例1 668 提示：裴波拉數(shù)列各項的奇偶性規(guī)律是 ：從第一個數(shù)開始，每組連續(xù)的3個數(shù)中，前兩個數(shù)是奇數(shù)，第三個數(shù)是偶數(shù)，又因?yàn)?004÷3＝668.所以前2004個數(shù)中共有668個偶數(shù).
例2 D
例3 假設(shè)存在自然數(shù)a和b，使 .則（a＋b）(a－b)＝2002＝2×1001，若a，b同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，則（a＋b）×（a－b）必定是“偶數(shù)×偶數(shù)”；若a，b為一奇一偶，則(a＋b)(a－b)必定是“奇數(shù)×奇數(shù)”.上述兩種情況均與等式右邊的“偶數(shù)×奇數(shù)”相矛盾，故找不到自然數(shù)a和b，使 .
例4 提示：設(shè)6張卡片正面寫的數(shù)是 ，反面寫的數(shù)對應(yīng)為 ，則這6張卡片正面寫的數(shù)與反面寫的數(shù)的絕對值分別為 .
設(shè)這6個數(shù)兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，…，5這6個值，于是＝0＋1＋2＋…＋5＝15是個奇數(shù).
又 與 （i＝1，2，3…，6）的奇偶性相同，所以 與 的奇偶性相同，是個偶數(shù)，導(dǎo)致矛盾.
例5 提示：不能，理由如下：
將表中的英文字母分別用它們在字母表中的序號代替（即A用1，B用2，…，Z用26代替），這樣表甲和表乙就分別變成了表丙和表丁：
19 15 2 18 11 2 4 19
20 26 6 16 8 5 24 7
8 15 3 14 18 20 2 19
1 4 22 24 3 6 25 1
表丙 表丁
這樣，每一次操作中字母的置換就相當(dāng)于下面的置換：
1→2， 2→3，…，25→26， 26→1.
顯然，每次操作不改變這16個數(shù)字和的奇偶性，但表丙、表丁16個數(shù)字的和分別為213，174，它們的奇偶性不同，故表丙不能變成表丁，即表甲不能變成表乙．
例6 由于乘積都是＋1或－1，且總和為0．所以一定有偶數(shù)項，即n一定是偶數(shù)2m.
將上面的n個數(shù)相乘，一方面，其中的＋1和－1各有m個，所以它們的乘積為 ，另一方面，在乘積中，作為因數(shù)都出現(xiàn)四次，所以乘積為＋1，于是，m為偶數(shù)，故n是4的倍數(shù)．
【能力訓(xùn)練】
1．偶
2. 1999 提示：由 ＋b＝2 001知 ，b必為一奇一偶．又 ∵a是質(zhì)數(shù)且a為偶數(shù)．∴a＝2，b＝ 997，故a＋b＝ 1 999.
3. 19或25
4. 19提示：在中，十位數(shù)字是奇數(shù)的只有 ＝16， ＝36，兩位數(shù)的平方可以表示為 =100 ＋20ab＋ ，它的十位數(shù)的奇偶性與 十位數(shù)字的奇偶性相同，因此，b只能取4與6，即相鄰的每10個數(shù)中有兩個數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)．
5．D 提示：設(shè)是1，2，3，4，5中一個滿足要求的數(shù)列，首先，對于不能連續(xù)兩個都是偶數(shù)，否則這兩個之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾，其次，如果 (1≤i≤3)是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個奇數(shù)是最后一個數(shù)．所以，只能是偶奇奇偶奇，故有如下5種情形滿足條件：①2，1，3，4，5;②2，3，5，4，1;③2，5，1，4，3;④4，3，1，2， 5；⑤4，5，3，2，1.
6．B 7．C 8．D
9.提示：
10．考慮黑板上保留奇數(shù)的個數(shù).
經(jīng)過一次操作，如果是一個奇數(shù)和一個偶數(shù)，則和或差仍為奇數(shù)，奇數(shù)的個數(shù)保持不變．
如果是兩個奇數(shù)，則和或差為偶數(shù)．奇數(shù)的個數(shù)減少2 個；如果是兩個偶數(shù)，則和或差為偶數(shù)．奇數(shù)的個數(shù)保持不變.
由以上分析知，經(jīng)過操作，黑板上奇數(shù)的個數(shù)的奇偶性不變．
由于一開始黑板上共有奇數(shù)，即有奇數(shù)個奇數(shù)．經(jīng)過若干次操作后，黑板上一定仍保留著奇數(shù)個奇數(shù)，故留下的一個數(shù)不可能為0．
11．找不到滿足條件的三個整數(shù)，理由如下：假設(shè)存在整數(shù)a，b，c滿足等式，則左邊四個式子中至少有一個是偶數(shù)，不妨a＋b＋c為偶數(shù)，則a－b＋c＝(a＋b＋c)－2b，a＋b－c＝ (a＋b＋c) － 2c，(b＋c－a)－(a＋b＋c)－2a都為偶數(shù)，從而左邊能被16整除，而3 388不
能被16整除，得出矛盾．
12. －盞燈的開關(guān)被拉動奇數(shù)次后，改變原來的狀態(tài)，而一盞燈的開關(guān)被拉動偶數(shù)次后，不改變原來的狀態(tài)，因1999 ＝7×285＋4，又A，B，C，D四盞燈的開關(guān)各被拉動了286次，而E，F(xiàn)，G三盞燈的開關(guān)各被拉動了285次，所以，小剛拉動了1 999次開關(guān)后，A，B，C，D四燈不改變狀態(tài)，E，F(xiàn)，G三燈將改變原來的狀態(tài)，故A，C，F(xiàn)最后是開著的，

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