【寒假作業(yè)】（滬教版2020）高中數(shù)學高一寒假鞏固提升訓練專題09正弦定理（5種題型）-練習-試卷下載-教習網(wǎng)

思維導圖
核心考點聚焦
題型一：已知三角形兩角及一邊解三角形
題型二：已知三角形兩邊及一邊的對角解三角形
題型三：判斷三角形形狀的判斷
題型四：求三角形面積
題型五：正弦定理的實際應(yīng)用
如圖，在半徑為的圓中，作直徑，在圓周上任取異于、兩點的一點點，連接、，在中將角、及所對邊的邊長分別記作、及，則，并且.
在中，，
，.
故可得（為外接圓半徑）
以上是初三我們學習的直角三角形的求解問題，但在我們高中階段所遇到的三（xia）角（guai）形（shu）往往不再是直角三角形，而是“進化”為斜三（da）角（guai）形（shu）.
【Attentin】斜三角形=銳角三角形+鈍角三角形.
在三角形的三個角和三條邊這6個元素中，經(jīng)常會遇到已知其中三個元素（至少有一個元素為邊長）求其他元素的問題，這稱為解三角形. 為此，需要知道邊和角之間的數(shù)量關(guān)系，從而有了今天我們要學習的正弦定理.
如圖，在斜（鈍角）中，
同理可得
由此可知，三角形的面積等于任意兩邊與它們夾角正弦值的乘積的一半，即三角形的面積公式為
.
將上式同時除以，就得到，即.
這樣，我們就得到了正弦定理：在一個三角形中，各邊與所對角的正弦的比值相等，即
（為外接圓半徑）
換言之
，，.
題型一：已知三角形兩角及一邊解三角形
【例1】在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，解這個三角形。
【解析】在△ABC中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.
sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cs 30°＋cs 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2)?\r(3)＋1?,4)；
根據(jù)正弦定理，得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(2sin 60°,sin 75°)＝eq \f(2×\f(\r(3),2),\f(\r(2)?\r(3)＋1?,4))＝eq \r(6)(eq \r(3)－1)＝3eq \r(2)－eq \r(6)，
所以b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(2sin 45°,sin 75°)＝eq \f(2×\f(\r(2),2),\f(\r(2)?\r(3)＋1?,4))＝2(eq \r(3)－1)；
【變式】在中，已知，，，解這個三角形.
【解析】在中，
由正弦定理，得
解得，
題型二：已知三角形兩邊及一邊的對角解三角形
【例2】在△ABC中，已知c＝eq \r(6)，A＝45°，a＝2，解這個三角形；
【解析】因為，eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，所以，sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(\r(6)×sin 45°,2)＝eq \f(\r(3),2)，
則，C＝60°或C＝120°；
當C＝60°時，B＝75°，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 75°,sin 60°)＝eq \r(3)＋1；
當C＝120°時，B＝15°，b＝eq \f(csin B,sin C)＝eq \f(\r(6)sin 15°,sin 120°)＝eq \r(3)－1.
所以，b＝eq \r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq \r(3)－1，B＝15°，C＝120°；
【變式】在中，已知，，，解這個三角形.
【解析】由正弦定理，得或
①時，，由，得
②時，，由，得
題型三：判斷三角形形狀的判斷
【例3】在△ABC中，acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，判斷△ABC的形狀。
【答案】等腰三角形；
【解析】方法1、（化角為邊）
因為，acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，所以，asin A＝bsinB．由正弦定理可得，a·eq \f(a,2R)＝b·eq \f(b,2R)，
則a2＝b2，所以，a＝b，所以，△ABC為等腰三角形；
方法2：（化邊為角）
因為， acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，所以，asin A＝bsinB．
由正弦定理可得，2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，所以，A＝B；(A＋B＝π不合題意舍去)
故△ABC為等腰三角形；
【變式1】在中，已知，判斷的形狀.
【解析】方法一：方法二：
由正弦定理，得由正弦定理，得
又，
或（舍）故為等腰三角形
故，即為等腰三角形
【變式2】在中，已知，，判斷的形狀.
【答案】等腰直角三角形
【提示】
【變式3】. 在△ABC中，若，試判斷△ABC的形狀.
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】由題設(shè)，，則，即
1° 若，則△ABC是等腰三角形；2°若，則△ABC是直角三角形
題型四：求三角形面積
【例5】已知△ABC的外接圓半徑為2，若，設(shè)AB的邊長為，求△ABC的面積.
【答案】或
【解析】由題設(shè)，則
1° 若，則.
2° 若，則.
【變式1】. 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則△ABC的面積 .
【答案】6
【解析】∵，由，，∴，，
∴.
由正弦定理，得，解得，故△ABC的面積.
【變式2】. 在△ABC中，∠A＝60°，. （1）求的值；（2）若，求△ABC的面積.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，由正弦定理可得.
（2）若，則，∴，∵，又由（1）可得，
∴，
∴.
題型五：正弦定理的實際應(yīng)用
【例5】. 2020年新冠肺炎肆虐全球，抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)，早隔離. 某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域ABCD沿邊界用固定髙度的板材圍城一個封閉隔離區(qū)，經(jīng)測量，邊界AB與AD的長都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.
