2025《初數(shù)學(xué)?期中試卷壓軸易錯題26大專題》7年級下冊(北師)

這是一份2025《初數(shù)學(xué)?期中試卷壓軸易錯題26大專題》7年級下冊(北師)，共139頁。
【北師大版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16305" 【易錯篇】 PAGEREF _Tc16305 \h 2
\l "_Tc23307" 【考點1 冪的運算】 PAGEREF _Tc23307 \h 2
\l "_Tc10108" 【考點2 單項式乘單項式】 PAGEREF _Tc10108 \h 2
\l "_Tc28955" 【考點3 單項式乘多項式】 PAGEREF _Tc28955 \h 3
\l "_Tc10267" 【考點4 多項式乘多項式】 PAGEREF _Tc10267 \h 3
\l "_Tc9583" 【考點5 完全平方公式】 PAGEREF _Tc9583 \h 4
\l "_Tc27817" 【考點6 平方差公式】 PAGEREF _Tc27817 \h 4
\l "_Tc9934" 【考點7 對頂角、鄰補角、三線八角】 PAGEREF _Tc9934 \h 5
\l "_Tc8343" 【考點8 兩條直線垂直】 PAGEREF _Tc8343 \h 6
\l "_Tc29567" 【考點9 平行線的判定與性質(zhì)】 PAGEREF _Tc29567 \h 7
\l "_Tc20269" 【考點10 平行線之間的距離】 PAGEREF _Tc20269 \h 9
\l "_Tc16227" 【考點11 可能性的大小】 PAGEREF _Tc16227 \h 10
\l "_Tc9138" 【考點12 利用頻率估計概率】 PAGEREF _Tc9138 \h 10
\l "_Tc23523" 【考點13 等可能事件的概率】 PAGEREF _Tc23523 \h 11
\l "_Tc14369" 【壓軸篇】 PAGEREF _Tc14369 \h 12
\l "_Tc14434" 【考點14 冪的運算的逆用】 PAGEREF _Tc14434 \h 12
\l "_Tc20067" 【考點15 多項式乘積不含某項求字母的值】 PAGEREF _Tc20067 \h 13
\l "_Tc1798" 【考點16 多項式乘多項式與圖形面積】 PAGEREF _Tc1798 \h 14
\l "_Tc28761" 【考點17 整式乘法中的規(guī)律性問題】 PAGEREF _Tc28761 \h 16
\l "_Tc12574" 【考點18 整式乘法中的恒成立問題】 PAGEREF _Tc12574 \h 18
\l "_Tc5441" 【考點19 相交線中的角度計算】 PAGEREF _Tc5441 \h 18
\l "_Tc24436" 【考點20 平行線中的折疊問題】 PAGEREF _Tc24436 \h 20
\l "_Tc7993" 【考點21 平行線中的拐點問題】 PAGEREF _Tc7993 \h 22
\l "_Tc15931" 【考點22 探究角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc15931 \h 23
\l "_Tc23026" 【考點23 平行線中的旋轉(zhuǎn)問題】 PAGEREF _Tc23026 \h 25
\l "_Tc8583" 【考點24 平行線中的多結(jié)論問題】 PAGEREF _Tc8583 \h 26
\l "_Tc11210" 【考點25 新定義問題】 PAGEREF _Tc11210 \h 28
\l "_Tc5742" 【考點26 閱讀理解類問題】 PAGEREF _Tc5742 \h 30
【易錯篇】
【考點1 冪的運算】
【例1】（24-25七年級·四川資陽·期末）計算-452024×1.252023×5的值等于（ ）
A．4B．-4C．5D．-5
【變式1-1】（24-25七年級·吉林白城·階段練習(xí)）下列計算正確的是（ ）
A．a(chǎn)5?a5=a25B．-5a5b52=-25a10b10
C．x2+x6=x8D．-m7÷-m2=-m5
【變式1-2】（24-25七年級·四川成都·期末）已知4a-3b+1=0，則32×34a÷27b的值為 ．
【變式1-3】（24-25七年級·重慶渝北·期末）若4a=6，8b=16，a，b為整數(shù)，則24a-3b= ．
【考點2 單項式乘單項式】
【例2】（24-25七年級·四川遂寧·期末）設(shè)xm-1yn+2?x5my2=x5y7，則-12mn的值為（ ）
A．-18B．-12C．1D．12
【變式2-1】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：-2a2b3?-ab22+-12a2b32?4b，其中a=2，b=1．
【變式2-2】（24-25七年級·山東聊城·期末）若am+1bn+2?-a2n-1b2m=-a3b5，則m+n的值為 .
【變式2-3】（24-25七年級·浙江金華·期中）如圖，在正方形內(nèi)，將2張①號長方形紙片和3張②號長方形紙片按圖1和圖2兩種方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相等．

