一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．
細(xì)節(jié)剖析：
判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：
①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；
②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．
3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解．
4．解方程：求方程的解的過程叫做解方程．
二、等式的性質(zhì)與去括號法則
1．等式的性質(zhì)：
等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．
等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．
2．合并法則：合并時，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．
3．去括號法則：
（1）括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同．
（2）括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反．
知識點三、一元一次方程的解法
三、解一元一次方程的一般步驟：
(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．
(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．
(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊．
(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．
(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，考點精講
一．方程的解（共3小題）
1．（2021秋?義烏市期末）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，則a的值是（ ）
A．2B．3C．7D．8
2．（2021秋?鄞州區(qū)校級月考）方程2x+a﹣4＝0的解是x＝﹣2，則a等于（ ）
A．﹣8B．0C．2D．8
3．（2021秋?鄞州區(qū)校級月考）方程2+▲＝3x，▲處被墨水蓋住了，已知方程的解是x＝2，那么▲處的數(shù)字是 ．
二．等式的性質(zhì)（共3小題）
4．（2021秋?臨海市期末）若x＝y(tǒng)，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．1﹣x＝1﹣yB．x＝﹣yC．x＝y(tǒng)D．x﹣＝y(tǒng)+
5．（2022?下城區(qū)校級二模）下列說法正確的是（ ）
A．若a＝b，則a+c＝b﹣cB．若a＝b，則ac2＝bc2
C．若＝，則a＝bD．若ac2＝bc2，則a＝b
6．（2021秋?余姚市期末）下列等式變形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y(tǒng)；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果3a＝2b，那么．其中正確的有（ ）
A．（1）（2）（4）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）
三．一元一次方程的定義（共2小題）
7．（2022秋?東陽市校級月考）關(guān)于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，則b的取值情況是（ ）
A．b≠﹣3B．b＝﹣3C．b＝﹣2D．b為任意數(shù)
8．（2021秋?諸暨市期末）若關(guān)于x的方程（k﹣3）x|k﹣2|+5k+1＝0是一元一次方程，則k＝ ．
四．一元一次方程的解（共4小題）
9．（2021秋?定海區(qū)期末）若x＝3是關(guān)于x的方程2x+a＝4的解，則a的值為（ ）
A．B．C．﹣2D．﹣10
10．（2021秋?衢江區(qū)期末）下列方程中，以x＝2為解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0B．3（x﹣1）＝9C．4x﹣1＝3xD．3x+1＝2x+3
11．（2021秋?嘉興期末）已知x＝3是關(guān)于x的方程2ax＝x+a的解，則a的值為 ．
12．（2021秋?龍泉市期末）已知關(guān)于x的方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x的解為x＝2，則a＝ ．
五．解一元一次方程（共5小題）
13．（2021秋?新昌縣期末）把方程的分母化為整數(shù)，結(jié)果應(yīng)為（ ）
A．B．
C．D．
14．（2021秋?濱江區(qū)期末）多項式mx﹣n和﹣2mx+n（m，n為實數(shù)，且m≠0）的值隨x的取值不同而不同，如表是當(dāng)x取不同值時多項式對應(yīng)的值，則關(guān)于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是 ．
15．（2021秋?錢塘區(qū)期末）解下列方程：
（1）1+2x＝7﹣x． （2）y．
16．（2021秋?龍泉市期末）解方程：
（1）5x﹣2＝3x+6． （2）＝x．
17．（2021秋?臺州期末）解方程：﹣＝1．甲、乙兩位同學(xué)的解答過程如下：
老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯誤．
（1）請你指出甲、乙兩位同學(xué)分別從哪一步開始出錯，
甲：第 步，乙：第 步（填序號）；
（2）請你寫出正確的解答過程．
六．含絕對值符號的一元一次方程（共2小題）
18．（2021秋?仙居縣校級月考）如果|x+8|＝5，那么x＝ ．
19．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）解方程：
（1）x﹣3＝﹣x﹣4； （2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2）；
（3）﹣＝1； （4）|x﹣2|＝5．
七．同解方程（共3小題）
20．（2021秋?鄞州區(qū)校級月考）若關(guān)于x的方程4m+x＝20的解與方程2x﹣3＝x+1的解相同，則m的值為 ．
21．（2020秋?沭陽縣期末）關(guān)于x的方程2x+5a＝3的解與方程2x+2＝0的解相同，則a的值是 ．
22．（2021秋?東陽市期末）已知關(guān)于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值．
（2）若已知方程與方程3x﹣2＝4﹣3x的解互為相反數(shù)，求m的值．
（3）若已知方程與關(guān)于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，求m的值．
鞏固提升
一、單選題
1．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）如果方程是關(guān)于x的一元一次方程，則n的值為（ ）
A．2B．4C．3D．1
2．（2022·浙江·七年級單元測試）下列方程中，以x＝2為解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0B．3（x﹣1）＝9C．4x﹣1＝3xD．3x+1＝2x+3
3．（2022·浙江麗水·七年級期末）學(xué)校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人，現(xiàn)調(diào)20人去支援，使在甲處植樹的人數(shù)是乙處植樹人數(shù)的2倍，設(shè)應(yīng)調(diào)往甲處x人，則可列方程為（ ）
A． B．
C．D．
4．（2022·浙江·七年級單元測試）已知下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
5．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）已知方程是關(guān)于的一元一次方程，則的值是（ ）
A．±1B．1C．3D．3或1
6．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）下列四個式子中，是方程的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·浙江·七年級單元測試）如果關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m的值為( )
A．B．2C．±2D．不存在
8．（2022·浙江麗水·七年級期末）已知2a＝b＋5，則下列等式中不一定成立的是（ ）
A．2a－5＝bB．2a＋1＝b＋6C．a(chǎn)＝D．6a＝3b＋5
