一、選擇題
1．復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2．若a，且，則的最小值為( )
A.2B.C.D.4
3．圓臺的上下底面半徑分別為1和4，軸截面的兩條對角線互相垂直，則這個圓臺的體積是( )
A.B.C.D.
4．下列選項中，p是q的充要條件的是( )
A.p：或，q：兩條直線與平行
B.p：直線與曲線有兩個不同交點，
C.在圓外部，
D.p：直線與圓相離，
5．，，則( )
A.-2B.-1C.1D.2
6．函數(shù)，若在上有且只有四個零點，則實數(shù)的取值范圍為( )
A.B.C.D.
7．已知圓，圓.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得，則a的取值范圍( )
A.B.
C.D.
8．直線是曲線和的公切線，則( )
A.B.0C.0或D.
二、多項選擇題
9．已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列命題中，正確的命題是( )
A.若，則為等腰三角形
B.若，則
C.若，，則面積最大值為3
D.，角B的平分線BD交AC邊于D，且，則的最小值為12
10．已知橢圓的左右兩個焦點分別為、，左右兩個頂點分別為、，P點是橢圓上任意一點（與，不重合），，則下列命題中，正確的命題是( )
A.B.的最大面積為
C.存在點P，使得D.的周長最大值是
11．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，M，分別為棱BD，，的中點，N點在線段上運動，則下列說法正確的是( )
A.平面
B.三棱錐的體積不是定值
C.三棱錐的外接球的表面積是
D.當(dāng)直線和所成角最小時，線段長為
三、填空題
12．已知橢圓和橢圓的離心率分別為和，若，則____________.
13．如圖，在五棱錐中，底面ABCDE，，，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為____________.
14．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)a的最大值為____________.
四、解答題
15．已知函數(shù)，中的三個內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，.
(1)求角B的大小；
(2)若為銳角三角形，，求周長的取值范圍
16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，，E，F(xiàn)分別是SC，BD的中點
(1)求證：平面SAB；
(2)求三棱錐的體積；
(3)求直線AD與平面BED所成角的正弦值
17．已知函數(shù)，恒有.
(1)求實數(shù)a的值；
(2)證明：對任意的m，，有.
18．已知橢圓C的兩個焦點，，過點且與坐標軸不平行的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，的周長等于16.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若過點的直線與橢圓C交于兩點A，B，設(shè)直線，的斜率分別為，.
(i)求證：為定值；
(ii)求面積的最大值
19．新定義：在平面直角坐標系中，將函數(shù)的圖像繞坐標原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是一個函數(shù)圖像，即對于，直線與函數(shù)的圖像至多有一個交點，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”并說明理由；
(2)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”并說明理由；
(3)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值
參考答案
1．答案：D
解析：復(fù)數(shù)，
所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標，在第四象限
故選：D.
2．答案：B
解析：因為，
則，
當(dāng)，即，聯(lián)立，
得，時等號成立
所以的最小值為.
故選：B
3．答案：C
解析：如圖，圓臺的軸截面為，
上下底面圓的圓心分別為，
設(shè)與相交于點O，因為為等腰梯形，且，
，，
則圓臺的高，
所以這個圓臺的體積為.
故選：C.
4．答案：B
解析：對于A，若兩條直線與平行，
所以，解得或-2，
但是當(dāng)時，兩直線重合，
所以，則p是q的必要不充分條件，故A錯誤；
對于B，，
可得，，
所以，
表示圓心為，半徑的圓的上半部分，如圖所示：
直線恒過點，
一般式為，
因為直線與曲線有兩個不同的交點，
所以圓心到直線的距離小于半徑，
即，解得，
當(dāng)時，左邊圓上的端點為，此時斜率為，
所以，
所以p是q的充要條件，故B正確；
對于C，圓
半徑，
即，所以，
因為在圓外部，
所以，解得，
綜上，所以p是q的充分不必要條件，故C錯誤；
對于D，圓化為標準式為：，
圓心為，半徑為，
若直線與圓相離，
則圓心到直線的距離為，
兩邊平方化簡得，
綜上，
所以p是q的充分不必要條件，故D錯誤；
故選：B.
5．答案：C
解析：因為，，
所以，
解得，，
所以，
所以，
故選：C.
6．答案：A
解析：令，得.
由于，所以.
又因為在上有且只有四個零點，
所以，
解得.
故選：A.
7．答案：D
解析：
如圖，圓O的半徑為1，圓M上存在點P，
過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，
使得，
則，在中，，
又圓M的半徑等于1，圓心坐標，
，，
，
由，
解得：，
則a的取值范圍為.
故選：D.
8．答案：C
解析：對于，設(shè)切點為，求導(dǎo)得，
則在該點處的斜率為，
則切線方程為：，
即，
對于，設(shè)切點為，求導(dǎo)得，
則在該點處的斜率為，
則切線方程為：，
即，
因為是公切線，
所以，
即，
所以，
即，所以
即或，解得或，
當(dāng)時，此時，，所以
當(dāng)時，此時，，所以，
所以或，
故選：C.
9．答案：BCD
解析：對于A：若，
根據(jù)正弦定理
則，
即，因為，
所以或
即或，
所以為等腰三角形或直角三角形，A錯誤；
對B，因為，則，，
則根據(jù)正弦定理有，故B正確；
對C，設(shè)，
.
則，
，
所以
，
當(dāng)，時，
三角形的面積取得最大值，故C正確；
對D，由題意可知，，
由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，
化簡得，即，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號
即的最小值為12，則D正確
故選：BCD.