（1）若①號長方形紙片的寬為2厘米，則②號長方形紙片的寬為 厘米；
（2）若①號長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號長方形紙片的面積是 平方厘米．
【考點3 單項式乘多項式】
【例3】（24-25七年級·四川成都·期末）如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示．如果當(dāng)BC的長變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差保持不變，那么b：a的值為 ．
【變式3-1】（24-25七年級·廣東深圳·期中）若xx+a+3x-2b=x2+5x+4恒成立，則a+b= ．
【變式3-2】（24-25七年級·湖南邵陽·期末）數(shù)學(xué)課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得的積相加，小麗在練習(xí)時，發(fā)現(xiàn)了這樣一道題：“-2x2（3x﹣■+1）＝-6x3+4x2y-2x2”那么“■”中的一項是 ．
【變式3-3】（24-25七年級·湖南常德·期末）如圖，某校園的學(xué)子餐廳Wi-Fi密碼做成了數(shù)學(xué)題，小亮在餐廳就餐時，思索了會，輸入密碼，順利的連接到了學(xué)子餐廳的網(wǎng)絡(luò)．若他輸入的密碼是2842■，最后兩被隱藏了，那么被隱藏的兩位數(shù)是 ．
【考點4 多項式乘多項式】
【例4】（24-25七年級·山西臨汾·期末）有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，若要拼成一個長為2a+b、寬為a+2b的長方形，需要B類卡片（ ）
A．2張B．3張C．4張D．5張
【變式4-1】（24-25七年級·河南省直轄縣級單位·期末）有一塊長為(m+6)米（m為正數(shù)），寬為(m+3)米的長方形土地，若把這塊地的長增加1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（ ）
A．沒有變化B．變大了C．變小了D．無法確定
【變式4-2】（24-25七年級·四川成都·期末）先化簡，再求值：12b2a-4b-2a+ba-b-2ab+1，且單項式xa+3y與-3xyb是同類項．
【變式4-3】（24-25七年級·福建福州·期末）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：
我們發(fā)現(xiàn)，x+px+q=x2+p+qx+pq．這個規(guī)律可以利用多項式的乘法法則推導(dǎo)得出：x+p x+q=x2+px+qx+pq=x2+p+qx+pq．
運用規(guī)律
(1)如果x+3x-5=x2+mx+n，那么m的值是_______，n的值是_________；
(2)如果x+ax+b=x2+3x-2．
①求a-3b-3的值；
②求1a2+1b2的值．
【考點5 完全平方公式】
【例5】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）已知a2+b2+c2=2a-4b+6c-14， 則abc的值是（ ）
A．4B．-4C．8D．-8
【變式5-1】（24-25七年級·上海閔行·期中）如果關(guān)于x的整式9x2-2m-1x+14是某個整式的平方，那么m的值是 ．
【變式5-2】（24-25七年級·福建漳州·期中）若x，y是自然數(shù)，且滿足x2+y2=4x+2y-4，則x+y= ．
【變式5-3】（24-25七年級·湖南婁底·期中）已知(x-2023)2+(x-2025)2=24，則(x-2024)2的值是（ ）
A．12B．11C．13D．10
【考點6 平方差公式】
【例6】（24-25七年級·河南新鄉(xiāng)·期中）某同學(xué)在計算3(4+1)(42+1)時，把3寫成4-1后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運用兩數(shù)和乘以這兩數(shù)差公式計算：3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1=255，請借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗，計算：1+121+1221+1241+128+1215= ．
【變式6-1】（24-25七年級·甘肅蘭州·期中）下列各式中能用平方差公式計算的是（ ）
A．x+yx+y2B．x+yy-x
C．x+y-x-yD．-x+yy-x
【變式6-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）為了美化校園，學(xué)校把一個邊長為ama>4的正方形跳遠沙池的一組對邊各增加1m，另一組對邊各減少1m，改造成長方形的跳遠沙池．如果這樣，你覺得沙池的面積會（ ）
A．變小B．變大C．沒有變化D．無法確定
【變式6-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）霍州鼓樓位于山西霍州市城內(nèi)中心，明萬歷十一年（1583年）建，又稱文昌閣．其結(jié)構(gòu)外表是明二假三層，它的間架結(jié)構(gòu)復(fù)雜新穎、巧妙結(jié)合，采用了我國古建筑中的一種凹凸結(jié)合的連接方式——榫卯（sǔn mǎ）結(jié)構(gòu)，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精湛超群絕倫．如圖①是一個榫卯結(jié)構(gòu)的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為2a+bcm，寬為2a-bcm的長方形，中間鑿掉一個邊長為acm的正方形，且該零件的高為acm．求這個零部件體積．

【考點7 對頂角、鄰補角、三線八角】
【例7】（24-25七年級·河北秦皇島·期末）光線從空氣射入玻璃時，光的傳播方向發(fā)生了改變，一部分光線通過玻璃表面反射形成反射光線，一部分光線穿過玻璃發(fā)生了折射，如圖所示，由科學(xué)實驗知道，∠1=∠2，∠4y若這兩個正方形的面積之和為34，且BE=8，求圖中陰影部分的面積．
【變式16-1】（24-25七年級·北京·期中）長方形窗戶ABCD（如圖1），是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF=a，BE=2b），其中a>b>0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），若窗框的面積不計，則窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（即長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶
的遮陽簾水平向左拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）．
(1)求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）
(2)如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至AG=23AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至CP=25BC處時，窗戶的透光面積恰好為長方形窗戶ABCD面積的一半，求ab．
【變式16-2】（24-25七年級·福建福州·期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”可見，數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)上發(fā)揮著重要的作用．在一節(jié)數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們在拼圖活動中探尋整式的乘法的奧秘．
情境一如下圖，甲同學(xué)將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個圖形，請你用含a、b的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；
情境一

情境二乙同學(xué)用1塊A木片、4塊B木片和若干塊C木片拼成了一個正方形，請直接寫出所拼正方形的邊長（用含a、b的式子表示），并求所用C木片的數(shù)量；
情境二