9．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）下列等式變形正確的是（ ）
A．如果mx＝my，那么x＝y(tǒng)B．如果│x│＝│y│，那么x＝y(tǒng)
C．如果x＝2，那么x＝1D．如果x－2＝y(tǒng)－2，那么x＝y(tǒng)
10．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）在解關(guān)于y的方程時，小明在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·浙江衢州·七年級期末）如圖，將4張形狀、大小完全相同的小長方形紙片分別以圖1、圖2的方式放入長方形ABCD中，若圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，則圖中BE的長為（ ）
A．B．C．1D．2
12．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則關(guān)于y的一元一次方程的解為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
13．（2022·浙江·七年級單元測試）已知關(guān)于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，則m＝_____．
14．（2022·浙江·七年級單元測試）一元一次方程x+=-3x，處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x=5，那么處的常數(shù)是_______．
15．（2022·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）在3x + y = 6中，用含x的代數(shù)式表示y，則y =_________ ．
16．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）己知方程3x+m+4＝0的解為x＝m，則m＝______．
17．（2022·浙江·杭州市蕭山區(qū)新民學(xué)校七年級期中）現(xiàn)有a根長度相等的火柴棒，按圖1所示的方式擺放，可擺成m個小正方形；按如圖2所示的方式擺放，可擺成個小正方形．
（1）當(dāng)時，則_________．
（2）m=_________（用含n的代數(shù)式表示）．
18．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）已知x為有理數(shù)，且，則x的值為___．
三、解答題
19．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）解下列方程
(1) (2)
20．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）解下列方程
(1)； (2)．
21．（2022·浙江麗水·七年級期末）如圖，一個瓶子的容積為（立方厘米）且瓶子內(nèi)底面半徑為r，瓶內(nèi)裝著一些溶液．當(dāng)瓶子正放時，瓶內(nèi)溶液的高度為20厘米；倒放時，空余部分的高度為5厘米．根據(jù)愿意回答下列問題：
(1)用兩種不同的代數(shù)式表示瓶內(nèi)溶液的體積；（含r的代數(shù)式）
(2)求瓶子內(nèi)底面面積．
22．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）根據(jù)下列解方程的過程，請在前面的括號內(nèi)填寫變形步驟，在后面的括號內(nèi)
填寫變形依據(jù)．
解：原方程可變形為．（________）
去分母，得．（________）
去括號，得．（________）
（________），得．（________）
合并同類項，得．（________）
（________），得（________）
23．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）下面是小明同學(xué)解方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
任務(wù)一：填空：
(1)以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是______，這一步的依據(jù)是（填寫具體內(nèi)容）______；
(2)以上求解步驟中，第______步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是______；
(3)請直接寫出該方程正確的解為______．
任務(wù)二：
(4)請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在解方程時還需注意的事項提一條合理化建議．
24．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）關(guān)于的方程；
(1)解這個方程；
(2)請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解一元一次方程時還需要注意的事項給其他 同學(xué)提兩條建議．
25．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．如果一個方程的解都是整數(shù)，那么這個方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是關(guān)于x的方程的解，則m=_____；
(2)若關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解，則n=_______；
(3)若關(guān)于x的方程的解也是關(guān)于x的方程的解，且這兩個方程都是“立信方程”，求符合要求的正整數(shù)a和正整數(shù)k的值．
26．（2022·浙江金華·七年級階段練習(xí)）定義“*”運算，觀察下列運算：
，；
，；
，．
(1)請你認(rèn)真思考上述運算，歸納“*”運算的法則：
兩數(shù)進(jìn)行“*”運算時，同號得 ，異號得 ，并把絕對值 ；
特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“*”運算或任何數(shù)和0進(jìn)行“*”運算，都得這個數(shù)的 ．
(2)計算：．
(3)若，則a的值為 ．
27．（2022·浙江·義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)七年級期中）我們知道，若點A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)x，y，則A、B兩點間距離可表示為．下面給出如下定義：對于實數(shù)a，b，n，d，若，則稱a和b關(guān)于n的“相對關(guān)系值”為d，例如： 則2和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為3．
(1)?3和5關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為_________：
(2)若a和2關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為4，求a的值．
(3)若2和4關(guān)于x的“相對關(guān)系值”為10，求x的值．
28．（2022·浙江臺州·七年級期末）規(guī)定：若有理數(shù)a，b滿足a﹣b＝ab，則a叫做b的“差積數(shù)”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差積數(shù)”；﹣1≠×1，可知不是1的“差積數(shù)”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：
(1)填表（在表格▲處填空）：
(2)一個有理數(shù)的“差積數(shù)”等于這個數(shù)，求這個有理數(shù)；
(3)若m為正整數(shù)，記m+1，m+2，．．．m+2022，這2022個數(shù)的“差積數(shù)”的積為A，試猜想A的值（用含有m的式子表示），并給出合理的猜想過程．
第09講 一元一次方程（7大考點）
考點考向
一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．
細(xì)節(jié)剖析：
判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：
①只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；
②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．
3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解．
4．解方程：求方程的解的過程叫做解方程．
二、等式的性質(zhì)與去括號法則
1．等式的性質(zhì)：
