第09講同角三角函數(shù)基本式與誘導公式-【預習】高一數(shù)學寒假銜接講義練習（人教B版必修第三冊）-試卷下載-教習網(wǎng)

1.理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關系、重點提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．
2．會用同角三角函數(shù)的基本關系進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明．重點提升數(shù)學運算邏輯推理核心素養(yǎng)．
3.了解三角函數(shù)誘導公式的意義和作用，理解誘導公式的推導過程，重點培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學抽象核心素養(yǎng)．
4.能運用誘導公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題，重點提升數(shù)學運算、邏輯推理核心素養(yǎng)．
【知識導航】
知識點一同角三角函數(shù)的基本關系式
已知角α終邊上一點P(－3，－4)．
(1)求sin α，cs α，tan α的值；
(2)計算sin2 α＋cs2 α，eq \f(sin α,cs α)的值；
(3)是否對任意角α都有sin2 α＋cs2 α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))成立？若成立，試證明．
提示：(1)sin α＝－eq \f(4,5)，cs α＝－eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(4,3).
(2)1，eq \f(4,3).
(3)是．利用三角函數(shù)定義證明(略)．
1．同角三角函數(shù)的基本關系式成立的條件：當α∈R時，sin2 α＋cs2 α＝1成立；當α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z時，eq \f(sin α,cs α)＝tan_α成立．
2．基本關系式的變形公式
sin2 α＋cs2 α＝1?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2 α＝1－cs2 α，,cs2 α＝1－sin2 α，,sin α＝±\r(1－cs2 α)，,（sin α±cs α）2＝1±2sin αcs α.))
tan α＝eq \f(sin α,cs α)?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝tan αcs α，,cs α＝\f(sin α,tan α).))
知識點二角α與α＋2kπ(k∈Z)的三角函數(shù)值之間的關系
已知角β＝2kπ＋α，k∈Z.
(1)角α與β的終邊有什么關系？
(2)作出β的三角函數(shù)線，通過作圖，你會發(fā)現(xiàn)α，β的三角函數(shù)值有何關系？
提示：(1)終邊相同．
(2)(作圖略)．sin β＝sin α，cs β＝cs α，tan β＝tan α.
1．誘導公式①
sin(α＋k·2π)＝sin_α，cs(α＋k·2π)＝cs_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α．
2．誘導公式①的作用：可以把絕對值大于2π的任意角的三角函數(shù)值問題轉化為0～2π角的同名三角函數(shù)值問題．
知識點三角的旋轉、對稱
如圖，已知角α的終邊為OA，將射線OA逆時針旋轉θ到OB，順時針旋轉θ到OC；
那么①指出角α＋θ的終邊，②指出角α－θ的終邊．③角α＋θ的終邊與角α－θ的終邊有怎樣的對稱關系．
提示：①射線OB ②射線OC ③關于直線OA對稱
一般地，角α的終邊和角β的終邊關于角eq \f(α＋β,2)的終邊所在的直線對稱．
知識點四角α與角－α的三角函數(shù)值之間的關系
1．角α與角－α的終邊有怎樣的對稱關系？
提示：關于x軸對稱．
2．結合三角函數(shù)線，角α與角－α的三角函數(shù)值之間的關系如何？
提示：(作圖略)利用三角函數(shù)線和兩角的對稱關系得sin(－α)＝－sin α，cs(－α)＝cs α，tan(－α)＝－tan α.
1．誘導公式②：sin(－α)＝－sin_α，cs(－α)＝cs_α，tan(－α)＝－tan_α．
2．誘導公式②的作用：用正角的三角函數(shù)值表示負角的三角函數(shù)值．
知識點五角α與π±α的三角函數(shù)值之間的關系
1．任意角α與π－α的終邊有何位置關系？它們與單位圓的交點的位置關系怎樣？試用三角函數(shù)定義驗證α與π－α的各三角函數(shù)值的關系．
提示：α與π－α的終邊關于y軸對稱，如圖所示，設P1(x，y)是α的終邊與單位圓的交點，則π－α與單位圓的交點為P2(－x，y)，P1，P2關于y軸對稱，由三角函數(shù)定義知，sin(π－α)＝y(tǒng)＝sin α，cs(π－α)＝－x＝－cs α，tan(π－α)＝eq \f(y,－x)＝－tan α.
2．你能利用誘導公式②③探究角α與π＋α的各三角函數(shù)值的關系嗎？
提示：如cs(π＋α)＝cs[π－(－α)]＝－cs(－α)＝－cs α.
1．誘導公式③：sin(π－α)＝sin_α，cs(π－α)＝－cs_α，tan(π－α)＝－tan_α．
2．誘導公式④：sin(π＋α)＝－sin_α，cs(π＋α)＝－cs_α，tan(π＋α)＝tan_α．
知識點六角α與eq \f(π,2)－α的三角函數(shù)值之間的關系
如圖所示，設α是任意角，其終邊與單位圓交于點P1(x，y)，與角α的終邊關于直線y＝x對稱的角的終邊與單位圓交于點P2.
(1)P2點的坐標是什么？
提示：P2(y，x)．
(2)eq \f(π,2)－α的終邊與角α的終邊關于直線y＝x對稱嗎？它們的正弦、余弦值有何關系？
提示：對稱．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.
誘導公式⑤
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs_α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin_α．
知識點七角α與eq \f(π,2)＋α，eq \f(3π,2)±α的三角函數(shù)值之間的關系
1．利用誘導公式②⑤探究α與eq \f(π,2)＋α的三角函數(shù)值的關系？
提示：如cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,2)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α.
2．利用前面學習的誘導公式，你能發(fā)現(xiàn)eq \f(3π,2)＋α與α、eq \f(3π,2)－α與α間的三角函數(shù)值的關系嗎？
提示：如sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,2)＋α))＝－sin(eq \f(π,2)－α)＝－cs α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α.
誘導公式⑥⑦⑧
⑥sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs_α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α．
⑦cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝sin_α，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＝－cs_α．
⑧cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin_α，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cs_α．
[點撥]
誘導公式①～⑧可以統(tǒng)一概括為“k·eq \f(π,2)±α，(k∈Z)”的形式
記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限．其中“奇、偶”是指k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)中k的奇偶性，當k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變．“符號”看的應該是誘導公式中，把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，而不是α函數(shù)值的符號．
【知識預習】
考點一：同角三角函數(shù)基本關系式
1．若，且為第四象限角，則的值等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】為第四象限角，且.
故選：D.
2．已知α為第二象限角，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】解：由可得，
又α為第二象限角，所以.
所以.
故選：C.
3．若，且是第二象限角，則的值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由,且是第二象限角,
得
.
故選:．
4．已知,是第四象限角，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】,

