一、知識梳理
1.等比數(shù)列的概念
(1)定義：如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù)q，即eq \f(an＋1,an)＝q恒成立，則稱{an}為等比數(shù)列，其中q稱為等比數(shù)列的公比.
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).
(2)等比中項(xiàng)：如果x，G，y是等比數(shù)列，則稱G為x與y的等比中項(xiàng)，且G2＝xy.
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；
通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若正整數(shù)s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as·at＝apaq，特別地，如果2s＝p＋q，則aeq \\al(2,s)＝ap·aq.
(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.
(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
考點(diǎn)和典型例題
1、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
【典例1-1】（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且，則（ ）
A．1024B．960C．768D．512
【典例1-2】（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（ ）
A．14B．34C．41D．86
【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（ ）
A．B．C．3D．
【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年國慶閱兵活動向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象，展示了科技強(qiáng)軍的偉大成就以及維護(hù)世界和平的堅(jiān)定決心，在閱兵活動的訓(xùn)練工作中，不僅使用了北斗導(dǎo)航、電子沙盤、仿真系統(tǒng)、激光測距機(jī)、邁速表和高清攝像頭等新技術(shù)裝備，還通過管理中心對每天產(chǎn)生的大數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲、分析，有效保證了閱兵活動的順利進(jìn)行，假如訓(xùn)練過程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a，其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的倍，那么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則的最小值為（ ）
A．16B．24C．32D．8
【典例1-6】（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測）如圖是標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分．最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力記錄，這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為；最右邊一列“小數(shù)記錄”為國際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為．已知標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為，則標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．D．
2、等比數(shù)列的判定與證明
【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）（多選）已知為數(shù)列的前項(xiàng)之和，且滿足 ，則下列說法正確的是（ ）
A． 為等差數(shù)列B．若 為等差數(shù)列，則公差為2
C．可能為等比數(shù)列D．的最小值為0，最大值為20
【典例2-2】（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）（多選）著名的“河內(nèi)塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下?從小到大套著n個(gè)中心帶孔的圓盤.將一個(gè)柱子最上方的一個(gè)圓盤移動到另一個(gè)柱子，且保持每個(gè)柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設(shè)將n個(gè)圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）（多選）若正整數(shù)m．n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對于正整數(shù)k，（k）是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，．已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么，例如：，則（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和小于
【典例2-4】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．?dāng)?shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：．
【典例2-5】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足， .
(1)若，求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【典例3-1】（2022·湖南·邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（ ）
A．64B．128C．256D．512
【典例3-3】（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則公比q＝（ ）
A．B．2C．D．3
【典例3-4】（2022·海南海口·二模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)且互不相等，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③．
注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【典例3-5】（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若 ，的前項(xiàng)和為 ，求滿足的最小正整數(shù)
第19講 等比數(shù)列及其求和
學(xué)校____________ 姓名____________ 班級____________
一、知識梳理
1.等比數(shù)列的概念
(1)定義：如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù)q，即eq \f(an＋1,an)＝q恒成立，則稱{an}為等比數(shù)列，其中q稱為等比數(shù)列的公比.
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).
(2)等比中項(xiàng)：如果x，G，y是等比數(shù)列，則稱G為x與y的等比中項(xiàng)，且G2＝xy.
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；
通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若正整數(shù)s，t，p，q滿足s＋t＝p＋q，則as·at＝apaq，特別地，如果2s＝p＋q，則aeq \\al(2,s)＝ap·aq.
(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.
(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
考點(diǎn)和典型例題
1、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算
【典例1-1】（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且，則（ ）
A．1024B．960C．768D．512
【答案】A
【詳解】
解：依題意設(shè)公比為，且、，由，則，即，所以，
因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?br>故選：A
【典例1-2】（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（ ）
A．14B．34C．41D．86
【答案】C
【詳解】
因?yàn)槌晒葹?的等比數(shù)列，可得，所以
又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以公差，
所以，
所以，解得.
故選：C.
【典例1-3】（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（文））等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，成等差數(shù)列，則的公比為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，
所以，
化為：，解得．
故選：D
【典例1-4】（2022·新疆喀什·高三期末（理））70周年國慶閱兵活動向全世界展示了我軍威武文明之師的良好形象，展示了科技強(qiáng)軍的偉大成就以及維護(hù)世界和平的堅(jiān)定決心，在閱兵活動的訓(xùn)練工作中，不僅使用了北斗導(dǎo)航、電子沙盤、仿真系統(tǒng)、激光測距機(jī)、邁速表和高清攝像頭等新技術(shù)裝備，還通過管理中心對每天產(chǎn)生的大數(shù)據(jù)進(jìn)行存儲、分析，有效保證了閱兵活動的順利進(jìn)行，假如訓(xùn)練過程中第一天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為a，其后每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量都是前一天的倍，那么訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
根據(jù)題意可知每天產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是以為首項(xiàng)，（）為公比的等比數(shù)列，
所以訓(xùn)練n天產(chǎn)生的總數(shù)據(jù)量為，
故選：D
【典例1-5】（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則的最小值為（ ）
A．16B．24C．32D．8
【答案】C
【詳解】
等比數(shù)列滿足，且公比，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
故選：C.
