專題6.4 二項(xiàng)分布與超幾何分布（3類必考點(diǎn)）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)各個(gè)擊破（北師大版選擇性必修第一冊(cè)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc27051" 【考點(diǎn)1：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】 PAGEREF _Tc27051 \h 1
\l "_Tc8071" 【考點(diǎn)2：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】 PAGEREF _Tc8071 \h 9
\l "_Tc21028" 【考點(diǎn)3：超幾何分布的概率、均值與方差】 PAGEREF _Tc21028 \h 14
【考點(diǎn)1：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】
【知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)分布的概率、均值與方差】
1．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．二項(xiàng)分布
在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
[方法技巧]
求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí)，可首先分析X是否服從二項(xiàng)分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計(jì)算量．
1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知X～Bn,p，且E3X?9=D3X?9=27，則（）
A．n=18B．n=16C．p=14D．p=34
2．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布B1001,12，則（）
A．P(X=k)=C1001k121001B．P(X≤301)=P(X≥701)
C．P(X>E(X))>12D．PX=k最大時(shí)k=500或501
3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品是經(jīng)過(guò)三道工序加工而成的，這三道工序互不影響，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品三道工序的次品率分別為110，111，112．
(1)求該產(chǎn)品的次品率；
(2)從該工廠生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機(jī)抽取三件，記次品的件數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望EX．
4．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了豐富大學(xué)生的課外生活，某高校團(tuán)委組織了有獎(jiǎng)猜謎知識(shí)競(jìng)賽，共有500名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將其整理后分成4組，各組區(qū)間為60，70，70，80，80，90，90，100，并畫出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績(jī)(各組的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中間值作代表)；
(2)若團(tuán)委決定對(duì)所有參賽學(xué)生中成績(jī)排在前50名的學(xué)生進(jìn)行表彰，估計(jì)獲得表彰的學(xué)生的最低分?jǐn)?shù)線.
(3)以這100名學(xué)生成績(jī)不低于80分的頻率為概率，從參賽的500名學(xué)生中隨機(jī)選20名，其中參賽學(xué)生成績(jī)不低于80分的人數(shù)記為X，求X的方差.
5．（2022春·重慶榮昌·高二重慶市榮昌永榮中學(xué)校?？计谀┠硨W(xué)校高三年級(jí)有400名學(xué)生參加某項(xiàng)體育測(cè)試，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[30,40),[40,50),?[90,100]，整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)該學(xué)生不及格的概率；
(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)在[80,90)為“良好”，90,100為“優(yōu)秀”.用頻率估計(jì)概率，從該校高三年級(jí)隨機(jī)抽取三人，記該項(xiàng)測(cè)試分?jǐn)?shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
6．（2023春·四川成都·高三成都七中校考開(kāi)學(xué)考試）隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對(duì)飲食的要求也愈來(lái)愈高．某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r，隨機(jī)抽取了100人對(duì)該地區(qū)的餐飲情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查．請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問(wèn)題．
(1)求m，n，x，y的值；
(2)若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”，將頻率視為概率，用樣本估計(jì)總體，從該地區(qū)中隨機(jī)抽取3人，記其中“美食客”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為：90分鐘內(nèi)進(jìn)球多的球隊(duì)取勝，如果參賽雙方在90分鐘內(nèi)無(wú)法決出勝負(fù)（踢成平局），將進(jìn)行30分鐘的加時(shí)賽，若加時(shí)賽階段兩隊(duì)仍未分出勝負(fù)，則進(jìn)入“點(diǎn)球大戰(zhàn)”．點(diǎn)球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個(gè)數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前，一隊(duì)進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊(duì)勝出，譬如：第4輪結(jié)束時(shí)，雙方進(jìn)球數(shù)比2:0，則不需踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪．直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝．現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇，雙方勢(shì)均力敵，120分鐘（含加時(shí)賽）仍未分出勝負(fù)，須采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”決定勝負(fù)．設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為12，乙隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為23．每輪點(diǎn)球結(jié)果互不影響．
