一、知識梳理
1.特殊數(shù)列的求和公式
(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.
考點和典型例題
1、分組轉(zhuǎn)化求和
【典例1-1】（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前n項和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【典例1-2】（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項的和為（ ）
A．178B．191C．206D．216
【典例1-3】（2022·河北滄州·二模）（多選）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-4】（2022·湖北·襄陽五中二模）已知數(shù)列、，，，其前項和分別為，，（1）記數(shù)列的前項和分別為，則=_________；（2）記最接近的整數(shù)為，則_________．
【典例1-5】（2022·海南省直轄縣級單位·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，， ，.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求
【典例1-6】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，且．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
2、裂項相消法求和
【典例2-1】（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的各項互異，且，則（ ）
A．B．C．2D．4
【典例2-3】（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列{}各項均為正數(shù)，，、為方程(m為常數(shù))的兩根，數(shù)列{}的前n項和為，且，求數(shù)列的前2022項和為_________．
【典例2-4】（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足時，，．若函數(shù)的圖像與x軸恰好有個不同的交點，則_________．
【典例2-5】（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為Sn，，，且
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【典例2-6】（2022·四川·綿陽中學(xué)實驗學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知是數(shù)列的前項和，且．
(1)求的通項公式．
(2)若，是的前項和，求．
3、錯位相減法求和
【典例3-1】（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，若，且對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-2】（2022·上海·模擬預(yù)測）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和為_________．
【典例3-3】（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【典例3-4】（2022·山東煙臺·三模）已知數(shù)列的前項和為，，當(dāng)時，.
(1)求；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若恒成立，求的取值范圍.
【典例3-5】（2022·山東淄博·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
第20講 數(shù)列綜合
學(xué)校____________ 姓名____________ 班級____________
一、知識梳理
1.特殊數(shù)列的求和公式
(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解.
考點和典型例題
1、分組轉(zhuǎn)化求和
【典例1-1】（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前n項和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【答案】D
【詳解】
解：因為當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，
所以，
所以，
所以；
故選：D
【典例1-2】（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）己知數(shù)列滿足，在之間插入n個1，構(gòu)成數(shù)列：，則數(shù)列的前100項的和為（ ）
A．178B．191C．206D．216
【答案】A
【詳解】
解：數(shù)列滿足，在，之間插入個1，構(gòu)成數(shù)列，1，，1，1，，1，1，1，，，
所以共有個數(shù)，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
由于，
所以．
故選：A．
【典例1-3】（2022·河北滄州·二模）（多選）已知數(shù)列滿足，記的前項和為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【詳解】
因為，
所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.
所以，選項錯誤；又因為，所以，選項B正確；
故C正確
，選項D正確.
故選：BCD
【典例1-4】（2022·湖北·襄陽五中二模）已知數(shù)列、，，，其前項和分別為，，（1）記數(shù)列的前項和分別為，則=_________；（2）記最接近的整數(shù)為，則_________．
【答案】 2550
【詳解】
依題意，，
則
，
即有，從而有，即，
若，則，若，則，，
所以.
故答案為：；2550．
【典例1-5】（2022·海南省直轄縣級單位·三模）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，， ，.
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)若，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為（），
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
(2)
由（1）知，，
∴，
∴，
【典例1-6】（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，且．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【解析】(1)
因為，，所以，
又因為，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由（1）得，，所以，，
．
2、裂項相消法求和
【典例2-1】（2022·全國·哈師大附中模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】
因為，
所以.
所以前5項和為
故選：D
【典例2-2】（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的各項互異，且，則（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【詳解】
由題意，得，則，
即，
所以.
故選：C.
【典例2-3】（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列{}各項均為正數(shù)，，、為方程(m為常數(shù))的兩根，數(shù)列{}的前n項和為，且，求數(shù)列的前2022項和為_________．
【答案】
【詳解】
等比數(shù)列{}中、為方程的兩根
，
設(shè)數(shù)列{}的公比為，則，且
又，所以，
所以
∴
∴
∴數(shù)列的前2022項和
，
故答案為：.
【典例2-4】（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足時，，．若函數(shù)的圖像與x軸恰好有個不同的交點，則_________．
【答案】
【詳解】
∵，∴，所以函數(shù)周期為4，
當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，函數(shù)周期為4，
令，
即與函數(shù)恰有個不同的交點，
根據(jù)圖象知，直線與第個半圓相切，
故，
故，
所以．
故答案為：.
【典例2-5】（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為Sn，，，且
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5
【解析】(1)
由題意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，
解得an+1﹣an＝2（n≥2），
又a2﹣a1＝2，
所以{an}是公差為2的等差數(shù)列，
則an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；
(2)由題知，則
由得，
解得，
所以n的最大值為5．
【典例2-6】（2022·四川·綿陽中學(xué)實驗學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知是數(shù)列的前項和，且．
(1)求的通項公式．
(2)若，是的前項和，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
時，，
，
所以；
(2)時，，，
所以，
所以.
3、錯位相減法求和
【典例3-1】（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，若，且對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
解:由，得
，
所以，當(dāng)時，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以.
故選：A．
【典例3-2】（2022·上?！つM預(yù)測）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項和為_________．
【答案】
【詳解】
的傾斜角，設(shè)圓、與直線的切點分別為，連接，過作，垂足為，
則
∵，整理得
數(shù)列是以首項，公比的等比數(shù)列，即
∴，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則有：
兩式相減得：
即
故答案為：．
【典例3-3】（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且.
(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)證明見解析，(2)
【解析】(1)
當(dāng)時，由可得,
由已知，有,
兩式相減得 ,即,
因為，所以,
所以,所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
所以 ；
(2)由（1）可得，所以，
，
則 ，
所以 ，
所以 .
【典例3-4】（2022·山東煙臺·三模）已知數(shù)列的前項和為，，當(dāng)時，.
(1)求；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
當(dāng)時，，
所以，，
整理得：，即.
所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.
所以，即.
(2)由（1）知，，
所以，①
所以，②
①-②得，，
所以，，
所以，，
所以，即，即，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以.
【典例3-5】（2022·山東淄博·三模）設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，整理得，
因為，，成等比數(shù)列，所以，
解得（舍去），或，又由，
解得，，滿足條件，故．
(2)由（1）得，所以，
所以，
所以，
則，
兩式相減得：
.
所以.

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