數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學，數(shù)與形以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學研究的永恒主題，就解題而言，數(shù)與形的恰當結(jié)合，常常有助于問題的解決，美國數(shù)學家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么思維就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思考問題的解法”．將問題轉(zhuǎn)化為一個圖形，把問題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來，是一個十分重要的解題方法，現(xiàn)階段借助圖形思考是指以下兩個方面：
1．從給定的圖形獲取解題信息
數(shù)學問題的表述方法很多，既有用文字敘述的，也有通過圖形（如數(shù)軸、圖表、平面圖形等）來呈現(xiàn)的，善于從給定的圖形獲取解題信息是一個重要技能．
2．有意地畫圖輔助解題
圖形能直觀、形象地表示數(shù)量及關(guān)系，解題中有意地畫圖（如畫直線圖、列表、構(gòu)造圖
形等）能幫助分析理順復雜數(shù)量關(guān)系，使問題獲得簡解．
閱讀與思考
【例1】如圖，圓周上均勻地釘了9枚釘子，釘尖朝上，用橡皮筋套住
其中的3枚，可套得一個三角形，所有可以套出來的三角形中，不同
形狀的共有____________種。
（“五羊杯”競賽試題）
解題思路：圓周長保持不變，設圓周長為9，套成的三角形三邊所對應的弧長分別為則。不妨設，借助圖形分析，找出滿足條件的整數(shù)解即可。
【例2】一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設慢車行駛的時間為（h），兩車之間的距離為（km），圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像進行一下探究：
信息讀取
（1）甲、乙兩地之間的距離為___________km。
（2）請解釋圖中點B的實際意義。
圖像理解
（3）求慢車和快車的速度。
（4）求線段BC所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍。
問題解決
（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同。在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇。求第二列快車比第一列快車晚車發(fā)多少小時？
（江蘇省南京市中考試題）
解題思路：函數(shù)圖像包含了兩種不同層次的信息：有慢車行駛900km用了12h等可直接感知的淺層結(jié)構(gòu)信息，也有在0～4小時之間以及稍后的一段時間內(nèi)，快車和慢車的速度之和為定值和C點表示快車在某一時刻已到達終點等需要經(jīng)過分析或運算才能獲得的深層結(jié)構(gòu)的信息。
【例3】某電視臺為了解三個特色欄目的收視情況，向28位觀眾進行調(diào)查，調(diào)查后得知：每位觀眾至少收看了其中的一個欄目；沒有收看欄目的觀眾中，收看欄目人數(shù)為收看欄目的兩倍；在收看欄目的觀眾中，只收看欄目的觀眾人數(shù)比除了收看欄目之外同時還收看其他欄目的人數(shù)多1；只收看一個欄目的觀眾中，有一半沒有收看或欄目，求欄目的收視率。
（“《數(shù)學周報》”杯全國數(shù)學競賽試題）
解題思路：設未知數(shù)，借助于圖表表示題中各數(shù)量之間的關(guān)系。
【例4】甲、乙、丙、丁、戌五名同學參加推鉛球比賽，通知抽簽決定出賽順序，在未公布順序前每人都對出賽順序進行了猜測。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中，問：出賽順序中，第一、第三、第五分別是哪位同學？
（“希望杯”邀請賽試題）
解題思路：文字羅列出來的條件，其相互關(guān)系錯綜復雜，不便分析和推斷，不妨借助于圖表直觀地表示研究對象及其關(guān)系。
【例5】某班有50名同學，期末考試優(yōu)秀的學生人數(shù)及科目如表：
這里，一科優(yōu)秀者包括兩、三科優(yōu)秀者，兩科優(yōu)秀者包括三科優(yōu)秀者，試說明上述統(tǒng)計表有錯誤。
（“創(chuàng)新杯”競賽試題）
解題思路：借助于圖形直觀地表示出數(shù)學、外語、語文優(yōu)秀學生的集合，有利于分析與推斷。
能力訓練
1．甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。則小強已經(jīng)賽了________盤。