故選：.
5．已知,則的值為
A．2B．C．-2D．
【答案】B
【詳解】由題意可知，，故選：B.
考點二：誘導公式
6．已知，且為第三象限角，則
A．B．-C．D．
【答案】B
【詳解】∵，∴.
∵，
∴，即，
又∵為第三象限角，∴.
故選B.
7．已知sin＝，則cs (π＋α)的值為( )
A．B．－C．D．－
【答案】D
【詳解】因為sin＝cs ＝，所以cs(π＋α)＝－cs ＝－．
故選D．
8．已知，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題得.
故選D
9．已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，故選C.
10．已知，則（）
A．B．3C．D．0
【答案】A
【詳解】解：因為，
所以，即．
故選：A．
【對點訓練】
一、單選題
1．已知，且為第二象限角，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由題意得，所以.
故選：A.
2．已知角終邊上一點，則（）
A．2B．-2C．0D．
【答案】B
【詳解】解：由題意，
角終邊上一點，
∴
∴，
故選：B.
3．已知，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為，且，所以，
．
故選：C．
4．若，且為第四象限角，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由于，且為第四象限角，
所以，
.
故選：D
5．已知角終邊在第一象限，，那么的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意，在第一象限，則，所以.
故選：C.
6．已知，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解：因為，所以，
又，即，解得，
所以，
故選：B.
7．若且，則是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【詳解】，所以，又，所以，故是第三象限角.
故選：C
8．已知，，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：∵，∴，
∴.
故選：D．
二、多選題
9．已知，，那么的可能值為（）
A．B．C．D．
【答案】BD
【詳解】因為①，又sin2α+cs2α=1②，
聯(lián)立①②，解得或，
因為，所以或．
故選：BD
10．已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【詳解】解: 因為，所以，
．
所以．
故選: AD
三、填空題
11．已知A為三角形內角且，則________.
【答案】##0.6
【詳解】根據(jù)，且A為三角形內角，
所以為銳角，
由題意得：，
解得：，
故答案為：.
12．已知，則______．
【答案】##0.75
【詳解】解：由題意得：
∵，
∴．
故答案為：
四、解答題
化簡．
13．（1）;
14．（2）
【答案】(1)(2)
(1)
；
(2)
.
15．已知，，求的值.
【答案】
【詳解】解：因為，所以，即，
又，聯(lián)立可得，解得，
因為，所以，，
所以.
16．已知為第三象限角，且．
(1)化簡；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
（1）
（2）
∵，
∴
又為第三象限角，
∴
【提升作業(yè)】
一、單選題
1．（）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】，
故選：A.
2．已知為第四象限角，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】因為為第四象限角且，所以，
也即，將兩邊同時平方可得：
，所以，
則，
故選：.
3．已知（）.
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【詳解】因為，由題意可知:,
將分式的分子和分母分別除以，可得:,
解得:.
故選：.
4．已知，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由已知，，
平方得：，
∴
∴
∵，∴，，∴，
∴.
故選：C.
5．已知，則的值為（）
A．B．18C．D．15
【答案】A
【詳解】
，
代入可算得原式的值為.
故選：A
二、填空題
6．已知關于x的方程的兩根為和（），則m的值為_______.
【答案】
【詳解】根據(jù)題意可得①，，①式平方可得，所以.
故答案為：.
7．__________.
【答案】
【詳解】原式

故答案為：
三、解答題
8．已知角滿足.
(1)求的值；
(2)若角是第三象限角，，求的值.
【答案】(1)答案見解析(2)
【詳解】（1）由題意和同角三角函數(shù)基本關系式，有，
消去得，解得或，
當角是第一象限角時，，
因為角是第三象限角，.
（2）由題意可得，
因為角是第三象限角，
所以，所以.
9．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因為，故．
則．
又，且，則．
故．
又，二者聯(lián)立解得：，，故．
（2）
10．已知關于的方程的兩根為和，.求：
(1)的值；
(2)的值.
【答案】(1)(2)
(1)
解：，是方程的兩個根，
，
則
；
(2)
解：

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