情境三丙同學(xué)聲稱自己用以上的A，B，C三種木片拼出了一個面積為2a2+7ab+4b2的長方形；丁同學(xué)認為丙同學(xué)的說法有誤，需要從中去掉一塊木片才能拼出長方形．
你贊同哪位同學(xué)的說法，請求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應(yīng)的圖形．（要求：所畫圖形的長、寬與圖樣一致，并標注每一小塊的長與寬）．
【變式16-3】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）八年級數(shù)學(xué)老師在集體備課中，發(fā)現(xiàn)利用“面積法”說明整式的乘法有助于學(xué)生的理解，為此老師們用硬紙卡制作了如下的學(xué)具（a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長方形C），
(1)在一節(jié)課的探究中，小高老師利用1張A和1張C拼出如圖1所示的長方形，利用“面積法”可以得出的整式乘法關(guān)系式為______
(2)在隨后的探究中，小高老師在上課時則給同學(xué)們發(fā)了很多硬紙片(a×a的正方形A，b×b的正方形B，a×b的長方形C），并要求同學(xué)們用2張A，1張B和3張C拼成一個長方形，請你在框1中畫出對應(yīng)的示意圖，并將利用面積法得出的整式乘法關(guān)系式補充完整；
框1
(3)小朱老師在設(shè)計本單元的階梯作業(yè)時，給出如圖2所示的示意圖，請結(jié)合圖例，在橫線上添加適當(dāng)?shù)氖阶?，使等式成立?br>______+______=2a2+2b2
(4)小威老師在培優(yōu)群中布置了一道思考題：已知a+b2+a-b2=40，求2a+b的最大值，請認真思考，并完成解答．
【考點17 整式乘法中的規(guī)律性問題】
【例17】（24-25七年級·四川眉山·期中）觀察下列各式：
(x-1)(x+1)=x2-1；
(x-1)(x2+x+1)=x3-1；
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1；
…
根據(jù)規(guī)律計算： 22022-22021+22020-22019+……+24-23+22-2的值是（ ）
A．22023-23B．22023-1C．-22023
【變式17-1】（24-25七年級·廣西南寧·期中）閱讀：在計算x-1xn+xn-1+xn-2+…+x+1的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到復(fù)雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問題的一般方法，數(shù)學(xué)中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：
(1)【觀察】① x-1x+1=_____；
② x-1x2+x+1=_____；
③ x-1x3+x2+x+1=_____；……
(2)【猜想】由此可得：x-1xn+xn-1+xn-2+…+x+1=__________；
(3)【應(yīng)用】請運用上面的結(jié)論，解決下列問題：計算：52024+52023+52022+52021+…+5+1的值．
【變式17-2】（24-25七年級·廣東湛江·期末）觀察并驗證下列等式：
13+23=(1+2)2=9，
13+23+33=(1+2+3)2=36，
13+23+33+43=(1+2+3+4)2=100，
(1)續(xù)寫等式：13+23+33+43+53=________；（寫出最后結(jié)果）
(2)我們已經(jīng)知道1+2+3+???+n=12n(n+1)，根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論：13+23+33+???+(n-1)3+n3=________；（結(jié)果用因式乘積表示）
(3)利用（2）中得到的結(jié)論計算：
33+63+93+???+573+603；
【變式17-3】（24-25七年級·河南商丘·期末）日歷與人們?nèi)粘Ｉ蠲芮邢嚓P(guān)，日歷中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)問題.如圖，在2025年1月份的日歷中，兩個長方形中四個角上的數(shù)字交叉相乘，再相減，例如7×20-6×21=________，11×16-9×18=________，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是________．
2025年1月
(1)完成上面的填空．
(2)請你再選擇兩個類似的長方形框試一試，看看是否符合這個規(guī)律．
(3)若設(shè)每個方框的左上角數(shù)字設(shè)為n，請你利用整式的運算對以上的規(guī)律加以證明．
【考點18 整式乘法中的恒成立問題】
【例18】（24-25七年級·上?！て谥校﹎、n為正整數(shù)，如果-amn=-amn成立，那么（ ）
A．m必為奇數(shù)B．n必為奇數(shù)
C．m、n必同為奇數(shù)D．m、n必同為偶數(shù)
【變式18-1】（24-25七年級·安徽安慶·階段練習(xí)）若不論x為何值時，等式x2x+a+4x-3b=2x2+5x+6恒成立，則a= ，b= ．
【變式18-2】（24-25七年級·福建泉州·期中）若規(guī)定a、b兩數(shù)之間滿足一種運算：記作a,b．即：若ac=b，則a,b=c．我們叫這樣的數(shù)對稱為“一青一對”．例如:因為32=9，所以3，9=2．
（1）計算(4,2)+(4,3)=( )；
（2）在正整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)，若(42x-4,54k)≥(4,5)恒成立，且x只有兩個正整數(shù)解，則k的取值范圍是 ．
【變式18-3】（24-25七年級·浙江寧波·期末）對x，y定義一種新運算F，規(guī)定：F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)（其中m，n均為非零常數(shù)）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(xiàn)(-1,0)=3m．當(dāng)F(1,-1)=-8，F(xiàn)(1,2)=13，則F(x,y)= ；當(dāng)x2≠y2時，F(xiàn)(x，y)=F(y，x)對任意有理數(shù)x，y都成立，則m，n滿足的關(guān)系式是 ．
【考點19 相交線中的角度計算】
【例19】（24-25七年級·黑龍江哈爾濱·期中）已知：如圖，直線AB與直線CD交點O，OE⊥DC，OE平分∠AOF．
(1)如圖1，求證：OC平分∠BOF；
(2)如圖2，OG，OP，OK，在直線AB的下方，若OK平分∠COG，OP平分∠BOG，∠KOP=25°，求∠AOF的度數(shù)．
【變式19-1】（24-25七年級·江蘇南京·期末）已知∠AOB與∠BOC互為補角，OD平分∠BOC．
(1)如圖①，若∠AOB=80°，則∠BOC=______°，∠AOD=______°．
(2)如圖②，若∠AOB=140°，求∠AOD的度數(shù)；
(3)若∠AOB=n°，直接寫出∠AOD的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示），及相應(yīng)的n的取值范圍．
【變式19-2】（24-25七年級·廣東廣州·期末）如圖，點O為直線AB上一點，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度數(shù)；
(2)作射線OE，使∠BOE＝23∠COE，求∠COE的度數(shù)；
(3)在（2）的條件下，作∠FOH＝90°，使射線OH在∠BOE的內(nèi)部，且∠DOF＝3∠BOH，直接寫出∠AOH的度數(shù)．
【變式19-3】（24-25七年級·云南曲靖·期末）直線AB,CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．
(1)①當(dāng)OE、OF在如圖1所示位置時，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度數(shù)；
②當(dāng)OE、OF在如圖2所示位置時，若OF平分∠BOE，證明：OC平分∠AOE；
(2)若∠AOF=2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．
【考點20 平行線中的折疊問題】
【例20】（24-25七年級·浙江臺州·期末）如圖，有一張長方形紙條ABCD，AD∥BC，在線段DE，CF上分別取點G，H，將四邊形CDGH沿直線GH折疊，點C，D的對應(yīng)點為C'，D'，將四邊形ABFE沿直線EF折疊，點A，B的對應(yīng)點為A'，B'，設(shè)∠EFB=α01，則∠P和∠N的關(guān)系為∠N∠P=n-1n+1（用含n的式子表示，題中的角均指大于0°且小于180°的角）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)．①過點P作PQ∥AB，則PQ∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；②過點P作PM∥AB，過點Q作QN∥AB，則PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，結(jié)合∠QAP=∠QAB，∠QCP=∠QCD，即可得到結(jié)論；③過點P作PM∥AB，過點Q作QN∥AB，則PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，結(jié)合∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，即可得到結(jié)論；④過點P作PE∥AB，則PE∥AB∥CD，可得∠APC=360°-∠PAB+∠PCD，過點N作NF∥AM，可得12BAP=180°-∠AMF，即BAP=360°-2∠AMF，結(jié)合∠PCN=n∠NCD，∠AMN=1n∠NMD，n>1，可得∠MNC=n-1n+1∠AMF，進而可得結(jié)論．
【詳解】解：①過點P作PQ∥AB，則PQ∥AB∥CD，
∵∠PAB=β，
∴∠APQ=180°-β，
∵∠APC=α，
∴∠CPQ=α-180°+β，
∴∠PCD=180°-∠CPQ=180°-α+180°-β=360°-α-β；①正確；
②點P作PM∥AB，過點Q作QN∥AB，則PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APM=180°，∠PCD+∠CPM=180°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，即∠APC=360°-∠PAB+∠PCD，
同理：∠AQC=∠BAQ+∠DCQ，
∵∠QAP=∠QAB，∠QCP=∠QCD，
∴∠BAQ=12∠PAB，∠DCQ=12∠PCD，
∴∠APC=360°-∠PAB+∠PCD=360°-2∠BAQ+∠DCQ=360°-2∠AQC，
∴∠APC=360°-2∠AQC，即∠APC+2∠AQC=360°，②正確；
③過點P作PM∥AB，過點Q作QN∥AB，則PM∥AB∥CD，QN∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APM=180°，∠PCD+∠CPM=180°，
∴∠PAB+∠PCD+∠APC=360°，即∠APC=360°-∠PAB+∠PCD，
同理：∠AQC=∠BAQ+∠DCQ，
∵∠QAP=2∠QAB，∠QCP=2∠QCD，
∴∠BAQ=13∠PAB，∠DCQ=13∠PCD，
∴∠APC=360°-∠PAB+∠PCD=360°-3∠BAQ+∠DCQ=360°-3∠AQC，
∴∠APC=360°-3∠AQC，即∠APC+3∠AQC=360°，③正確；
④過點P作PE∥AB，則PE∥AB∥CD，
∵PE∥AB，
∴∠APE+∠PAB=180°，即∠APE=180°-∠PAB，
∵PE∥CD，
∴∠CPE=180°-∠PCD，
∴∠APC=360°-∠PAB+∠PCD
過點N作NF∥AM，
∵AM∥PC，
∴NF∥PC，
∴∠CNF=∠PCN，
∵NF∥AM，
∴∠FNM=∠AMN，
∵AB∥CD，
∴∠BAM=∠AMC，
∵AM平分∠BAP，
∴∠BAM=12BAP，
∵∠AMC=180°-∠AMF，
∴12BAP=180°-∠AMF，
∵∠AMN=1n∠NMD，∠AMN+∠NMD=∠AMF
∴∠AMN=1n+1∠AMF，
∴∠FNM=∠AMN=1n+1∠AMF，
∵∠PCN=n∠NCD，∠PCN+∠NCD=∠PCD，
∴∠PCN=nn+1∠PCD，
∴∠CNF=∠PCN=nn+1∠PCD，
∴∠MNC=∠CNF-∠FNM，
∴∠MNC=∠CNF-∠FNM=nn+1∠PCD-1n+1∠AMF，
∵12BAP=180°-∠AMF，
∴BAP=360°-2∠AMF，
∴∠APC=360°-∠PAB+∠PCD=360°-360°-2∠AMF+∠PCD
=2∠AMF-∠PCD，
∵AM∥PC，
∴∠PCD=∠AMF，
∴∠APC=2∠AMF-∠AMF=∠AMF，
∴∠MNC=nn+1∠PCD-1n+1∠AMF=nn+1∠AMF-1n+1∠AMF=n-1n+1∠AMF，
∴∠MNC∠APC=n-1n+1∠AMF∠AMF=n-1n+1，④正確．
綜上，正確的有4個，
故選：D．
【變式24-1】（24-25七年級·廣東廣州·期末）如圖，點E在BA延長線上，EC與AD交于點F，且∠E=∠DCE，∠B=∠D，∠EFA是∠FCB的余角的5倍，點M是線段CB上的一動點，點N是線段MB上一點且滿足∠MNF=∠MFN，F(xiàn)K平分∠EFM．下列結(jié)論：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④∠D+∠E=105°；⑤∠KFN=30°．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，余角的定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用．
由∠E=∠DCE，可得BE∥CD，故結(jié)論①正確；證明∠EAD=∠B，可得AD∥CB，故結(jié)論②正確；證明∠AFN=∠MFN，可得FN平分∠AFM，故結(jié)論③正確；由∠EFA=∠FCB，結(jié)合∠EFA是∠FCB的余角的5倍，可得∠FCB=75°=∠EFA，進一步可得結(jié)論④正確；證明∠MFK=12∠EFM=12∠EFA+12∠AFM，∠MFN=12∠AFM，進一步可得結(jié)論⑤錯誤；
【詳解】解：∵∠E=∠DCE，
∴BE∥CD，故結(jié)論①正確；
∴∠EAD=∠D，
∵∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥CB，故結(jié)論②正確；
∴∠AFN=∠FNM，
∵∠MNF=∠MFN，
∴∠AFN=∠MFN，
∴FN平分∠AFM，故結(jié)論③正確；
∵AD∥CB，
∴∠EFA=∠FCB，
∵∠EFA是∠FCB的余角的5倍，
∴∠EFA=590°-∠FCB，
∴∠FCB=75°=∠EFA，
∵∠B=∠D，∠B+∠E+∠FCB=180°，
∴∠D+∠E=∠B+∠E=180°-∠FCB=180°-75°=105°，故結(jié)論④正確；
∵FK為∠EFM的平分線，
∴∠MFK=12∠EFM=12∠EFA+12∠AFM，
∵FN平分∠AFM，
∴∠MFN=12∠AFM，
∴∠KFN=∠MFK-∠MFN=12∠EFA+12∠AFM-12∠AFM=12∠EFA=37.5°，故結(jié)論⑤錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．
故選：C．
【變式24-2】（24-25七年級·山東威海·期中）如下圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG=2∠DCB；②∠ADC=∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE．其中正確的結(jié)論是（ ）

