【寒假作業(yè)】（滬教版2020）高中數(shù)學(xué) 高一寒假鞏固提升訓(xùn)練專題06已知正弦、余弦或正切值求角（4種題型）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點聚焦
題型一、已知正弦、余弦或正切值求角
題型二、已知正弦、余弦或正切值求給定區(qū)間上的角
題型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范圍
題型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展
如果是銳角，且滿足，那么. 如果不限定是銳角，那么由誘導(dǎo)公式可知，也滿足. 再由誘導(dǎo)公式（）可知，或（）都滿足. 那么，是否還有其他的角滿足呢？下面我們就來研究這個問題.
為此目的，設(shè)是一個任意給定的角，我們希望確定所有滿足的角. 設(shè)角的終邊與以原點為圓心的單位遠的交點為，過點作軸的垂線，如圖（1）所示. 由正弦的定義，滿足的角的終邊與單位圓的交點必在此直線上.
當(dāng)（）時，此直線交單位圓于兩點和. 由于這兩點分別位于角和角的終邊上，因此滿足的角的全體為或，，可簡記為，.
當(dāng)（）時，過點且垂直于軸的直線與單位圓相切于，此時滿足角的全體為，，這個集合也可以用上面所示的形式來表示. 事實上，其表達式與上述集合第一部分中所給的表達式完全相同，而對于上述集合第二部分所給的表達式，由于在（）時，
（），
此時它也與上述集合第一部分中所給的表達式一致.
這樣，我們就得到：
若，則或，，即，.
同理，如圖（2），若角的終邊與以原點為圓心的單位圓的交點為，則由余弦的定義，滿足的角的終邊與單位圓的交點在過點且垂直于軸的直線上，從而滿足的角的全體為，. 這樣，我們就得到：
若，則，.
如圖（3），若角的終邊與以原點為圓心的單位圓的交點為，則由正切的定義，滿足的角的終邊與單位圓的交點在過原點和點的直線上，從而滿足的角的全體為，. 這樣，我們就得到：
若，則，.
題型一、已知正弦、余弦或正切值求角
【例1】如果已知，求：滿足條件的角的集合；
【答案】（1）或
【解析】（1）方法1、在單位圓中，由可知，
角對應(yīng)的正弦線方向朝上，而且長度為，作示意圖，如圖所示，
可知角的終邊可能是，也可能是，
又因為，所以或
所以，滿足條件的角的集合為：或
方法2、由，根據(jù)“若，則解集為：”
則滿足條件的角的集合為：；
【變式1】根據(jù)下列條件，分別求角：
（1）已知；（2）已知；（3）已知.
【解析】（1），原式等價于求解，從而其解為，.
（2），原式等價于求解，
從而其解為，.
（3），原式等價于求解，從而其解為，.
【變式2】. 已知角終邊上一點，且，能否求出、的值？若能，求出其值；若不能，請說明理由.
【解析】因為角的終邊過點，所以.
因為，所以或.
①當(dāng)時，點P的坐標為（1,3），角為第一象限角，此時；
②當(dāng)時，點P的坐標為（-1,3），角為第二象限角，此時
【變式3】. 已知集合，.
（1）當(dāng)時，求x的值；（2）當(dāng)時，求x和y的值.
【提示】（1），，解得，；
【解析】（2）因為，所以y可能取值為；
當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得；
當(dāng)時，則有，即，解得，經(jīng)檢驗知符合題意.
綜上可得：若，則；若，則；
若，則
題型二、已知正弦、余弦或正切值求給定區(qū)間上的角
【例2】（1）已知，求：滿足條件的角的集合；
（2）已知，求：在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合；
（3）已知，求：在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合；
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由變形得，由結(jié)論得，
滿足條件的角的集合為：；
（2）方法1、由，又，則或，
在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合為；；
方法2、適當(dāng)取并檢驗；
（3）同（2）得在區(qū)間內(nèi)滿足條件的角的集合為：；
【變式】. 求下列方程的解集：
（1），；（2），.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，故
又，故或，解得或，故解集為
（2）因為，故
又，故，解得，故解集為
題型三、已知正弦、余弦或正切值大小求角的范圍
【例3】（1）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
（2）已知，求：滿足條件的角的取值范圍；
【答案】（1）
【解析】（1）由可知，角x對應(yīng)的正弦線方向朝上，而且長度為，
作示意圖，如圖所示，可知角的終邊可能是，也可能是，又因為
，所以或
再由圖可知，如果的終邊在中，則一定有，
因此，滿足條件的角的取值范圍
（2）畫出單位圓中三角函數(shù)線，如圖．
由圖可知角的范圍是：
或；
題型四、已知正弦、余弦或正切值求角的拓展
【例4】已知，求：滿足條件的角的集合；
【解析】不妨將“”看作整體，代入“若，則解集為：”
則得，解得或，
所以，滿足條件的角的集合為：或；
【變式1】. 已知關(guān)于x的方程.