等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．
等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．
2．合并法則：合并時，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．
3．去括號法則：
（1）括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相同．
（2）括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應(yīng)各項的符號相反．
知識點三、一元一次方程的解法
三、解一元一次方程的一般步驟：
(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．
(2)去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號，再去中括號，最后去大括號．
(3)移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊．
(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．
(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．
(6)檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．
考點精講
一．方程的解（共3小題）
1．（2021秋?義烏市期末）已知x＝5是方程ax﹣8＝20+a的解，則a的值是（ ）
A．2B．3C．7D．8
【分析】根據(jù)方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，把方程的解代入方程，可得答案．
【解答】解：把x＝5 代入方程ax﹣8＝20+a，
得：5a﹣8＝20+a，
解得：a＝7，
故選：C．
【點評】本題考查了方程的解，把方程的解代入方程，得關(guān)于a的一元一次方程，解一元一次方程，得答案．
2．（2021秋?鄞州區(qū)校級月考）方程2x+a﹣4＝0的解是x＝﹣2，則a等于（ ）
A．﹣8B．0C．2D．8
【分析】方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，即利用方程的解代替未知數(shù)，所得到的式子左右兩邊相等．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程2x+a﹣4＝0，
得到：﹣4+a﹣4＝0
解得a＝8．
故選：D．
【點評】本題主要考查了方程解的定義，已知x＝﹣2是方程的解實際就是得到了一個關(guān)于a的方程．
3．（2021秋?鄞州區(qū)校級月考）方程2+▲＝3x，▲處被墨水蓋住了，已知方程的解是x＝2，那么▲處的數(shù)字是 4 ．
【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出關(guān)于▲的方程，通過解該方程可以求得▲處的數(shù)字．
【解答】解：把x＝2代入方程，得2+▲＝6，
解得▲＝4．
故答案為：4．
【點評】此題考查的是一元一次方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
二．等式的性質(zhì)（共3小題）
4．（2021秋?臨海市期末）若x＝y(tǒng)，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．1﹣x＝1﹣yB．x＝﹣yC．x＝y(tǒng)D．x﹣＝y(tǒng)+
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)分別進(jìn)行解答，即可得出答案．
【解答】解：A、1﹣x＝1﹣y，在等式的兩邊同時乘﹣1，再兩邊同時加1，等式成立；
B、由x＝y(tǒng)，根據(jù)等式性質(zhì)不能得到x＝﹣y，故等式不一定成立；
C、由x＝y(tǒng)，根據(jù)等式性質(zhì)不能得到，故等式不一定成立；
D、由x＝y(tǒng)，根據(jù)等式性質(zhì)不能得到x﹣，等式不一定成立；
故選：A．
【點評】此題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．
5．（2022?下城區(qū)校級二模）下列說法正確的是（ ）
A．若a＝b，則a+c＝b﹣cB．若a＝b，則ac2＝bc2
C．若＝，則a＝bD．若ac2＝bc2，則a＝b
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個判斷即可．
【解答】解：A．∵a＝b，
∴a+c＝b+c，故本選項不符合題意；
B．∵a＝b，
∴ac2＝bc2，故本選項符合題意；
C．∵＝，
∴a2＝b2，
∴a＝±b，故本選項不符合題意；
D．當(dāng)c＝0時，由ac2＝bc2不能推出a＝b，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了等式的性質(zhì)，能熟記等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)（或式子），等式仍成立；等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘同一個數(shù)（或式子），等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個不等于0的數(shù)，等式仍成立．
6．（2021秋?余姚市期末）下列等式變形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y(tǒng)；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果3a＝2b，那么．其中正確的有（ ）
A．（1）（2）（4）B．（1）（2）（3）C．（1）（3）D．（2）（4）
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，絕對值的意義逐一判斷即可．
【解答】解：（1）如果ax＝ay（a≠0），那么x＝y(tǒng)，故（1）錯誤；
（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2，故（2）正確；
（3）如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故（3）錯誤；
（4）如果3a＝2b，那么，故（4）正確，
所以，上列等式變形，正確的有：（2）（4），
故選：D．
【點評】本題考查了等式的性質(zhì)，絕對值，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三．一元一次方程的定義（共2小題）
7．（2022秋?東陽市校級月考）關(guān)于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，則b的取值情況是（ ）
A．b≠﹣3B．b＝﹣3C．b＝﹣2D．b為任意數(shù)
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義（一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程是一元一次方程）解決此題．
【解答】解：由a﹣3x＝bx+2，得（3+b）x＝a﹣2．
∵關(guān)于x的方程a﹣3x＝bx+2是一元一次方程，
∴3+b≠0．
∴b≠﹣3．
故選：A．
【點評】本題主要考查一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2021秋?諸暨市期末）若關(guān)于x的方程（k﹣3）x|k﹣2|+5k+1＝0是一元一次方程，則k＝ 1 ．
【分析】根據(jù)一元一次方程的定義得到|k﹣2|＝1，k﹣3≠0，從而得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得|k﹣2|＝1，k﹣3≠0，
∴k＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查了一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)的系數(shù)不等于0是解題的關(guān)鍵．
四．一元一次方程的解（共4小題）
9．（2021秋?定海區(qū)期末）若x＝3是關(guān)于x的方程2x+a＝4的解，則a的值為（ ）
A．B．C．﹣2D．﹣10
【分析】將x＝3代入方程2x+a＝4得出關(guān)于a的方程，解之可得．
【解答】解：將x＝3代入方程2x+a＝4，得：6+a＝4，
解得：a＝﹣2，
故選：C．
【點評】本題考查了方程的解的定義，方程的解就是能使方程左右兩邊相等的值，理解定義是關(guān)鍵．
10．（2021秋?衢江區(qū)期末）下列方程中，以x＝2為解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0B．3（x﹣1）＝9C．4x﹣1＝3xD．3x+1＝2x+3