A．①②B．①②③C．①②④D．②③④
【答案】C
【分析】本題主要考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的角平分線，靈活運用角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合角平分線的定義計算可判定①；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合角平分線的定義可判定②；根據(jù)已知條件無法推知③；由角平分線的定義結(jié)合周角的定義可判定④．
【詳解】解：∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCB，
∴∠CEG=2∠DCB，故①正確；
∵∠A=90°，
∴∠ACD+∠ADC=90°，
∵EG∥BC，且CG⊥EG于G，
∴∠CGE=∠GCB=90°，
∴∠GCD+∠BCD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ADC=∠GCD，故②正確；
無法證明CA平分∠BCG，故③錯誤；
∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC=90°+12(∠ABC+∠ACB)=135°，
∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，
∴∠DFB=45°=12∠CGE，故④正確；
所以其中正確的結(jié)論為①②④共3個，
故選：C
【變式24-3】（24-25七年級·重慶云陽·期中）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠FGA=42°；④∠MGK=21°．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（ ）

A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥BC，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)平行線同旁內(nèi)角互補得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根據(jù)題目已知∠CKG=∠CGK，得∠D+∠DCG=2∠GKC，又根據(jù)AD∥BC，得∠D+∠DCG=2∠AGK，但根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明GD=GC，故③錯誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，
∴∠EAD=∠B，
∴AD∥BC，故①正確；
∴∠AGK=∠CKG，
∵∠CKG=∠CGK，
∴∠AGK=∠CGK，
∴GK平分∠AGC；故②正確；
延長EF交AD于P，延長CH交AD于Q，

∵EF∥CH，
∴∠EPQ=∠CQP，
∵∠EPQ=∠E+∠EAG，
∴∠CQG=∠E+∠EAG，
∵AD∥BC，
∴∠HCK+∠CQG=180°，
∴∠E+∠EAG+∠HCK=180°；
∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，
∴90°-∠FGA-∠DGH=16°，
∵∠FGA=∠DGH，
∴90°-2∠FGA=16°，
∴∠FGA=∠DGH=37°，故③錯誤；
設(shè)∠AGM= α，∠MGK= β，
∴∠AGK= α＋β，
∵GK平分∠AGC，
∴∠CGK=∠AGK= α＋β，
∵GM平分∠FGC，
∴∠FGM=∠CGM，
∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，
∴37°＋α = β＋α＋β，
∴β =18.5°，
∴∠MGK=18.5°，故④錯誤，
故選：B．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
【考點25 新定義問題】
【例25】（24-25七年級·北京房山·期末）在平面內(nèi)，對于∠P和∠Q，給出如下定義：若存在一個常數(shù)tt>0，使得∠P+t∠Q=180°，則稱∠Q是∠P的“t系數(shù)補角”．例如，∠P=80°，∠Q=20°，有∠P+5∠Q=180°，則∠Q是∠P的“5系數(shù)補角”．