10．答案：ABD
解析：對A，由題知，，，
則，，，
設(shè)，，
則，A正確；
對B，易知當(dāng)點P為短軸端點時，的面積最大，
最大值為，B正確；
對C，，
則，C錯誤；
對D，由橢圓定義可知，，
所以，
又，
所以，
當(dāng)M，，P三點共線，且在線段上時，等號成立，D正確
故選：ABD
11．答案：ACD
解析：
對于A，取中點G，連接，
由于E分別為棱BD的中點，
所以有，且，
又因為，且，
所以，且，
則四邊形是平行四邊形，
即，又因為平面，
平面，
所以平面，故A正確；
對于B，由于，平面，平面，
所以平面，而N點在線段上運動，、
則點N到平面的距離不變，而M為的中點，
所以三角形的面積是定值，
即三棱錐的體積是定值，故B錯誤；
對于C，由直角三角形的外接圓心是點E，
再取的中點為G，
則平面，即三棱錐的外接球的球心O在上，
所以設(shè)，由棱長為2的正方體可知，
，，又因為，
所以，
解得：，
即三棱錐的外接球的表面積為，故C正確；
對于D，建立如圖以A為原點的空間直角坐標系，
可知：，，
設(shè)點N的坐標為，
則，
所以有
令，則，因為，
所以，即
則上式
二次函數(shù)在遞減，在遞增，
所以在有最小值，即，
故上式有最大值，
即，
此時線和所成角最小，所以此時，
則，故D正確；
故選：ACD.
12．答案：8或.
解析：設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，
則，，，
所以橢圓的離心率，又，
所以，
設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，
則，所以，
所以，
當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，，所以，
當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，，所以，
所以或.
故答案為：8或.
13．答案：
解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，，
所以，，，
則，，
假設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，則，，所以，
假設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，則，，
所以，
假設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
故答案為：
14．答案：
解析：設(shè)，則其定義域為R，
且，
故為奇函數(shù)
而，
且僅在時，所以為增函數(shù)
同時，不等式
可化為，
即.
而是奇函數(shù)，故原不等式又等價于，
再根據(jù)是增函數(shù)，
知這等價于.
當(dāng)時，這可化為，
故條件即為對任意成立
①一方面，在條件中取，即可得到，
從而一定有；
②另一方面，當(dāng)時，我們證明對任意的，
都有.
首先，代入，然后兩邊同乘正數(shù)x，
可知該不等式等價于.
設(shè)，則，
故對有，對有.
從而在上遞減，在上遞增，
所以對均有.
這就意味著，
所以
從而由
即可得到.
這就證明了不等式對恒成立，
從而原條件一定滿足
綜合①②兩方面，可知a的最大值為.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)
，
由，則，
則，
即，
又，故；
(2)由正弦定理
可得，
，
則
，
由為銳角三角形，，
則有，
解得，
則，由在上單調(diào)遞增，
故，
，
，，
故，
故，
即周長的取值范圍為.
16．答案：(1)證明見詳解
(2)
(3)
解析：(1)連接，
因為ABCD是菱形，F(xiàn)是BD的中點，可知F是的中點，
且E是SC的中點，則，
又因為平面SAB，平面SAB，
所以平面SAB.
(2)取的中點M，連接，
因為，則，
又因為，，，平面，
所以平面，且平面，可知，
且點M為的中點，則，
結(jié)合題意可知：，
又因為，在中，
可得，
且，可知，
由平面，平面，
可知平面平面，
且平面平面，
過點S作平面的垂線，垂足為N，
由面面垂直的性質(zhì)可知，
則，，
所以三棱錐的體積.
(3)以M為坐標原點，，分別為x，y軸，
平行于的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，
，，
可得，，
設(shè)平面BED的法向量為，
則，
令，則，
可得，
則，
所以直線AD與平面BED所成角的正弦值為.
17．答案：(1)1
(2)證明見解析
解析：(1)由可得，
當(dāng)時，因為，
所以，即，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，不滿足恒成立，
當(dāng)時，令，即，解得，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以在處取得最小值，，
因為恒成立，
所以，
令，
則，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
所以在處取得最大值，
所以得解為.
(2)由(1)可知，
則，，
，
要證，
即證，
化簡右邊可得，
則只需證，
進一步化簡得，
化簡可得，
因為m，，
所以，
則成立
18．答案：(1)
(2)(i)證明見解析
(ii)面積的最大值為.
解析：(1)由題意可得橢圓焦點在x軸上，
且，
所以橢圓的方程為.
(2)(i)證明：由題意可知直線斜率存在，
當(dāng)直線斜率為0時，顯然，所以；
當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，
則，
設(shè)，
則，
所以，
因為，
所以.
綜上，為定值0.
(ii)由(i)可得，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)
即時等號成立，
所以面積的最大值為.
19．答案：(1)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，理由見詳解
(2)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，理由見詳解
(3)
解析：(1)函數(shù)不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，理由如下：
如果是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，
即和最多一個交點，
顯然，當(dāng)時，兩條直線重合，
有無數(shù)個交點，與“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義矛盾，
所以：不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
(2)由題意可知，
與函數(shù)的圖像最多1個交點才能是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.
設(shè),
.
由得,由得,
即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增
其中，，
當(dāng)時,和有兩個交點，
所以不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”
(3)由題意,與最多一個交點,
其中，
即與圖像最多一個交點，
所以在上是單調(diào)函數(shù)，
，
，
因為，所以，
所以在上恒成立,
,所以，
即
解得,即的最大值為.
由于，
則在上不可能恒成立，
此時在上不是單調(diào)函數(shù)，
則不是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，不滿足題意
綜上：的最大值為.

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