(1)設(shè)甲隊(duì)踢了5球，X為射進(jìn)點(diǎn)球的個(gè)數(shù)，求X的分布列與期望；
(2)若每輪點(diǎn)球都由甲隊(duì)先踢，求在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時(shí)，乙隊(duì)進(jìn)了4個(gè)球并剛好勝出的概率．
8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）近年來(lái)，我國(guó)加速推行垃圾分類制度，全國(guó)垃圾分類工作取得積極進(jìn)展．某城市推出了兩套方案，并分別在A，B兩個(gè)大型居民小區(qū)內(nèi)試行．方案一：進(jìn)行廣泛的宣傳活動(dòng)，通過(guò)設(shè)立宣傳點(diǎn)、發(fā)放宣傳單等方式，向小區(qū)居民和社會(huì)各界宣傳垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的使用方式，垃圾投放時(shí)間等，定期召開(kāi)垃圾分類會(huì)議和知識(shí)宣傳教育活動(dòng)；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設(shè)立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡(jiǎn)單，居民可以通過(guò)設(shè)備進(jìn)行自動(dòng)登錄、自動(dòng)稱重、自動(dòng)積分等一系列操作．建立垃圾分類激勵(lì)機(jī)制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參與垃圾分類的熱情，帶動(dòng)居民積極主動(dòng)地參與垃圾分類．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間試行之后，在這兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，記錄他們對(duì)試行方案的滿意度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖分別估計(jì)兩種方案滿意度的平均得分，判斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點(diǎn)值作代表）；
(2)估計(jì)A小區(qū)滿意度得分的第80百分位數(shù)；
(3)以樣本頻率估計(jì)概率，若滿意度得分不低于70分說(shuō)明居民贊成推行此方案，低于70分說(shuō)明居民不太贊成推行此方案．現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機(jī)抽取5個(gè)人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)2：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】
【知識(shí)點(diǎn)：服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量概率最大問(wèn)題】
1．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量從二項(xiàng)分布B1001,12，則（）
A．P(X=k)=C1001k121001B．P(X≤301)=P(X≥701)
C．P(X>E(X))>12D．PX=k最大時(shí)k=500或501
2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）某家畜研究機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)每頭成年牛感染H型疾病的概率p=0.3，且每頭成年牛是否感染H型疾病相互獨(dú)立．設(shè)10頭成年牛中恰有k頭感染H型疾病的概率是gk，當(dāng)k為何值時(shí)，gk有最大值？
3．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）2022年“五一”期間，為推動(dòng)消費(fèi)市場(chǎng)復(fù)蘇，補(bǔ)貼市民，深圳市各區(qū)政府發(fā)放各類消費(fèi)券，其中某區(qū)政府發(fā)放了市內(nèi)旅游消費(fèi)券，該消費(fèi)券包含A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)旅游項(xiàng)目，甲、乙、丙、丁四人每人計(jì)劃從中任選兩個(gè)不同的項(xiàng)目參加，且他們的選擇互不影響．
(1)求甲、乙、丙、丁這四個(gè)人中至少有一人選擇項(xiàng)目A的概率；
(2)記X為這四個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)如果將甲、乙、丙、丁四個(gè)人改為n個(gè)人(n>4)，其他要求相同，問(wèn)：這n個(gè)人中選擇項(xiàng)目A的人數(shù)最有可能是多少人？
4．（2023春·廣東揭陽(yáng)·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布X～N10,0.25（單位：mm）.
(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取15個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，認(rèn)為直徑在8.5,11.5之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，若樣品中有次品則可以認(rèn)定生產(chǎn)過(guò)程中存在問(wèn)題.求上述事件發(fā)生的概率，并說(shuō)明這一標(biāo)準(zhǔn)的合理性.（已知：P(μ?3σ

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