（1）若∠ADC＝105°，求BC的長；（結(jié)果精確到米）
（2）圍成該區(qū)域至多需要多少米長度的板材？（不計損耗，結(jié)果精確到米）
【答案】（1）163.3；（2）630.9
【解析】（1）連結(jié)BD，由題設(shè)，△ABD是等邊三角形，則
在△BCD中，，解得米
（2）設(shè)，則
在△BCD中，，則，
設(shè)需要y米長的板材
則
當時，米
【變式】. 在地面上一點A測得一電視塔塔尖的仰角為45°，再向塔底方向前進100米，測得塔尖的仰角為60°，則此電視塔的高度為米（精確到0.1米）.
【答案】236.6
【解析】如圖，，，
在△ABC中，，解得
則
一、填空題
1、在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝eq \f(1,3)，則sin B＝
【答案】eq \f(5,9)；
【解析】在△ABC中，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(5×\f(1,3),3)＝eq \f(5,9)；
2、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a＝eq \r(3)bsin A，則sin B＝
【答案】eq \f(\r(3),3)；
【解析】由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝eq \r(3)sin Bsin A，故sin B＝eq \f(\r(3),3)；
3、在△ABC中，a＝7，c＝5，則sin A∶sin C的值是
【答案】eq \f(7,5)；
【解析】由正弦定理得sin A∶sin C＝a∶c＝7∶5；
4、在△ABC中，a＝bsin A，則△ABC一定是三角形
【答案】直角；
【解析】由題意有eq \f(a,sin A)＝b＝eq \f(b,sin B)，則sin B＝1，即角B為直角，故△ABC是直角三角形；
5、已知△ABC外接圓半徑是2，A＝60°，則BC邊長為________．
【答案】2eq \r(3)；
【解析】因為eq \f(BC,sin A)＝2R，所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2eq \r(3).
6、在△ABC中，A＝60°，a＝eq \r(13)，則eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)等于
【答案】eq \f(2\r(39),3)；
【解析】由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(13),sin 60°)＝eq \f(2\r(39),3)；
7、在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，則△ABC的面積等于 .
【答案】2eq \r(3)；
【解析】在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得eq \f(AC,sin B)＝eq \f(BC,sin A)，所以eq \f(4,sin B)＝eq \f(2\r(3),sin 60°)，
解得sin B＝1.因為B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，
所以△ABC的面積S△ABC＝eq \f(1,2)·AC·BC·sin C＝2eq \r(3)；
8、△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，a＝1，則b＝ .
【答案】eq \f(21,13)；
【解析】在△ABC中由cs A＝eq \f(4,5)，cs C＝eq \f(5,13)，可得sin A＝eq \f(3,5)，sin C＝eq \f(12,13)，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C＝eq \f(63,65)，由正弦定理得b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(21,13)；
9、下列條件判斷三角形解的情況，正確的是（填序號）；
①a＝8，b＝16，A＝30°，有兩解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，無解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
【答案】④；
【解析】①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb且A＝120°，有一解．綜上，④正確；
10、在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，則的值為
【答案】；
【解析】由余弦定理得，
即，得，由正弦定理得；
11、在△ABC中，a＝2bcs C，則這個三角形一定是三角形
【答案】等腰；
【解析】由a＝2bcs C，得sin A＝2sin Bcs C，∴sin(B＋C)＝2sin Bcs C，
∴sin Bcs C＋cs Bsin C＝2sin Bcs C，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，∴△ABC為等腰三角形；
12、在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，則△ABC是________三角形．
【答案】直角；
【解析】由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根據(jù)正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2R)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2R)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2R)))2，即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2，所以△ABC是直角三角形；
二、選擇題
13、在△ABC中，若eq \f(sin A,a)＝eq \f(cs C,c)，則C的值為( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B；
【解析】由正弦定理得，eq \f(sin A,a)＝eq \f(sin C,c)＝eq \f(cs C,c)，則cs C＝sin C，即C＝45°，故選B；
14、在△ABC中，b＋c＝eq \r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，則( )
A．b＝1，c＝eq \r(2) B．b＝eq \r(2)，c＝1 C．b＝eq \f(\r(2),2)，c＝1＋eq \f(\r(2),2) D．b＝1＋eq \f(\r(2),2)，c＝eq \f(\r(2),2)
【答案】A；
【解析】因為，eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(\r(2)＋1,sin 45°＋sin 30°)＝2，所以，b＝1，c＝eq \r(2)；
15、在△ABC中，若，則C的值為（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【解析】由正弦定理可將變形為.
16、在△中，，，，則滿足條件的有（）
A．0個B．1個C．2個D．不確定
【答案】C
【解析】因為，，，所以，所以三角形有兩個解，
即滿足條件的有2個；故選：C.
三、解答題
17、已知b＝10，c＝5eq \r(6)，C＝60°，解三角形．
【解析】∵sin B＝eq \f(bsin C,c)＝eq \f(10sin 60°,5\r(6))＝eq \f(\r(2),2)，且b

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多