【分析】把x＝2代入方程，只要是方程的左右兩邊相等就是方程的解，否則就不是．
【解答】解：A、把x＝2代入方程得：左邊＝2×（2+2）＝8≠右邊，則不是方程的解，不符合題意；
B、把x＝2代入方程得：左邊3×（2﹣1）＝3≠右邊，則不是方程的解，不符合題意；
C、把x＝2代入方程得：左邊＝2×4﹣1＝7，右邊＝3×2＝6，左邊≠右邊，不是方程的解，不符合題意；
D、把x＝2代入方程得：左邊＝3×2+1＝7，右邊＝2×2+3＝7，左邊＝右邊，是方程的解，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了方程的解的定義，方程的解就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
11．（2021秋?嘉興期末）已知x＝3是關(guān)于x的方程2ax＝x+a的解，則a的值為 ．
【分析】將x＝3代入方程2ax＝x+a，即可求a的值．
【解答】解：∵x＝3是關(guān)于x的方程2ax＝x+a的解，
∴2a×3＝3+a，
∴a＝，
故答案為：．
【點評】本題考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解與一元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
12．（2021秋?龍泉市期末）已知關(guān)于x的方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x的解為x＝2，則a＝ 5 ．
【分析】把x＝2代入方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x得出2（a﹣1）+3＝3a﹣4，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝2代入方程（a﹣1）x+3＝3a﹣2x得：2（a﹣1）+3＝3a﹣4，
解得：a＝5，
故答案為：5．
【點評】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出關(guān)于a的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
五．解一元一次方程（共5小題）
13．（2021秋?新昌縣期末）把方程的分母化為整數(shù)，結(jié)果應(yīng)為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)分子和分母都乘10，再得出選項即可．
【解答】解：，
﹣＝2，
﹣＝2，
故選：B．
【點評】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
14．（2021秋?濱江區(qū)期末）多項式mx﹣n和﹣2mx+n（m，n為實數(shù)，且m≠0）的值隨x的取值不同而不同，如表是當(dāng)x取不同值時多項式對應(yīng)的值，則關(guān)于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是 x＝2 ．
【分析】根據(jù)表格確定出方程mx﹣n＝﹣2mx+n的解即可．
【解答】解：根據(jù)表格得：
當(dāng)x＝2時，mx﹣n＝﹣1；
當(dāng)x＝2時，﹣2mx+n＝﹣1，
則關(guān)于x的方程﹣mx+n＝2mx﹣n的解是x＝2．
故答案為：x＝2．
【點評】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．
15．（2021秋?錢塘區(qū)期末）解下列方程：
（1）1+2x＝7﹣x．
（2）y．
【分析】（1）移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可；
（2）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可．
【解答】解：（1）1+2x＝7﹣x，
2x+x＝7﹣1，
3x＝6，
x＝2；
（2）y，
2y﹣（y﹣1）＝6﹣4y，
2y﹣y+1＝6﹣4y，
2y﹣y+4y＝6﹣1，
5y＝5，
y＝1．
【點評】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
16．（2021秋?龍泉市期末）解方程：
（1）5x﹣2＝3x+6．
（2）＝x．
【分析】（1）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括號，移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【解答】解：（1）移項得：5x﹣3x＝6+2，
合并得：2x＝8，
系數(shù)化為1得：x＝4；
（2）去分母得：2x﹣5（3﹣2x）＝10x，
去括號得：2x﹣15+10x＝10x，
移項得：2x+10x﹣10x＝15，
合并得：2x＝15，
系數(shù)化為1得：x＝．
【點評】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項，合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．
17．（2021秋?臺州期末）解方程：﹣＝1．甲、乙兩位同學(xué)的解答過程如下：
老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯誤．
（1）請你指出甲、乙兩位同學(xué)分別從哪一步開始出錯，
甲：第 ① 步，乙：第 ② 步（填序號）；
（2）請你寫出正確的解答過程．
【分析】根據(jù)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．
【解答】解：甲錯在第①步，乙錯在第②步；
﹣＝1，
去分母，得2（2x+1）﹣（10x+1）＝6，
去括號，得4x+2﹣10x﹣1＝6，
移項，得4x﹣10x＝6+1﹣2，
合并同類項，得﹣6x＝5，
合并同類項，得x＝﹣．
故答案為：①，②，
【點評】本題考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵．
六．含絕對值符號的一元一次方程（共2小題）
18．（2021秋?仙居縣校級月考）如果|x+8|＝5，那么x＝ ﹣3或﹣13 ．
【分析】利用絕對值的代數(shù)意義將已知等式轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：|x+8|＝5，
得到x+8＝5或x+8＝﹣5，
解得：x＝﹣3或﹣13．
故答案為：﹣3或﹣13．
【點評】此題考查了含絕對值符號的一元一次方程，熟練掌握絕對值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵．
19．（2020秋?奉化區(qū)校級期末）解方程：
（1）x﹣3＝﹣x﹣4；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2）；
（3）﹣＝1；
（4）|x﹣2|＝5．
【分析】（1）移項、合并同類項，系數(shù)化為1即可求得；
（2）去括號，移項、合并同類項，系數(shù)化為1即可求得；
（3）去分母，去括號，移項、合并同類項，系數(shù)化為1即可求得；
（4）根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值，得到x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，解得即可．
【解答】解：（1）x﹣3＝﹣x﹣4，
x+＝﹣4+3，
x＝﹣1，
x＝﹣；
（2）6x﹣2（1﹣x）＝7x﹣3（x+2），
6x﹣2+2x＝7x﹣3x﹣6，
6x+2x﹣7x+3x＝﹣6+2，
4x＝﹣4，
x＝﹣1；
（3）﹣＝1，
﹣＝1，
2（2x﹣1）﹣（3x+1）＝6，
4x﹣2﹣3x﹣1＝6，
4x﹣3x＝6+2+1，
x＝9；
（4）|x﹣2|＝5，
x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
x＝7或x＝﹣3．
【點評】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．
七．同解方程（共3小題）
20．（2021秋?鄞州區(qū)校級月考）若關(guān)于x的方程4m+x＝20的解與方程2x﹣3＝x+1的解相同，則m的值為 4 ．
【分析】先求出方程2x﹣3＝x+1的解x＝4，x＝4也是方程4m+x＝20的解，把解代入從而求得m的值．
【解答】解：2x﹣3＝x+1，
解得x＝4，
∵方程4m+x＝20的解與方程2x﹣3＝x+1的解相同，
∴x＝4是方程4m+x＝20的解，
把x＝4代入方程4m+x＝20，
4m+4＝20，
解得m＝4．
故答案為：4．
【點評】本題考查同解方程，熟練掌握解方程的步驟以及方程的解的定義，是解題的關(guān)鍵．
21．（2020秋?沭陽縣期末）關(guān)于x的方程2x+5a＝3的解與方程2x+2＝0的解相同，則a的值是 1 ．
【分析】利用一元一次方程的解法解出方程2x+2＝0，根據(jù)同解方程的定義解答．
【解答】解：解方程2x+2＝0，
得x＝﹣1，