(1)若∠P=90°，在∠1=60°，∠2=45°，∠3=30°中，∠P的“3系數(shù)補角”是________；
(2)在平面內(nèi)，AB∥CD，點E為直線AB上一點，點F為直線CD上一點．
①如圖1，點G為平面內(nèi)一點，連接GE，GF，∠DFG=50°，若∠BEG是∠EGF的“6系數(shù)補角”，求∠BEG的大?。?br>②如圖2，連接EF．若H為平面內(nèi)一動點（點H不在直線AB，CD，EF上），∠EFH與∠FEH兩個角的平分線交于點M．若∠BEH=α，∠DFH=β，∠N是∠EMF的“2系數(shù)補角”，直接寫出∠N的大小的所有情況（用含α和β的代數(shù)式表示），并寫出其中一種情況的求解過程．
【答案】(1)∠3=30°
(2)①26°；②14α+β-45°或45°-14α+β或45°-14β-α或45°-14α-β
【分析】此題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，分類討論和適當(dāng)添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)∠P的“3系數(shù)補角”是x，根據(jù)題意可得90°+3x=180°，解方程即可得到答案；
（2）①設(shè)∠BEG=m，∠EGF=n，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和∠BEG是∠EGF的“6系數(shù)補角”，列方程組，解方程組即可得到答案；②分六種情況畫出圖形分別進行求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)∠P的“3系數(shù)補角”是x，
∵∠P=90°，
∴∠P+3x=180°，
即90°+3x=180°，
解得x=30°，
∴∠P的“3系數(shù)補角”是∠3=30°；
故答案為：∠3=30°
（2）①設(shè)∠BEG=m，∠EGF=n
如圖，設(shè)AB與GF相交于點H，

∵AB∥CD，∠DFG=50°，
∴∠BHG=∠DFG=50°，
∴∠BEG+∠EGF=∠BHG=50°，
即m+n=50°①，
∵∠BEG是∠EGF的“6系數(shù)補角”，
∴∠EGF+6∠BEG=180°，
即n+6m=180°②
聯(lián)立①②得，
m+n=50°n+6m=180°
解得m=26°n=24°
即∠BEG是26°；
②∵∠N是∠EMF的“2系數(shù)補角”，
∴∠EMF+2∠N=180°
∴∠N=90°-12∠EMF
如圖1，∵∠EFH與∠FEH兩個角的平分線交于點M．

∴∠MEF=12∠HEF,∠MFE=12∠HFE，
∵∠EMF=180°-∠MEF-∠MFE=180°-12∠HEF+∠HFE
=180°-12180°-∠H=90°+12∠H，
過點H作HG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥HG
則∠EHG=∠AEH=180°-∠BEH =180°-α
∠FHG=∠CFH=180°-∠DFH=180°-β
∴∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12∠EHG+∠FHG=90°+12180°-α+180°-β=270°-12α+β∴∠N=90°-12∠EMF=90°-12270°-12α+β=14α+β-45°
如圖2，

同理可得，∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12α+β，
則∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12α+β=45°-14α+β
如圖3，

∵AB∥CD，
∴∠1=∠DFH=β
∴∠H=∠1-∠BFH=β-α，
∴∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12β-α，
∴∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12β-α=45°-14β-α
如圖4，

同理可得，∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12α-β，
∴∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12α-β=45°-14α-β
如圖5，

同理可得，∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12α-β，
∴∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12α-β=45°-14α-β
如圖6，

