（人教A版2019必修第一冊(cè)）高考數(shù)學(xué)（精講精練）必備第17講復(fù)數(shù)（講義+解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識(shí)梳理
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：一般地，當(dāng)a與b都是實(shí)數(shù)時(shí)，稱a＋bi為復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)一般用小寫字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a稱為z的實(shí)部，b稱為z的虛部.
(2)分類：
(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示.
(5)復(fù)數(shù)的模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或絕對(duì)值)，復(fù)數(shù)z的模用|z|表示，因此|z|＝eq \r(a2＋b2).當(dāng)b＝0時(shí)，|z|＝eq \r(a2)＝|a|.
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算
(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
(3)由復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
考點(diǎn)和典型例題
1、復(fù)數(shù)的概念及幾何意義
【典例1-1】（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，若，則復(fù)數(shù)（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，
所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以.
故選：B.
【典例1-2】（2022·江西師大附中三模（理））對(duì)任意復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的是（）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．2B．C．D．
【典例1-4】（2022·廣東廣州·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【典例1-5】（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【典例1-6】（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心三模（文））復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）
A．B．C．D．
【典例1-7】（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【典例1-8】（2022·天津·二模）如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是______ ．
【典例1-9】（2021·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若純虛數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)等于_________.
【典例1-10】（2022·天津和平·二模）復(fù)數(shù)：滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.
2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【典例2-1】（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【典例2-2】（2022·江西師大附中三模（文））已知是虛數(shù)單位，則的虛部是（）
A．B．C．1D．
【典例2-3】（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則（）
A．B．C．D．
【典例2-5】（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）
A．0B．C．1D．2
【典例2-6】（2022·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)=（）
A．B．C．D．
【典例2-7】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）
A．B．C．D．
【典例2-8】（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））若，則（）
A．1B．C．2D．4
【典例2-9】（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）若（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則_________．
【典例2-10】（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法國(guó)香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根據(jù)這個(gè)公式可知______.滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))
復(fù)數(shù)的
分類
a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0
a＋bi為虛數(shù)?b≠0
a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0
第17講復(fù)數(shù)
學(xué)校____________ 姓名____________ 班級(jí)____________
一、知識(shí)梳理
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)定義：一般地，當(dāng)a與b都是實(shí)數(shù)時(shí)，稱a＋bi為復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)一般用小寫字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a稱為z的實(shí)部，b稱為z的虛部.
(2)分類：
(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復(fù)數(shù)：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部互為相反數(shù)，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示.
(5)復(fù)數(shù)的模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或絕對(duì)值)，復(fù)數(shù)z的模用|z|表示，因此|z|＝eq \r(a2＋b2).當(dāng)b＝0時(shí)，|z|＝eq \r(a2)＝|a|.
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)z＝a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.
3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算
(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
(3)由復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義可得||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
考點(diǎn)和典型例題
1、復(fù)數(shù)的概念及幾何意義
【典例1-1】（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，若，則復(fù)數(shù)（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，
所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以.
故選：B.
【典例1-2】（2022·江西師大附中三模（理））對(duì)任意復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】
對(duì)于A，由，得，
則，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，
所以，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，故D正確.
故選：B.
【典例1-3】（2022·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．2B．C．D．
【答案】C
【詳解】
依題意，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，
所以.
故選：C
【典例1-4】（2022·廣東廣州·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【詳解】
由得，則，
則復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.
故選：A.
【典例1-5】（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【詳解】
由題意得，即，
故，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn) 在第四象限，
故選：D
【典例1-6】（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市教研培訓(xùn)中心三模（文））復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
所以復(fù)數(shù)的虛部為，
故選：A.
【典例1-7】（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【詳解】
由題得，即為復(fù)平面的點(diǎn)，故在第三象限.
故選：C．
【典例1-8】（2022·天津·二模）如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是______ ．
【答案】2＃＃＋2
【詳解】
設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為
∵，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓
表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形可得
故答案為：．
【典例1-9】（2021·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若純虛數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)等于_________.
【答案】1
【詳解】
解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得；
故答案為：
【典例1-10】（2022·天津和平·二模）復(fù)數(shù)：滿足（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.
【答案】
【詳解】
由題意得：，
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【典例2-1】（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測(cè)（理））已知，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
由已知可得，因此，.
故選：B.
【典例2-2】（2022·江西師大附中三模（文））已知是虛數(shù)單位，則的虛部是（）
A．B．C．1D．
【答案】D
【詳解】
，故其虛部為，
故選：D.
【典例2-3】（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
,
所以的虛部為.
故選：A.
【典例2-4】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
，所以，所以.
故選：A．
【典例2-5】（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）
A．0B．C．1D．2
【答案】B
【詳解】
∵，
所以.
故選：B．
【典例2-6】（2022·山東·煙臺(tái)二中模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)=（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
因?yàn)?br>所以.
故選：A
【典例2-7】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】
,
所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.
故選：A.
【典例2-8】（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））若，則（）
A．1B．C．2D．4
【答案】A
【詳解】
,,，
所以.
故選：A
【典例2-9】（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）若（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則_________．
【答案】##
【詳解】
∵實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根為，
∴其共軛復(fù)數(shù)也是方程的根.
由根與系數(shù)的關(guān)系知，，
∴ ，.
∴
故答案為：
【典例2-10】（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）著名數(shù)學(xué)家棣莫佛（De mivre，1667~1754）出生于法國(guó)香檳，他在概率論和三角學(xué)方面，發(fā)表了許多重要論文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.已知，根據(jù)這個(gè)公式可知______.
【答案】2
【詳解】
根據(jù)棣莫佛公式，
由，
因?yàn)?，所以?br>故答案為：
滿足條件(a，b為實(shí)數(shù))
復(fù)數(shù)的
分類
a＋bi為實(shí)數(shù)?b＝0
a＋bi為虛數(shù)?b≠0
a＋bi為純虛數(shù)?a＝0且b≠0

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