（“華羅庚金杯”競賽試題）
2．某市儲運部緊急調(diào)撥一批物資，調(diào)進物資共用4小時，調(diào)進物資2小時后開始調(diào)出物資（調(diào)進物資與調(diào)出物資的速度保持不變）。儲運部庫存物資與時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖，這批物資從開始調(diào)進到全部調(diào)出所需要的時間是___________________。
（山東省濟南市中考試題）
3．甲、乙兩人同時從地出發(fā)，以各自的速度勻速汽車到地后原地休息，甲、乙兩人的距離與乙騎車的時間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖，則兩地的距離為______________________千米。
4．一臺計算機的硬盤分為3個區(qū)，每個區(qū)的使用情況如圖所示，則這個硬盤的使用率為______________________。
（“希望杯”邀請賽試題）
5．三支足球隊舉行單循環(huán)比賽（每支隊與另一支隊只比賽一場，共三場），下表給出的是比賽的部分結(jié)果：
請根據(jù)上表，填上隊與隊比賽時的比分為_______________。
（重慶市競賽試題）
6．如圖是某班全體學生外出時乘車、步行、騎車的人數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖（兩圖都不完整），則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．該班總?cè)藬?shù)為50人 B．騎車人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20％
C．步行人數(shù)30人 D．乘車人數(shù)是騎車人數(shù)的2.5倍
7．某人騎車沿直線旅行，先前進了千米，休息了一段時間，又原路返回千米（），再前進千米，則此人離起點的距離與時間的關(guān)系示意圖為（ ）。
A． B． C． D．
8．一圓形地塊，打算分四個區(qū)域栽種觀賞植物，要在同一區(qū)域種同一種植物，相鄰（有公共邊）的兩塊里中不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，那么所有的栽種方案的個數(shù)為 ( )。
A．66 B．68
C．60 D．84
（重慶市競賽試題）
9．某校參加數(shù)學競賽有120名男生，80名女生；參加英語競賽有120名女生，80名男生。已知該?？偣灿?60名學生參加了競賽，其中有75名男生兩科競賽都參加了，問參加數(shù)學競賽而沒有參加英語競賽的女生人數(shù)有多少人？
（“祖沖之杯”邀賽試題）
10．某人租用一輛汽車由城前往城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時間（單位：h）如圖所示。若汽車行駛的平均速度為km/h。而汽車每行駛 km需要的平均費用為元。試指出此人從城出發(fā)到城的最短線路，并求出所需費用最少多少元？
（全國初中數(shù)學競賽試題）
11.剛回到營地的兩個搶險隊又接到救災命令：一分隊立即出發(fā)趕往30千米外的A鎮(zhèn);二分隊因疲勞可在營地休息小時再趕往A鎮(zhèn)參加救災。一分隊出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在里營地10千米處發(fā)生塌方，塌方處地形復雜，必須有一分隊用1小時打通．已知一分隊的行進速度為5千米/時，二分隊的行進速度是千米/時．
（1）若二分隊在營地不休息，問二分隊幾個小時能趕到A鎮(zhèn)？
（2）若需要二分隊和一分隊同時趕到A鎮(zhèn)，二分隊應在營地休息幾個小時？
（3）下列圖中，①②分別描述一分隊和二分隊離A鎮(zhèn)的距離（千米）和時間（小時）的函數(shù)關(guān)系，請寫出你認為所有可能合理圖像的代號，并說明它們的實際意義．
A B C D
(安徽省中考題)
12.已知函數(shù) QUOTE ．
（1）在直角坐標系中作出函數(shù)圖象．
（2）已知關(guān)于的方程 QUOTE 有三解.求的取值范圍．
（“創(chuàng)新杯”競賽試題）
一科
二科
三科
科目
數(shù)
外
語
數(shù)、語
數(shù)、外
語外
數(shù)、語、外
人數(shù)
32
31
29
16
17
18
10
球隊
比賽場數(shù)
勝
負
平
總進球數(shù)
總失球數(shù)
2
2
1
2
1
2
4
2
3
7

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