同理可得，∠EMF=90°+12∠EHF=90°+12β-α，
∴∠N=90°-12∠EMF=90°-1290°+12β-α=45°-14β-α
綜上可知，∠N的大小為14α+β-45°或45°-14α+β或45°-14β-α或45°-14α-β
【變式25-1】（24-25七年級·四川成都·期末）定義一種新運算，對任意數(shù)a，b，a△b=a2+b-3，例如：2△1=22+1-3，2x△y=2x2+y-3．
(1)設(shè)A=x△m-2x（m為常數(shù)）
①已知關(guān)于x的方程A=m-1x2-6為一元一次方程，求：m的值及方程的解．
②已知A與B為關(guān)于x的多項式，B=2△x，n的值滿足2n+2-2n+1=8，若A×B中不含一次項，求：3m-n的值．
(2)如果數(shù)對a,b滿足a△b=2b△2a，我們稱數(shù)對a,b為“嘉幸數(shù)”，已知數(shù)對2,m與1,n均為“嘉幸數(shù)”，求代數(shù)式4m+nm+n-2mn14m+4-m-n+12m2n-8n2+2024的值．
【答案】(1)①m=-2，x=34；②13；
(2)2573．
【分析】（1）①根據(jù)規(guī)定的新運算可知A=x2+m-2x-3，又因為方程A=m-1x2-6為一元一次方程，可得x2+m-2x-3=m-1x2-6為一元一次方程，根據(jù)一元一次方程的定義可知m-1=1、m-2≠0，從而求出m的值，把m的值代入方程中可得方程為-4x-3=-6，解方程即可；
②根據(jù)2n+2-2n+1=8可以求出n=2，根據(jù)A×B中不含一次項可以求出m的值，把m、n的值代入3m-n計算求值即可；
（2）根據(jù)“嘉幸數(shù)”的定義列方程求出m、n的值，根據(jù)整式的運算法則把代數(shù)式化簡，再把m、n的值代入化簡后的代數(shù)式計算即可．
【詳解】（1）①解：A=x△m-2x=x2+m-2x-3，
又∵方程A=m-1x2-6為一元一次方程，
∴x2+m-2x-3=m-1x2-6為一元一次方程，
∴m-1=1m-2≠0，
解得：m=-2，
∴方程為-4x-3=-6，
解得：x=34，
∴m=-2，x=34；
②解：∵ n的值滿足2n+2-2n+1=8，
∴2n×22-2n×2=8，
∴2n×22-2=8，
∴2n=4，
解得：n=2，
∵ B=2△x=22+x-3=x+1，A=x△m-2x=x2+m-2x-3，
∴A×B=x+1x2+m-2x-3，
整理得：A×B=x3+m-1x2+m-5x-3，
∵A×B不含一次項，
∴m-5=0，
解得：m=5，
∴3m-n=3×5-2=13；
（2）解：∵數(shù)對2,m為“嘉幸數(shù)”，
∴2△m=2×2△2m，
整理得：22+m-3=42+2m-3，
解得：m=-12，
∵數(shù)對1,n為“嘉幸數(shù)”，
∴1△n=1×2△2n，
整理得：12+n-3=22+2n-3，
解得：n=-3，
4m+nm+n-2mn14m+4-m-n+12m2n-8n2+2024
=4m2+8mn+4n2-12m2n-8mn-m-n+12m2n-8n2+2024
=4m2-4n2-m-n+2024
=4m-nm+n-m-n+2024
=m-n4m+4n-1+2024，
當(dāng)m=-12，n=-3時，
原式=m-n4m+4n-1+2024
=-12--3×4×-12+4×-3-1+2024
=-9×-48-12-1+2024
=-9×-61+2024
=549+2024
=2573．
【點睛】本題主要考查了新運算、一元一次方程的定義、同底數(shù)冪的乘法、整式的化簡求值、有理數(shù)的混合運算．解決本題的關(guān)鍵是理解題目中規(guī)定的新運算，根據(jù)規(guī)定的新運算，把指定的運算轉(zhuǎn)化為一般的運算；理解“嘉幸數(shù)”的意義，根據(jù)“嘉幸數(shù)”列方程求出字母的值．
【變式25-2】（24-25七年級·浙江寧波·期末）對x，y定義一種新運算F，規(guī)定：F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)（其中m，n均為非零常數(shù)）．例如：F(1,1)=2m+2n，F(xiàn)(-1,0)=3m．當(dāng)F(1,-1)=-8，F(xiàn)(1,2)=13，則F(x,y)= ；當(dāng)x2≠y2時，F(xiàn)(x，y)=F(y，x)對任意有理數(shù)x，y都成立，則m，n滿足的關(guān)系式是 ．
【答案】 9x2+12xy-5y2 3m+n=0
【分析】（1）根據(jù)新運算F的定義，得m-n=-2，m+2n=13，故m=3，n=5．那么，F(xiàn)(x，y)=(mx+ny)(3x-y)=(3x+5y)(3x-y)=9x2+12xy-5y2．
（2）由F(x，y)=F(y，x)，得3mx2+(3n-m)xy-ny2=3my2+(3n-m)xy-nx2，故(3m+n)x2=(3m+n)y2．由當(dāng)x2≠y2時，F(xiàn)(x，y)=F(y，x)對任意有理數(shù)x，y都成立，故當(dāng)x2≠y2時，(3m+n)x2=(3m+n)y2對任意有理數(shù)x，y都成立．那么，3m+n=0．
【詳解】解：（1）∵F(1,-1)=-8，F(xiàn)(1,2)=13，
∴(m-n)×[3-(-1)]=-8，(m+2n)(3×1-2)=13．
∴m-n=-2，m+2n=13．
∴m=3，n=5．
∴F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)=(3x+5y)(3x-y)=9x2-3xy+15xy-5y2=9x2+12xy-5y2．
（2）∵F(x，y)=(mx+ny)(3x-y)，F(xiàn)(y，x)=(my+nx)(3y-x)，
∴F(x，y)=3mx2-mxy+3nxy-ny2=3mx2+(3n-m)xy-ny2．
F(y，x)=3my2-mxy+3nxy-nx2=3my2+(3n-m)xy-nx2．
若當(dāng)x2≠y2時，F(xiàn)(x，y)=F(y，x)對任意有理數(shù)x，y都成立，
∴當(dāng)x2≠y2時，3mx2+(3n-m)xy-ny2=3my2+(3n-m)xy-nx2對任意有理數(shù)x，y都成立．
∴當(dāng)x2≠y2時，(3m+n)x2=(3m+n)y2對任意有理數(shù)x，y都成立．
∴3m+n=0．
故答案為：9x2+12xy-5y2，3m+n=0．
【點睛】本題主要考查整式的運算以及解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解法以及整式的運算．
【變式25-3】（24-25七年級·江蘇鹽城·期中）定義：若∠α、∠β是同旁內(nèi)角，并且∠α,∠β滿足∠β=∠α+20°，則稱∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角．
(1)如圖1，已知∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角．
① 當(dāng)∠α=60°時，∠β= _____°；
② 當(dāng)直線l1∥l2時，求∠β的度數(shù)．
(2)如圖2，已知∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，點O是線段GH上一定點．
①∠DHG是∠BGH的內(nèi)聯(lián)角嗎？請說明理由；
② 過點O的直線分別交直線CD、AB于點P、Q，若∠α=60°且∠EOP是圖中某個角的內(nèi)聯(lián)角．請直接寫出∠EOP是哪個角的內(nèi)聯(lián)角，以及此時∠EOP的度數(shù)．
【答案】(1)①80；②100°
(2)①是，理由見解析；②當(dāng)∠EOP是∠AGH的內(nèi)聯(lián)角時，∠EOP=100°；當(dāng)∠EOP是∠CPO的內(nèi)聯(lián)角時，∠EOP=130°；當(dāng)∠EOP是∠OPD的內(nèi)聯(lián)角時，∠EOP=160°
【分析】本題考查同旁內(nèi)角，平行線的性質(zhì)，幾何圖形中角度的計算，三角形的外角，掌握內(nèi)聯(lián)角的定義，是解題的關(guān)鍵：
（1）①根據(jù)內(nèi)聯(lián)角的定義進行求解即可；②根據(jù)平行線的性質(zhì)和內(nèi)聯(lián)角的定義，進行求解即可；
（2）①根據(jù)鄰補角求出∠DHG和∠BGH的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)聯(lián)角的定義進行判斷即可；②分三種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：①∵∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，
∴∠β=∠α+20°，
∵∠α=60°，
∴∠β=60°+20°=80°；
故答案為：80；
②∵∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，
∴∠β=∠α+20°，
∵l1∥l2，
∴∠α+∠β=180°，
∴∠α+∠α+20°=180°，
∴∠α=80°，
∴∠β=80°+20°=100°；
（2）①是，理由如下：
∵∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，
∴∠β=∠α+20°，
∵∠DHG=180°-α，∠BGH=180°-β，
∴∠BGH=180°-α-20°，
∴∠BGH+20°=180°-α-20°+20°=180°-α=∠DHG，
又∵∠DHG、∠BGH是同旁內(nèi)角，
∴∠DHG是∠BGH的內(nèi)聯(lián)角；
②∵∠β是∠α的內(nèi)聯(lián)角，∠α=60°，
∴∠β=∠α+20°=80°，
當(dāng)直線位于如下圖所示位置時：
∴當(dāng)∠EOP是∠AGH的內(nèi)聯(lián)角時，則：∠EOP=∠β+20°=100°，
當(dāng)∠EOP是∠CPO的內(nèi)聯(lián)角時，∠EOP=∠CPO+20°=60°+180°-∠EOP+20°=260°-∠EOP，解得：∠EOP=130°
當(dāng)直線位于如下圖所示位置時：
∵∠AGH=80°,∠CHG=60°，
∴∠BGH=180°-∠AGH=180°-80°=100°，
∠GHD=180°-∠CHG=180°-60°=120°，