由題意得，﹣2+5a＝3，
解得，a＝1，
故答案為：1．
【點評】本題考查的是同解方程的定義，如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程．
22．（2021秋?東陽市期末）已知關(guān)于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值．
（2）若已知方程與方程3x﹣2＝4﹣3x的解互為相反數(shù)，求m的值．
（3）若已知方程與關(guān)于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，求m的值．
【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行計算即可；
（2）先求出方程3x﹣2＝4﹣3x的解為x＝1，然后把x＝﹣1代入原方程中進(jìn)行計算即可；
（3）求出兩個方程的解，根據(jù)同解方程的定義列出關(guān)于m的方程即可．
【解答】解：（1）由題意得：
|k|﹣3＝0且k﹣3≠0，
∴k＝±3且k≠3，
∴k＝﹣3，
∴k的值為﹣3；
（2）3x﹣2＝4﹣3x，
6x＝6，
x＝1，
∵已知方程與方程3x﹣2＝4﹣3x的解互為相反數(shù)，
∴把x＝﹣1，k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：
﹣6+2m+1＝0，
m＝，
∴m的值為：；
（3）把k＝﹣3代入（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0中可得：
6x+2m+1＝0，
∴x＝，
7﹣3x＝﹣5x+2m，
∴x＝，
∵已知方程與關(guān)于x的方程7﹣3x＝﹣5x+2m的解相同，
∴＝，
∴m＝，
∴m的值為：．
【點評】本題考查了同解方程，一元一次方程的定義，絕對值，熟練掌握一元一次方程的定義，是解題的關(guān)鍵．
鞏固提升
一、單選題
1．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）如果方程是關(guān)于x的一元一次方程，則n的值為（ ）
A．2B．4C．3D．1
【答案】B
【分析】只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0）．根據(jù)未知數(shù)的指數(shù)為1可求出n的值．
【詳解】解：由方程是關(guān)于x的一元一次方程可知x的次數(shù)是1，
故，
所以．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，特別容易忽視的一點就是系數(shù)不是0的條件．這是這類題目考查的重點．
2．（2022·浙江·七年級單元測試）下列方程中，以x＝2為解的方程是（ ）
A．2（x+2）＝0B．3（x﹣1）＝9C．4x﹣1＝3xD．3x+1＝2x+3
【答案】D
【分析】根據(jù)一元一次方程的解的定義，即可求解．
【詳解】解：A、當(dāng)x＝2時，左邊=2（2+2）＝8≠0，故本選項不符合題意；
B、當(dāng)x＝2時，左邊=3（2﹣1）＝3≠9，故本選項不符合題意；
C、當(dāng)x＝2時，左邊=4×2-1=7，右邊=3×2=6，所以左邊≠右邊，故本選項不符合題意；
D、當(dāng)x＝2時，左邊=3×2+1=7，右邊=2×2+3=7，所以左邊=右邊，故本選項符合題意；
故選：D
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解的定義，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·浙江麗水·七年級期末）學(xué)校組織植樹活動，已知在甲處植樹的有23人，在乙處植樹的有17人，現(xiàn)調(diào)20人去支援，使在甲處植樹的人數(shù)是乙處植樹人數(shù)的2倍，設(shè)應(yīng)調(diào)往甲處x人，則可列方程為（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出調(diào)往乙處人，再根據(jù)甲處植樹的人數(shù)是乙處植樹人數(shù)的2倍列出方程即可．
【詳解】解：由題意得：調(diào)往乙處人，
則可列方程為，
故選：B．
【點睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．（2022·浙江·七年級單元測試）已知下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】A
【分析】根據(jù)一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式，判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)一元一次方程定義可知：
下列方程：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0．其中一元一次方程有②⑤．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的概念，熟知定義是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）已知方程是關(guān)于的一元一次方程，則的值是（ ）
A．±1B．1C．3D．3或1
【答案】B
【分析】：根據(jù)一元一次方程的定義得 ，且 ，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得： ，且 ，
解得： 或 ，且 ，
∴ ．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，熟練掌握含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的方程叫一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）下列四個式子中，是方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫方程）進(jìn)行判斷即可．
【詳解】A.不是方程，因為不含有未知數(shù)，故A錯誤；
B.是方程，x是未知數(shù)，式子又是等式，故B正確；
C.不是方程，因為它不是等式，故C錯誤；
D.不是方程，因為它不是等式，故D錯誤．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了方程的定義，含有未知數(shù)的等式叫做方程．方程有兩個特征：（1）方程是等式；（2）方程中必須含有字母（未知數(shù)）．
7．（2022·浙江·七年級單元測試）如果關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m的值為( )
A．B．2C．±2D．不存在
【答案】B
【分析】先根據(jù)一元一次方程的定義可得，且，再利用平方根解方程即可得．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的定義、利用平方根解方程，熟練掌握一元一次方程的定義（只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程）是解題關(guān)鍵．
8．（2022·浙江麗水·七年級期末）已知2a＝b＋5，則下列等式中不一定成立的是（ ）
A．2a－5＝bB．2a＋1＝b＋6C．a(chǎn)＝D．6a＝3b＋5
【答案】D
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，逐項分析判定即可求解．
【詳解】解：A．等式兩邊同時減去5即可得到，故A正確，不符合題意；
B．等式兩邊同時加上1即可得到，故B 正確，不符合題意；
C．等式兩邊同時除以2即可得到，故C正確，不符合題意；
D．等式兩邊同時乘以3即得到，故D錯誤，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查等式的基本性質(zhì)：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式子，等號不變；等式兩邊同時乘以或除以(非0)的同一個數(shù)或式子，等號不變．
9．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）下列等式變形正確的是（ ）
A．如果mx＝my，那么x＝y(tǒng)B．如果│x│＝│y│，那么x＝y(tǒng)C．如果x＝2，那么x＝1D．如果x－2＝y(tǒng)－2，那么x＝y(tǒng)
【答案】D
【分析】直接運用等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】A．根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊要除以一個不為0的數(shù)，結(jié)果才相等，m有可能為0，所以錯誤，不符合題意；
B．如果︱x︱＝︱y︱，那么x＝±y，所以錯誤，不符合題意；
C．如果x＝2，，根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時乘以2，得到：x=4，所以錯誤，不符合題意；
