得，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．北京年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進行“次分形”．規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個長度不小于的分形圖，則的最小值是（ ）（參考數(shù)據(jù)，）
A．B．C．D．
二、多選題
11．若數(shù)列是等比數(shù)列，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
12．已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．是等比數(shù)列B．
C．是等比數(shù)列D．
三、填空題
13．正項等比數(shù)列，若，，則的值為_________．
14．我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地．”則該人第一天走的路程為___________里．
四、解答題
15．已知數(shù)列的前項和為，，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前項和為，證明：．
16．在①，，成等比數(shù)列，②，③中選出兩個作為已知條件，補充在下面問題中，并作答．
設(shè)為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和，已知___．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
第19練 等比數(shù)列及其求和
學(xué)校____________ 姓名____________ 班級____________
一、單選題
1．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）記等比數(shù)列{}的前n項和為.若，則=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】
因為，所以，
因為，所以，
所以公比，
所以
故選：C
2．（2022·安徽馬鞍山·三模（文））等比數(shù)列中，已知，，則（ ）
A．31B．32C．63D．127
【答案】A
【詳解】
解：因為等比數(shù)列中，已知，，設(shè)等比數(shù)列公比為，
所以，解得，
所以，解得，
所以，
故選：A.
3．（2022·河南·方城第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知為公差不為0的等差數(shù)列的前n項和.若，，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．11B．13C．23D．24
【答案】C
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，，成等比數(shù)列，
所以，
化簡得（舍去）或，
所以.
故選：C
4．（2022·遼寧沈陽·三模）在等比數(shù)列中，為方程的兩根，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
解：在等比數(shù)列中，
因為為方程的兩根，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
5．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））在等比數(shù)列中，，若，，成等差數(shù)列，則的公比為（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，
因為，，成等差數(shù)列，
所以，于是有，
即，或舍去，
故選：B
6．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，已知，，則公比（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】B
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的首項為，
由題意，得，，
因為，，
所以，
所以，解得或（舍）.
故選：B.
7．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列滿足，且，，2，…，且，則當(dāng)時，（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
由得，，
則，．
故選：A．
8．（2022·江西·模擬預(yù)測（文））已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為，且，則（ ）
A．36B．39C．40D．44
【答案】B
【詳解】
由題可得，
由，得，
解得，
所以，
所以.
故選：B．
9．（2022·山東淄博·三模）已知正項等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列．若存在兩項使得，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
由題設(shè)，即，又為正項等比數(shù)列，
所以，，
由，則，即，
所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，滿足，
所以的最小值為2.
故選：B
10．（2022·河南·模擬預(yù)測（文））北京年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進行“次分形”．規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個長度不小于的分形圖，則的最小值是（ ）（參考數(shù)據(jù)，）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】
圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，
“次分形”后線段的長度為，
所以要得到一個長度不小于的分形圖，
只需滿足，則，即，
解得，所以至少需要次分形．
故選：C.
二、多選題
11．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
【答案】AD
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，則是以為公比的等比數(shù)列，A對；
時，，則不是等比數(shù)列，B錯；
，時，，
此時不是等比數(shù)列，C錯；
，所以，是公比為的等比數(shù)列，D對.
故選：AD．
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．是等比數(shù)列B．
C．是等比數(shù)列D．
【答案】ACD
【詳解】
對選項A，當(dāng)是奇數(shù)時，，
所以，
又因為，所以，
所以當(dāng)是奇數(shù)時，，即.
即數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故A正確.
對選項B，由A知：當(dāng)是奇數(shù)時，，
所以，故B錯誤.
對選項C，為偶數(shù)時，，即，
又因為，所以，即，
所以是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故C正確.
，
故D正確.
故選：ACD
三、填空題
13．（2022·寧夏·平羅中學(xué)三模（文））正項等比數(shù)列，若，，則的值為_________．
【答案】
【詳解】
由題，因為，可得，則.
故答案為：.
14．（2022·浙江·模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地．”則該人第一天走的路程為___________里．
【答案】192
【詳解】
解：由題意得，該人每天所走的路程成等比數(shù)列，公比為，
設(shè)第一天走了里，
則，解得，
即則該人第一天走的路程為192里.
故答案為：192.
四、解答題
15．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前項和為，證明：．
【解析】(1)
）因為，所以，
所以，
因為，所以，，
故數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為2；
(2)
由（1）可知，所以，
所以．
16．（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預(yù)測（理））在①，，成等比數(shù)列，②，③中選出兩個作為已知條件，補充在下面問題中，并作答．
設(shè)為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和，已知___．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
【解析】(1)
若選①②作為條件，
設(shè)|的公差為d，
由成等比數(shù)列可知，
所以，
整理得．
由得，
整理得，
當(dāng)時，不合題意，
所以，則，解得，
故．
若選①③作為條件．
設(shè)的公差為d，
由成等比數(shù)列可知，
所以
整理得．
由得，
整理得，
所以，解得或，
當(dāng)時，，不合題意，
所以，則，
故；
若選②③作為條件．
設(shè)的公差為d，
由得，
整理得，
由得，
整理得，
由兩式聯(lián)立得，
故；
(2)
由（1）得，
所以，
故數(shù)列的前n項和．

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