若∠EOP是∠BGO的內(nèi)聯(lián)角，則
∠EOP=∠BGO+20°=100°+20°=120°，
∵∠EOP=∠GHD+∠OPH=120°+∠OPH>120°，
∴∠EOP=120°（舍去）．
若∠EOP是∠DPO的內(nèi)聯(lián)角，則
∠EOP=∠DPO+20°=120°+180°-∠EOP+20°=320°-∠EOP，
得∠EOP=160°，
綜上：當(dāng)∠EOP是∠AGH的內(nèi)聯(lián)角時，∠EOP=100°；當(dāng)∠EOP是∠CPO的內(nèi)聯(lián)角時，∠EOP=130°；當(dāng)∠EOP是∠OPD的內(nèi)聯(lián)角時，∠EOP=160°．
【考點26 閱讀理解類問題】
【例26】（24-25七年級·北京豐臺·期末）閱讀下列材料：
如圖，點P是線段AB，CD所在直線之間的一點，且AB∥CD，連接PA，AC．
小馬同學(xué)通過觀察，度量，提出猜想：
∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
接著他時猜想進行了證明，證明思路是：
如圖1，過點P作PM∥AB，由AB∥CD，可得PM∥CD．根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，從而得證∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
請你參考小馬同學(xué)的證明思路，完成下列問題
(1)如圖2，點P是線段AB，CD所在直線上方的一點，且AB∥CD，連接PA，PC．用等式表示∠BAP，∠APC，∠PCD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(2)在（1）的條件下，∠BAP和∠PCD的角平分線所在直線交于點M．在圖3中補全圖形，用等式表示∠AMC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)∠APC=∠BAP-∠PCD，證明見解析
(2)圖見詳解，∠AMC=12∠APC（或∠APC=2∠AMC）
【分析】本題主要考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系，三角形外角的定義以及性質(zhì)，對頂角相等等知識，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）過點P作PN∥AB，由平行線的性質(zhì)得出∠A=∠APN，由平行線公理可得出PN∥CD，再由平行線的性質(zhì)得出∠C=∠1，由角的和差關(guān)系可得出∠APC=∠APN-∠1，等量代換可得出∠APC=∠A-∠C，即∠APC=∠BAP-∠PCD．
（2）根據(jù)題意補全圖形即可，根據(jù)角平分線的定義可得出∠PAN=12∠BAP，∠FCE=12∠PCD，由三角形外角的定義可得出∠PAN=∠PEN+∠APC，∠FCE=∠AMC+∠CEM，由對頂角相等可得出∠PEN=∠CEM，進而可得出∠APC=∠PAN-∠FCE+∠AMC，等量代換后結(jié)合（1）可得出∠APC=12∠APC+∠AMC，進一步即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：過點P作PN∥AB，
∴∠A=∠APN
∵AB∥CD，
∴PN∥CD
∴∠C=∠1，
∵∠APC=∠APN-∠1
∴∠APC=∠A-∠C，
即∠APC=∠BAP-∠PCD．
（2）根據(jù)題意，補全圖形如下：
∵NM平分∠BAP，F(xiàn)M平分∠PCD，
∴∠PAN=12∠BAP，∠FCE=12∠PCD，
∵∠PAN=∠PEN+∠APC，∠FCE=∠AMC+∠CEM， 且∠PEN=∠CEM
∴∠PAN-∠APC=∠FCE-∠AMC，
∴∠APC=∠PAN-∠FCE+∠AMC，
∴∠APC=12∠BAP-12∠PCD+∠AMC=12∠BAP-∠PCD+∠AMC，
由（1）知∠APC=∠BAP-∠PCD，
∴∠APC=12∠APC+∠AMC，
即∠AMC=12∠APC
【變式26-1】（24-25七年級·上海閔行·期中）閱讀理解題
閱讀材料：
兩個兩位數(shù)相乘，如果這兩個因數(shù)的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字的和是10，該類乘法的速算方法是：將一個因數(shù)的十位數(shù)字與另一個因數(shù)的十位數(shù)字加1的和相乘，所得的積作為計算結(jié)果的前兩位，將兩個因數(shù)的個位數(shù)字之積作為計算結(jié)果的后兩位（數(shù)位不足兩位，用0補齊）．
比如47×43，它們乘積的前兩位是4×4+1=20，它們乘積的后兩位是7×3=21，所以47×43=2021；
再如62×68，它們乘積的前兩位是6×6+1=42，它們乘積的后兩位是2×8=16，所以62×68=4216；
又如21×29，2×2+1=6，不足兩位，就將6寫在百位：1×9=9，不足兩位，就將9寫在個位，十位上寫0，所以21×29=609
該速算方法可以用我們所學(xué)的整式乘法與分解因式的知識說明其合理性；
設(shè)其中一個因數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字是b，（a、b表示1~9的整數(shù)），則該數(shù)可表示為10a+b，另一因數(shù)可表示為10a+10-b．
兩數(shù)相乘可得：
(10a+b)[10a+(10-b)]
=100a2+10a(10-b)+10ab+b(10-b)
=100a2+100a-10ab+10ab+b(10-b)
=100a2+100a+b(10-b)
=100a(a+1)+b(10-b).
（注：其中aa+1表示計算結(jié)果的前兩位，b10-b表示計算結(jié)果的后兩位．）
問題：
兩個兩位數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字相同，另一因數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是10．
如44×73、77×28、55×64等．
（1）探索該類乘法的速算方法，請以44×73為例寫出你的計算步驟；
（2）設(shè)十位數(shù)字與個位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是a，則該數(shù)可以表示為___________．
設(shè)另一個因數(shù)的十位數(shù)字是b，則該數(shù)可以表示為___________．（a、b表示1~9的正整數(shù)）
（3）請針對問題（1）（2）中的計算，模仿閱讀材料中所用的方法寫出如：100aa+1+b10-b的運算式：____________________
【答案】（1）4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；（2）11a，9b+10；（3）（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【分析】（1）設(shè)一個因數(shù)的兩個數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個因數(shù)個位數(shù)為a，則另一個因數(shù)為10a+a，則 可得出（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
規(guī)律：先將和為10的數(shù)的十位數(shù)字加1 ，再與后一個乘數(shù)的十位數(shù)字相乘后乘以100，然后加上兩個個位數(shù)之積，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)兩位數(shù)的表示方法即可得出結(jié)論．
（3）根據(jù)（1）即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)一個因數(shù)的兩個數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個因數(shù)個位數(shù)為a，則另一個因數(shù)為10a+a，則（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
規(guī)律：先將和為10的數(shù)的十位數(shù)字加1 ，再與后一個乘數(shù)的十位數(shù)字相乘后乘以100，然后加上兩個個位數(shù)之積，∴4×（7+1）=32，4×3=12，44×73=3212；
（2）設(shè)十位數(shù)字與個位數(shù)字相同的因數(shù)的十位數(shù)字是a，則該數(shù)可以表示為10a+a=11a．
設(shè)另一個因數(shù)的十位數(shù)字是b，則該數(shù)可以表示為10b+（10-b）=9b+10．
故答案為11a，9b+10．
（3）設(shè)一個因數(shù)的兩個數(shù)字為b和c且b+c=10，另一個因數(shù)個位數(shù)為a，則另一個因數(shù)為10a+a，則（ 10a+a） （ 10b+c）=100ab+10ac+10ab+ac=100ab+10（b+c）a+ac=100ab+10×10a+ac=（ b+1 ） a×100+ac．
故答案為（ 10a+a） （ 10b+c）= （ b+1 ） a×100+ac．
【點睛】本題考查了整式的混合運算和數(shù)字的計算規(guī)律，尋找計算規(guī)律是前提，并加以運用和推廣是關(guān)鍵，考查了數(shù)學(xué)的類比思想，整式的運算是解題的基礎(chǔ)．
【變式26-2】（24-25七年級·山東濟南·期末）【概念學(xué)習(xí)】
一個含有多個字母的代數(shù)式中，任意交換其中兩個字母的位置，當(dāng)字母的取值均不相等，且都不為0時，代數(shù)式的值不變，這樣的式子叫作對稱式．
【特例感知】
代數(shù)式m+n+p中任意兩個字母交換位置，可得到代數(shù)式n+m+p，p+n+m，m+p+n，因為n+m+p=p+n+m=m+p+n，所以m+n+p是對稱式．而交換式子m-n中字母m，n的位置，得到代數(shù)式n-m，因為m-n≠n-m，所以m-n不是對稱式．
【問題解決】閱讀以上材料，解答下面的問題：
(1)下列代數(shù)式中是對稱式的有_____(填序號)
①2m?2n?2p
②-2mn
③-2m-2n
④m-n2
(2)若關(guān)于m，n的代數(shù)式km-n2+km2-n2為對稱式，則k的值為_____；
(3)在(2)的條件下，已知上述對稱式km-n2+km2-n2=-10，且mn=1，求m-n2的值．
【答案】(1)①②④
(2)-1
(3)4
【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，解題關(guān)鍵是理解對稱式的含義，掌握乘法公式．
（1）根據(jù)對稱式的定義對各個式進行判斷即可；
（2）根據(jù)對稱式的定義，交換m，n的位置，得到kn-m2+kn2-m2，由題意得km-n2+km2-n2=kn-m2+kn2-m2，整理得k+1=0，求出k即可；
（3）把（2）中所求k的值代入km-n2+km2-n2=-10，求出m2+n2的值，再利用完全平方公式進行解答即可．
【詳解】（1）：解：①∵2m?2n?2p=2p?2n?2m=2p+m+n，
∴①是對稱式；
②∵[-2m]n=[-2n]m=-2mn，
∴②是對稱式；
③∵-2m-2n≠-2n-2m，
∴③不是對稱式；
④∵m-n2=n-m2，
∴④是對稱式，
故答案為：①②④；
（2）解：∵關(guān)于m，n的代數(shù)式km-n2+km2-n2為對稱式，
∴ km-n2+km2-n2=kn-m2+kn2-m2，
km-n2-kn-m2+km2-kn2+m2-n2=0，
k(m2-n2)+(m2-n2)=0，
k+1(m2-n2)=0，
∴k+1=0，
即k=-1；
（3）解：∵k=-1，
∴ -m-n2-m2-n2=-10，
-m2+2mn-n2-m2-n2=-10，
-2m2-2n2+2mn=-10，
-2(m2+n2)=-10-2mn，
2(m2+n2)=10+2mn，
m2+n2=5+mn=6，
∴ m-n2
=m2+n2-2mn
=6-2×1
=6-2
=4．
【變式26-3】（24-25七年級·山西臨汾·期中）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．
如圖1，物理學(xué)中把經(jīng)過入射點O并垂直于反射面的直線ON叫做法線，入射光線與法線的夾角i叫做入射角，反射光線與法線的夾角r叫做反射角．在反射現(xiàn)象中，反射角等于入射角．因為法線ON垂直于反射面，且反射角r=入射角i，所以∠1=∠2(依據(jù))．利用這個規(guī)律，人們制造了潛望鏡，圖2是潛望鏡的工作原理示意圖，AB，CD是平面鏡，m是射入潛望鏡的光線，n是經(jīng)平面鏡兩次反射后離開潛望鏡的光線，在反射現(xiàn)象中，蘊含了豐富的數(shù)學(xué)道理．