（1）當(dāng)時，求方程的解；（2）要使此方程有解，試確定m的取值范圍.
【解析】（1），所以，
當(dāng)時，方程為：，所以或，
又，所以，所以，故方程的解集為；
（2）由（1）得：有解，即有解，
又，又，所以，
即，即
【變式2】. 根據(jù)下列條件，求角x：（1）已知，；（2）已知，x是第三象限角.
【答案】（1）或；（2），
【解析】（1）由得，
因為，所以，因此或，故或
（2）由得或，
又x是第三象限角，所以，
一、填空題
1、已知cs x＝eq \f(1,2)，0＜x＜eq \f(π,2)，則角x等于
【答案】eq \f(π,3)
【解析】cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)
2、已知cs x＝eq \f(1,2)，＜x＜，則角x等于
【答案】
【解析】 cs =cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)
3、若tan α＝eq \f(\r(3),3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，則α＝________
【答案】eq \f(7π,6)
【解析】因為taneq \f(7π,6)=tan（π＋eq \f(π,6)）＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6).
4、若tan x＝eq \r(,3)，且x∈(－π，π)，則x＝________
【答案】eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3)；
【解析】因為tan x＝eq \r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，則x＝eq \f(π,3)，若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，則x＝eq \f(π,3)－π＝－eq \f(2π,3)，綜上x＝eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3).
5、方程2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1在區(qū)間(0，π)內(nèi)的解是__________
【答案】eq \f(7π,12)；
【解析】因為，2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1，所以，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)；因為，x∈(0，π), 所以，x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以，x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,3)，所以，x＝eq \f(7π,12).
6、函數(shù)的定義域為______．
【答案】，
【解析】根據(jù)函數(shù)，可得，由單位圓與余弦線，
可得，
故函數(shù)的定義域為，，故答案為，．
7、已知cs x＝eq \f(1,2)，0＜x＜eq \f(π,2)，則角x等于
【答案】eq \f(π,3)
【解析】cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)
8、已知cs x＝eq \f(1,2)，＜x＜，則角x等于
【答案】
【解析】 cs =cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)
9、若tan α＝eq \f(\r(3),3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，則α＝________
【答案】eq \f(7π,6)
【解析】因為taneq \f(7π,6)=tan（π＋eq \f(π,6)）＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6).
10、若tan x＝eq \r(,3)，且x∈(－π，π)，則x＝________
【答案】eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3)
【解析】因為tan x＝eq \r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，則x＝eq \f(π,3)，若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，則x＝eq \f(π,3)－π＝－eq \f(2π,3)，綜上x＝eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3).
11、方程2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1在區(qū)間(0，π)內(nèi)的解是__________
【答案】eq \f(7π,12)；
【解析】∵2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)；∵x∈(0，π), ∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
∴x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,3)，∴x＝eq \f(7π,12).
12、如果，且，那么角的取值范圍是
【答案】
【解析】因為，所以，所以角的終邊落在軸或其上方，
從而角的取值范圍是；
二、選擇題
13、方程的解為（）
A．，B．，
C．， D．，
【答案】D；
【解析】由，可得，或，，
即，，故選：D.
14、“”是“”的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B；
【解析】由可得：或，
即能推出，但推不出
所以，“”是“”的必要不充分條件，故選
15、已知，則＝（）
A． B．
C． D．
【答案】A；
【解析】由已知，得，得，即方程的根為
16、滿足等式的的集合是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，，
，或，
或.
綜上所述，方程的解集為.故選：D
三、解答題
17、求：方程的解集
【答案】；
【解析】由已知，結(jié)合誘導(dǎo)公式，化簡為，
則或，
得，所以方程的解集為.
故答案為：
18、求：方程的解集。
【答案】
【解析】由，得，解得，
即方程的解為.故答案為：
19、分別求滿足下列條件的x的值：
（1）sin x＝eq \f(\r(2),2)，x∈[－π，π]；（2）cs x＝－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))；
（3）tan x＝－1，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；（4）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，x∈[0，π]
【解析】（1）∵sin x＝eq \f(\r(2),2)，x∈[－π，π]，∴x＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4).
（2）∵cs x＝－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴x＝eq \f(2π,3)或eq \f(4π,3).
（3）∵tan x＝－1，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴x＝－eq \f(π,4).
（4）∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，∴2x＋eq \f(π,4)＝2kπ±eq \f(π,4)，k∈Z，
∴x＝kπ或kπ－eq \f(π,4)，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴x＝0，eq \f(3π,4)，π.
20、求滿足下列條件的的集合：
（1）；（2）；
【解析】（1）由eq \f(\r(2),2)－sin x>0，所以sin x

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