【典例1-6】（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測）如圖是標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)遠(yuǎn)視力表的一部分．最左邊一列“五分記錄”為標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力記錄，這組數(shù)據(jù)從上至下為等差數(shù)列，公差為；最右邊一列“小數(shù)記錄”為國際標(biāo)準(zhǔn)視力記錄的近似值，這組數(shù)據(jù)從上至下為等比數(shù)列，公比為．已知標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力準(zhǔn)確值為，則標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
依題意，以標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力為左邊數(shù)據(jù)組的等差數(shù)列的首項(xiàng)，其公差為-0.1，標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力為該數(shù)列第3項(xiàng)，
標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值1.0為右邊數(shù)據(jù)組的等比數(shù)列的首項(xiàng)，其公比為，
因此，標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力對應(yīng)的國際標(biāo)準(zhǔn)視力值為該等比數(shù)列的第3項(xiàng)，其大小為.
故選：D
2、等比數(shù)列的判定與證明
【典例2-1】（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）（多選）已知為數(shù)列的前項(xiàng)之和，且滿足 ，則下列說法正確的是（ ）
A． 為等差數(shù)列B．若 為等差數(shù)列，則公差為2
C．可能為等比數(shù)列D．的最小值為0，最大值為20
【答案】BCD
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，，
整理得，當(dāng)時(shí)，若，可得，若，，
可得數(shù)列為等比數(shù)列，；當(dāng)時(shí)，可得，數(shù)列為等差數(shù)列，
若，可得，若，可得；故A錯誤；B正確；C正確；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故D正確.
故選：BCD.
【典例2-2】（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）（多選）著名的“河內(nèi)塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下?從小到大套著n個(gè)中心帶孔的圓盤.將一個(gè)柱子最上方的一個(gè)圓盤移動到另一個(gè)柱子，且保持每個(gè)柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設(shè)將n個(gè)圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【詳解】
將圓盤從小到大編為號圓盤，則將第號圓盤移動到3號柱時(shí)，需先將第號圓盤移動到2號柱，需次操作；
將第號圓盤移動到3號柱需1次操作；
再將號圓需移動到3號柱需次操作，
故，，又，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴，即，
∴.
故選：AD.
【典例2-3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）（多選）若正整數(shù)m．n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對于正整數(shù)k，（k）是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，．已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么，例如：，則（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列
D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和小于
【答案】ABD
【詳解】
，A對；
∵2為質(zhì)數(shù)，∴在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，
∴為等比數(shù)列，B對；
∵與互質(zhì)的數(shù)為
共有個(gè)，∴
又∵=，∴一定是單調(diào)增數(shù)列，C錯；
，的前n項(xiàng)和為
，D對.
故選：ABD．
【典例2-4】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．?dāng)?shù)列滿足，．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：．
【解析】(1)
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以，整理得．
所以，又，故．
所以，即為等比數(shù)列．所以
(2)
由題意得，所以與同號，
又因?yàn)?，所以，即，即?br>所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，
即，累加得．
令，，所以，
兩式相減得：，
所以，所以，所以．
【典例2-5】（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足， .
(1)若，求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】(1)
因?yàn)?br> 所以，
因?yàn)樗?
所以
所以
所以是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列.
(2)
由（1）易得：
因?yàn)樗?
所以

3、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【典例3-1】（2022·湖南·邵陽市第二中學(xué)模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在、，使得，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，解得，
因?yàn)?，則，，可得，
由已知、，所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
因此，的最小值為.
故選：D.
【典例3-2】（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（ ）
A．64B．128C．256D．512
【答案】A
【詳解】
由，得.
又，得.故.
由，得，得，且.故當(dāng)或4時(shí)，取得最大值，即.
故選：A.
【典例3-3】（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則公比q＝（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【詳解】
由，則，所以，即，
解得q＝3或q＝－1（舍去）．
故選：D．
【典例3-4】（2022·海南海口·二模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)且互不相等，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．
①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③．
注：如選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
【解析】
選擇①②為條件，③為結(jié)論．
證明過程如下：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知且．
則，，，
因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，
即，展開整理得，
所以，即．
選擇①③為條件，②為結(jié)論，
證明過程如下：設(shè)的公比為q，由題意知且．
因?yàn)?，即，因?yàn)椋裕?br>所以，所以．
因?yàn)?，?br>所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
選擇②③為條件，①為結(jié)論，
證明過程如下：設(shè)的公比為，由題意知且．
則，所以，
又因?yàn)?，且，所以．所以?br>當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
【典例3-5】（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若 ，的前項(xiàng)和為 ，求滿足的最小正整數(shù)
【答案】(1)(2)5
【解析】(1)
設(shè)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為q，
則，解之得，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
(2)
由，可得
則的前項(xiàng)和
由，可得
令，則
由，可得
由，可得
則有在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
又， ，
則，
即由不等式，可得
則滿足的最小正整數(shù)為5

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