任務(wù)：
(1)上述材料中的“依據(jù)”指的是______；如圖2，若入射光線m與反射光線n平行，則AB與CD的位置關(guān)系是______．
(2)改變兩面平面鏡AB，CD之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變．如圖3，將平面鏡AB與CD在B處相接，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射到平面鏡CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光線n和光線m平行，且∠1=48°，求∠6的度數(shù)．
【答案】(1)等角的余角相等；AB∥CD
(2)∠6=96°
【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)解答即可；求出∠5=∠6，根據(jù)平行線的判定得出即可．
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠6=180°-∠5，即可求解．
【詳解】（1）(1)等角的余角相等；AB∥CD．
由材料可知∠1=∠2，∠4=∠3，
∵m∥n，
∴∠5=∠6，
∴180°-∠1+∠2=180°-∠4+∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD．
故答案為：等角的余角相等；AB∥CD
（2）解：依題意，得∠2=∠1=48°，
∴∠5=180°-∠1-∠2=84°．
∵ m∥n，
∴∠6=180°-∠5=96°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．
拋擲次數(shù)m
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
“正面向上”的次數(shù)n
265
512
793
1034
1306
1558
2083
2598
“正面向上”的頻率nm（精確到0.001）
0.530
0.512
0.529
0.517
0.522
0.519
0.521
(_______)(_______)=2a2+3ab+b2
拋擲次數(shù)m
500
1000
1500
2000
2500
3000
4000
5000
“正面向上”的次數(shù)n
265
512
793
1034
1306
1558
2083
2598
“正面向上”的頻率nm（精確到0.001）
0.530
0.512
0.529
0.517
0.522
0.519
0.521
(_______)(_______)=2a2+3ab+b2