（人教A版2019必修第一冊(cè)）高考數(shù)學(xué)（精講精練）必備第18講等差數(shù)列及其求和（講義+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識(shí)梳理
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：一般地，如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于同一個(gè)常數(shù)d，即an＋1－an＝d恒成立，則稱{an}為等差數(shù)列.其中d稱為等差數(shù)列的公差.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：①如果x，A，y是等差數(shù)列，那么稱A為x與y的等差中項(xiàng)，A＝eq \f(x＋y,2).
②推廣：若{an}為等差數(shù)列，則2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.
(6)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N＋)時(shí)，則S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(7)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1(n∈N＋)時(shí)，則S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
考點(diǎn)和典型例題
1、等差數(shù)列的基本運(yùn)算
【典例1-1】（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等差數(shù)列，則前6項(xiàng)和為（）
A．31B．C．D．63
【典例1-2】（2022·北京育才學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則（）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））《九章算術(shù)》是我國(guó)秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢?”在這個(gè)問(wèn)題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（）
A．10B．14C．23D．26
【典例1-4】（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）
A．9B．8C．7D．6
【典例1-5】（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）
A．B．C．D．
【典例1-6】（2022·河南·通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在等差數(shù)列中，，，則（）
A．B．C．D．
2、等差數(shù)列的判定與證明
【典例2-1】（2022·安徽·高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列為單增數(shù)列B．?dāng)?shù)列為單減數(shù)列
C．對(duì)任意正整數(shù)n，都有D．對(duì)任意正整數(shù)n，都有
【典例2-2】（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列不可能是等差數(shù)列
C．
D．若公差，且，則當(dāng)時(shí)，取得最小值
【典例2-3】（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（）.
(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知數(shù)列滿足，設(shè)．
(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式．
【典例2-5】（2018·河南洛陽(yáng)·一模（理））已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【典例3-1】（2021·北京·高考真題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位: cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
【典例3-2】（2007·遼寧·高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）
A．63B．36C．45D．27
【典例3-3】（2020·全國(guó)·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
【典例3-4】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【典例3-5】（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求{}和{}的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
第18講等差數(shù)列及其求和
學(xué)校____________ 姓名____________ 班級(jí)____________
一、知識(shí)梳理
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：一般地，如果數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之差都等于同一個(gè)常數(shù)d，即an＋1－an＝d恒成立，則稱{an}為等差數(shù)列.其中d稱為等差數(shù)列的公差.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：①如果x，A，y是等差數(shù)列，那么稱A為x與y的等差中項(xiàng)，A＝eq \f(x＋y,2).
②推廣：若{an}為等差數(shù)列，則2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.
(6)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N＋)時(shí)，則S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(7)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1(n∈N＋)時(shí)，則S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
考點(diǎn)和典型例題
1、等差數(shù)列的基本運(yùn)算
【典例1-1】（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為1，且成等差數(shù)列，則前6項(xiàng)和為（）
A．31B．C．D．63
【答案】C
【詳解】
∵成等差數(shù)列，
∴，
∴，即，解得或，
又∵，∴，
∴，
故選：C.
【典例1-2】（2022·北京育才學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
解：由題意得：
設(shè)的公差為
又
又，
故選：D
【典例1-3】（2022·云南師大附中模擬預(yù)測(cè)（理））《九章算術(shù)》是我國(guó)秦漢時(shí)期一部杰出的數(shù)學(xué)著作，書中第三章“衰分”有如下問(wèn)題：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百錢.欲令高爵出少，以次漸多，問(wèn)各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增等差數(shù)列，這5個(gè)人各出多少錢?”在這個(gè)問(wèn)題中，若不更出17錢，則公士出的錢數(shù)為（）
A．10B．14C．23D．26
【答案】A
【詳解】
解：設(shè)大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的錢數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列．
由題意可知，等差數(shù)列中，前5項(xiàng)和為100，
設(shè)公差為，前項(xiàng)和為，
則，解得，
所以，
所以公士出的錢數(shù)為，
故選：A．
【典例1-4】（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【詳解】
因?yàn)?，又?br>所以，
所以，即，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
則，
所以，又，
所以，
所以．
故選：C.
【典例1-5】（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測(cè)）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由得：，解得：，
.
故選：D.
【典例1-6】（2022·河南·通許縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））在等差數(shù)列中，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
由得：，.
故選：B.
2、等差數(shù)列的判定與證明
【典例2-1】（2022·安徽·高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列為單增數(shù)列B．?dāng)?shù)列為單減數(shù)列
C．對(duì)任意正整數(shù)n，都有D．對(duì)任意正整數(shù)n，都有
【答案】BD
【詳解】
在等差數(shù)列中，因?yàn)?，?br>可得，，
即且，即且，
所以，，且，此時(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列，
可得對(duì)任意正整數(shù)n，都有.
故選：BD.
【典例2-2】（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
B．?dāng)?shù)列不可能是等差數(shù)列
C．
D．若公差，且，則當(dāng)時(shí)，取得最小值
【答案】ACD
【詳解】
設(shè)數(shù)列的公差為，則，
所以，，，
所以，C正確；
若，則，
所以，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，D對(duì)，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，A對(duì)，
，所以，，，
令可得，化簡(jiǎn)可得，
此時(shí)，所以，
所以數(shù)列可能是等差數(shù)列，B錯(cuò)，
故選：ACD.
【典例2-3】（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，（）.
(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】(1)由已知可得，即，即，
是等差數(shù)列.
(2)由（1）知，，，
相減得，
【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知數(shù)列滿足，設(shè)．
(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式．
【解析】(1)由可得：，
故由可知，，
故數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)由（1）知，數(shù)列為首項(xiàng) ，公差為2的等差數(shù)列，
故，即，
由于是數(shù)列的前項(xiàng)和，故，
當(dāng) 時(shí)，，
適合上式，
故 .
【典例2-5】（2018·河南洛陽(yáng)·一模（理））已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足.
（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）因?yàn)椋?br>即，∴，
由等差數(shù)列的定義可得是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
∴.
（2）由（1）知，
所以，
兩邊同時(shí)乘以得，，
兩式相減得，
即，
所以.
3、等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
【典例3-1】（2021·北京·高考真題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為(單位: cm),且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知，，，則
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【詳解】
由題意，五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)?，，可得?br>可得，
又由長(zhǎng)與寬之比都相等，且，可得，所以.
故選：C.
【典例3-2】（2007·遼寧·高考真題（理））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）
A．63B．36C．45D．27
【答案】C
【詳解】
由等差數(shù)列的項(xiàng)和的性質(zhì)可知，成等差數(shù)列，
即，，成等差數(shù)列，所以，所以.
即.
故選：C
【典例3-3】（2020·全國(guó)·高考真題（理））北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)（）
A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊
【答案】C
【詳解】
設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，
則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，
設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分
別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，
所以，
即
即，解得，
所以.
故選：C
【典例3-4】（2022·福建·廈門雙十中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，為整數(shù)，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
由，為整數(shù)知，等差數(shù)列的公差為整數(shù).
又，故，.
于是，，解得，
因此，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
(2)
，
于是
.
【典例3-5】（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列{}為等差數(shù)列，，，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求{}和{}的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)
解：等差數(shù)列{}中，設(shè)公差為d，
則
數(shù)列{}中的前n項(xiàng)和為，且①
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，②
②－①得：
故數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以.
(2)
解：數(shù)列{}中，.
則
所以
故
所以
∵對(duì)恒成立．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍為．

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