D．如果x－2＝y(tǒng)－2，根據(jù)等式的性質(zhì)1，兩邊同時加上2，得到x=y，所以正確，符合題意．
故選D．
【點睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)，熟記等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式性質(zhì)1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；等式性質(zhì)2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．
10．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）在解關(guān)于y的方程時，小明在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把y=4代入方程得出，求出方程的解是a=1，把a(bǔ)=1代入方程得出，再去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可．
【詳解】解：∵在解關(guān)于y的方程時，小明在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解為y=4，
∴把y=4代入方程，得，解得：a=1，
即方程為，
去分母得，
去括號得，
移項得，
解得，
故選：A．
【點睛】本題考查一元一次方程的解和解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
11．（2022·浙江衢州·七年級期末）如圖，將4張形狀、大小完全相同的小長方形紙片分別以圖1、圖2的方式放入長方形ABCD中，若圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，則圖中BE的長為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】設(shè)小長方形的長為y，寬為x，用x、y及BE分別表示出圖1和圖2的周長，根據(jù)圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，即可求解．
【詳解】解∶如下圖，
設(shè)小長方形的長為y，寬為x，則，
圖1中陰影部分的周長為：y+2x+y+2x+y+（y-2x）+2x=4y+4x，
圖2中陰影部分的周長為：y+2x+（y+BE-2x）+y+2x+y+BE+2x=4y+4x+ 2BE，
∵圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，
∴4y+4x+ 2BE=4y+4x+1，
∴BE=，
故選：B．
【點睛】此題考查了整式的加減以及一元一次方程，正確地表示出兩圖中陰影部分的周長是解本題的關(guān)鍵．
12．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則關(guān)于y的一元一次方程的解為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】運用整體思想，得到方程中，有，即可答案．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元一次方程的解為，
∴關(guān)于y的一元一次方程中，有，
∴；
即方程的解為；
故選：D
【點睛】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．
二、填空題
13．（2022·浙江·七年級單元測試）已知關(guān)于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，則m＝_____．
【答案】6
【分析】利用一元一次方程的定義，即含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)次數(shù)為1的整式方程判斷即可．
【詳解】解：關(guān)于x的方程（m+6）x|m|﹣5+18＝0是一元一次方程，
∴m+6≠0，|m|﹣5＝1，
解得m＝6．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·浙江·七年級單元測試）一元一次方程x+=-3x，處是被墨水蓋住的常數(shù)，已知方程的解是x=5，那么處的常數(shù)是_______．
【答案】-20
【分析】把x=5代入已知方程，可以列出關(guān)于的方程，通過解該方程可以求得處的數(shù)字．
【詳解】解：把x=5代入方程，得5+=－15，
解得=-20．
故答案為：-20．
【點睛】此題考查的是一元一次方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，解題關(guān)鍵是掌握一元一次方程的解．
15．（2022·浙江工業(yè)大學(xué)附屬實驗學(xué)校七年級階段練習(xí)）在3x + y = 6中，用含x的代數(shù)式表示y，則y =_________ ．
【答案】y=6-3x
【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)：等式兩邊同時加或減去同一個代數(shù)式，等式仍然成立，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：3x + y = 6
等式兩邊同時減去3x，得y=6-3x．
故答案為：y=6-3x．
【點睛】此題考查了等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式的基本性質(zhì)．
16．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）己知方程3x+m+4＝0的解為x＝m，則m＝______．
【答案】-1
【分析】根據(jù)一元一次方程的解可直接把代入方程求解m即可．
【詳解】解：∵方程的解是，
∴，
解得：，
故答案為．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值是該方程的解．
17．（2022·浙江·杭州市蕭山區(qū)新民學(xué)校七年級期中）現(xiàn)有a根長度相等的火柴棒，按圖1所示的方式擺放，可擺成m個小正方形；按如圖2所示的方式擺放，可擺成個小正方形．
（1）當(dāng)時，則_________．
（2）m=_________（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】 142
【分析】（1）分別找到圖1和圖2的規(guī)律進(jìn)行求出m、n的值，然后代值計算即可；
（2）根據(jù)（1）所求進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）如圖1所示，擺成1個正方形，需要4根火柴，
擺成2個正方形，需要7根火柴，
擺成3個正方形，需要10根火柴，
…
∴擺成m個正方形，需要根火柴，
∴當(dāng)時，，
解得；
如圖2所示，擺成2個正方形，需要根火柴，
擺成4個正方形，需要根火柴，
擺成6個正方形，需要根火柴，
…
擺成個火柴，需要根火柴，
∴當(dāng)時，，
解得；
∴，
故答案為：142；
（2）由（1）得：，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律探索，解一元一次方程，等式的性質(zhì)，正確找到兩個圖形的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
18．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）已知x為有理數(shù)，且，則x的值為___．
【答案】0
【分析】根據(jù)得出，進(jìn)而得出，然后根據(jù)絕對值的意義分類討論，舍去不符合題意的答案即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍）或，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了絕對值的意義，解一元一次方程，讀懂題意，運用分類討論的思想解題是關(guān)鍵．
三、解答題
19．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括號，再移項合并同類項，即可求解；
（2）先去分母，再去括號，然后移項合并同類項，即可求解．
【詳解】（1）解：，
去括號得：，
移項合并同類項得：，
解得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項合并同類項得：．
【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的基本步驟，并注意移項要變號，去括號時括號前面是負(fù)號，去掉括號和負(fù)號，括號里面各項都變號是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）解下列方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)x＝5
(2)x＝5
【分析】（1）方程去括號，移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．
【詳解】（1）解：去括號得：3x?7x＋7＝3?2x?6，
移項得：3x?7x＋2x＝3?6?7，
合并得：?2x＝?10，
系數(shù)化為1得：x＝5；
（2）解：方程整理得：，
去分母得：5x?10?2x?2＝3，
移項得：5x?2x＝3＋10＋2，
合并得：3x＝15，
系數(shù)化為1得：x＝5．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
21．（2022·浙江麗水·七年級期末）如圖，一個瓶子的容積為（立方厘米）且瓶子內(nèi)底面半徑為r，瓶內(nèi)裝著一些溶液．當(dāng)瓶子正放時，瓶內(nèi)溶液的高度為20厘米；倒放時，空余部分的高度為5厘米．根據(jù)愿意回答下列問題：
(1)用兩種不同的代數(shù)式表示瓶內(nèi)溶液的體積；（含r的代數(shù)式）
(2)求瓶子內(nèi)底面面積．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）瓶內(nèi)溶液的體積＝圓柱的體積；瓶內(nèi)溶液的體積＝總的體積﹣圖中空白部分的體積；
（2）利用瓶內(nèi)溶液的體積不變列出方程，求得πr2＝40即可．
（1）
解：根據(jù)題意知，瓶內(nèi)溶液的體積＝20πr2或瓶內(nèi)溶液的體積＝1000﹣5πr2；
（2）
解：根據(jù)題意，得20πr2＝1000﹣5πr2．
解得πr2＝40．
答：瓶子內(nèi)底面積為40cm2．
【點睛】本題主要考查了方程的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握圓柱的體積公式．
22．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）根據(jù)下列解方程的過程，請在前面的括號內(nèi)填寫變形步驟，在后面的括號內(nèi)
填寫變形依據(jù)．
解：原方程可變形為．（________）
去分母，得．（________）
去括號，得．（________）
（________），得．（________）
合并同類項，得．（________）
（________），得（________）
【答案】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)2；去括號法則或乘法分配律；移項；等式的基本性質(zhì)1；合并同類項法則；系數(shù)化為1；等式的基本性質(zhì)2
【分析】根據(jù)解一元一次方程的一般步驟，去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1，進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：原方程可變形為．（分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)）
去分母，得．（等式的基本性質(zhì)2）
去括號，得．（去括號法則或乘法分配律）
（移項），得．（等式的基本性質(zhì)1）
合并同類項，得．（合并同類項法則）
（系數(shù)化為1），得（等式的基本性質(zhì)2），
故答案為：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)2；去括號法則或乘法分配律；移項；等式的基本性質(zhì)1；合并同類項法則；系數(shù)化為1；等式的基本性質(zhì)2．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步驟以及等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）下面是小明同學(xué)解方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
任務(wù)一：填空：
(1)以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是______，這一步的依據(jù)是（填寫具體內(nèi)容）______；
(2)以上求解步驟中，第______步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是______；
(3)請直接寫出該方程正確的解為______．
任務(wù)二：
(4)請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在解方程時還需注意的事項提一條合理化建議．
【答案】(1)去分母，等式兩邊同乘（除）以一個不為0的數(shù)或式時，等式仍成立
(2)三，移項要變號
(3)
(4)答案不唯一，如：去分母時不要漏乘不含分母的項
【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的解法步驟可進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)題中所給步驟可進(jìn)行求解；
（3）按照一元一次方程的解法進(jìn)行求解即可；
（4）由題意可直接進(jìn)行求解．
【詳解】（1）以上求解步驟中，第一步進(jìn)行的是去分母，這一步的依據(jù)是等式兩邊同乘（除）以一個不為0的數(shù)或式時，等式仍成立；
故答案為去分母，等式兩邊同乘（除）以一個不為0的數(shù)或式時，等式仍成立；
（2）以上求解步驟中，第三步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是移項要變號；
故答案為三，移項要變號；
（3）解：去分母得：，
去括號得：，
移項，得，
合并同類項，得，
系數(shù)化為1得：；
故答案為；
（4）答：根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，在解方程時還需注意的事項有去分母時不要漏乘不含分母的項（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
24．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）關(guān)于的方程；
(1)解這個方程；
(2)請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就解一元一次方程時還需要注意的事項給其他 同學(xué)提兩條建議．
【答案】(1)x=2
(2)見解析
【分析】（1）先去分母，然后移項、合并同類項，最后化未知數(shù)系數(shù)為1；
（2）合理建議即可．
【詳解】（1）解：，
去分母，得4（2x-1）=12-3（x+2），
去括號，得8x-4=12-3x+6，
移項，得8x+3x=4+12+6，
合并同類項得12x=24，
系數(shù)化1，得x=2；
（2）建議：1、去分母時不要漏乘整數(shù)項；
2、去括號時注意符號問題．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，以及等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
25．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．如果一個方程的解都是整數(shù)，那么這個方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是關(guān)于x的方程的解，則m=_____；
(2)若關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解，則n=_______；
(3)若關(guān)于x的方程的解也是關(guān)于x的方程的解，且這兩個方程都是“立信方程”，求符合要求的正整數(shù)a和正整數(shù)k的值．
【答案】(1)1
(2)5
(3)，
【分析】（1）根據(jù)“立信方程”的定義解答即可；
（2）根據(jù)，可得，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值為整數(shù)，可得為整數(shù)，從而得到a的值，進(jìn)而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k為正整數(shù)，即可求解．
【詳解】（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入，得：
，即1+2m=3，
解得：m=1．
故答案為：1．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴，解得：n=5．
故答案為：5．
（3）解：∵a為正整數(shù)，則a≠0，
∵，
∴，
∵該方程為“立信方程”，
∴x的值為整數(shù)，
∴為整數(shù)，
∴a可取1，4，2，，，，
∴x=，16，，，38，7，
同理，
∴，根據(jù)題意得：，
∴，
∴可取8，，10，26，
∴此時x=17，1，，，
∴兩方程相同的解為，
此時對應(yīng)的a=2，k=26，
∴符合要求的正整數(shù)a的值為2，k的值為26．
【點睛】本題考查了一元一次方程的解的應(yīng)用，能理解立信方程的意義是解此題的關(guān)鍵．
26．（2022·浙江金華·七年級階段練習(xí)）定義“*”運算，觀察下列運算：
，；
，；
，．
(1)請你認(rèn)真思考上述運算，歸納“*”運算的法則：
兩數(shù)進(jìn)行“*”運算時，同號得 ，異號得 ，并把絕對值 ；
特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“*”運算或任何數(shù)和0進(jìn)行“*”運算，都得這個數(shù)的 ．
(2)計算：．
(3)若，則a的值為 ．
【答案】(1)正，負(fù)，相加，相反數(shù)
(2)
(3)5或
【分析】（1）觀察題中規(guī)定的運算及運算式子，歸納后即可得到答案；
（2）按照規(guī)定的運算法則進(jìn)行計算即可，但要先算括號里的；
（3）顯然，分為正數(shù)與負(fù)數(shù)討論，按規(guī)定的運算得到方程，解方程即可．
【詳解】（1）由運算得：兩數(shù)進(jìn)行“*”運算時，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相加；
特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行“*”運算或任何數(shù)和0進(jìn)行“*”運算，都得這個數(shù)的相反數(shù)．
故答案分別為：正，負(fù)，相加，相反數(shù)
（2）原式．
（3）顯然，
當(dāng)時，，
∴，
解得a＝5，
當(dāng)時，，
∴，
∴a＝－1，
綜上所述，a的值是5或－1．
故答案為：5或－1．
【點睛】本題是新定義運算問題，考查了有理數(shù)的運算，解一元一次方程，觀察歸納出運算法則是關(guān)鍵．
27．（2022·浙江·義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)七年級期中）我們知道，若點A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)x，y，則A、B兩點間距離可表示為．下面給出如下定義：對于實數(shù)a，b，n，d，若，則稱a和b關(guān)于n的“相對關(guān)系值”為d，例如： 則2和3關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為3．
(1)?3和5關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為_________：
(2)若a和2關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為4，求a的值．
(3)若2和4關(guān)于x的“相對關(guān)系值”為10，求x的值．
【答案】(1)8；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根據(jù)a和b關(guān)于n的“相對關(guān)系值”的定義，呆代入求值即可；
（2）由題意得，進(jìn)而即可求解；
（3）由題意得，再分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴?3和5關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為：8，
故答案為8；
（2）解：∵a和2關(guān)于1的“相對關(guān)系值”為4，
∴，即：，
∴或；
（3）解：∵2和4關(guān)于x的“相對關(guān)系值”為10，
∴，
當(dāng)時，，解得：；
當(dāng)時，，解得：，
∴或．
【點睛】本題主要考查絕對值的意義，絕對值化簡，解一元一次方程，關(guān)鍵是掌握絕對值的性質(zhì)，分類討論．
28．（2022·浙江臺州·七年級期末）規(guī)定：若有理數(shù)a，b滿足a﹣b＝ab，則a叫做b的“差積數(shù)”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差積數(shù)”；﹣1≠×1，可知不是1的“差積數(shù)”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：
(1)填表（在表格▲處填空）：
(2)一個有理數(shù)的“差積數(shù)”等于這個數(shù)，求這個有理數(shù)；
(3)若m為正整數(shù)，記m+1，m+2，．．．m+2022，這2022個數(shù)的“差積數(shù)”的積為A，試猜想A的值（用含有m的式子表示），并給出合理的猜想過程．
【答案】(1)；2
(2)這個有理數(shù)為0
(3)A=，過程見解析
【分析】（1）根據(jù)各自的“差積數(shù)”列方程計算即可；
（2）設(shè)這個有理數(shù)為y，根據(jù)“差積數(shù)”的定義列方程求解即可；
（3）先求出前幾項對應(yīng)的“差積數(shù)”，觀察變化規(guī)律得出結(jié)論，然后代值求解即可．
(1)
解：設(shè)3的“差積數(shù)”為a，b的“差積數(shù)”為－2，
由題意得：a－3=3a，－2－b=－2b，
解得：a=，b=2，
故答案為：；2；
(2)
解：設(shè)這個有理數(shù)為y，根據(jù)題意，得：y-y=y2，
解得：y=0，
答：這個有理數(shù)為0；
(3)
解：設(shè)m+1的“差積數(shù)”為n，則n－（m+1）=n（m+1），
解得：，
∴m+1的“差積數(shù)”為，
設(shè)m+2的“差積數(shù)”為t，則t－（m+2）=t（m+2），
解得：，
∴m+2的“差積數(shù)”為，
同理，m+3的“差積數(shù)”為，
……，
m+2022的“差積數(shù)”為，
∴A=（）×（）×（）×…×（）=．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、數(shù)字類規(guī)律探究，理解“差積數(shù)”定義，正確列出方程，找到變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵．
x
1
2
3
4
mx﹣n
﹣2
﹣1
0
1
﹣2mx+n
1
﹣1
﹣3
﹣5
甲同學(xué)：
解：×6﹣×6＝1…第①步
2（2x+1）﹣10x+1＝1…第②步
4x+2﹣10x+1＝1…第③步
4x﹣10x＝1﹣2﹣1…第④步
﹣6x＝﹣2…第⑤步
x＝…第⑥步
乙同學(xué)：
解：﹣＝1…第①步
＝1…第②步
＝1…第③步
﹣6x+3＝6…第④步
﹣6x＝3…第⑤步
x＝﹣…第⑥步
解方程：
解：______，得． 第一步
去括號：得． 第二步
移項，得， 第三部
合并同類項，得． 第四步
方程兩邊同除以，得． 第五步
有理數(shù)x
3
4
5
▲
x的“差積數(shù)”
▲
﹣2
x
1
2
3
4
mx﹣n
﹣2
﹣1
0
1
﹣2mx+n
1
﹣1
﹣3
﹣5
甲同學(xué)：
解：×6﹣×6＝1…第①步
2（2x+1）﹣10x+1＝1…第②步
4x+2﹣10x+1＝1…第③步
4x﹣10x＝1﹣2﹣1…第④步
﹣6x＝﹣2…第⑤步
x＝…第⑥步
乙同學(xué)：
解：﹣＝1…第①步
＝1…第②步
＝1…第③步
﹣6x+3＝6…第④步
﹣6x＝3…第⑤步
x＝﹣…第⑥步
解方程：
解：______，得． 第一步
去括號：得． 第二步
移項，得， 第三部
合并同類項，得． 第四步
方程兩邊同除以，得． 第五步
有理數(shù)x
3
4
5
▲
x的“差積數(shù)”
▲
﹣2

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浙教版七年級上冊2.7 近似數(shù)同步測試題

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浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊期末專題復(fù)習(xí) 第12講圖形的初步認(rèn)識（二）（13大考點）（原卷版+解析版）

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浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊期末專題復(fù)習(xí) 第11講 圖形的初步認(rèn)識（一）（7大考點）（原卷版+解析版）

浙教版七年級數(shù)學(xué)上冊期末專題復(fù)習(xí) 第11講 圖形的初步認(rèn)識（一）（7大考點）（原卷版+解析版）
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初中數(shù)學(xué)浙教版七年級上冊電子課本 舊教材

5.1 一元一次方程

版本： 浙教版

年級： 七年級上冊

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