考試時間：120分鐘 總分：150分
一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 復數(shù)為虛數(shù)單位模為（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】應用復數(shù)除法化簡復數(shù)，即可得模.
【詳解】，故模為.
故選：C
2. 已知向量，且兩向量夾角為，則（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用數(shù)量積的定義即可得到答案.
【詳解】，
故選：A.
3. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩角差的正弦公式即可求解.
【詳解】，
故選：B.
4. 已知三角形的三邊長分別為則最大的角為多少（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由邊角關(guān)系知邊長為對應角最大，應用余弦定理求其大小.
【詳解】由大邊對大角知：邊長為對應角最大，，
所以.
故選：C
5. 設復數(shù)，則（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則直接計算得到答案.
【詳解】，則.
故選：A
6. 在中，若，則（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理得，根據(jù)邊角關(guān)系求目標式的值即可.
【詳解】由題設，
所以.
故選：D
7. 若，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解方程得到，根據(jù)二倍角公式得到，再次利用二倍角公式計算得到答案.
【詳解】，解得，或（舍），
故，，解得或，
，故，，故，同理，
，解得或（舍）.
故選：B
8. 在中，在上，且平分且.若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由角平分線性質(zhì)知，應用余弦定理、勾股定理知、，結(jié)合已知有即可得結(jié)果.
【詳解】由題設，而，

所以，則，，故，
又平分，則，故.
故選：C
二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下列選項中哪些是正確（ ）
A.
B. 的最大值為1
C.
D. 復數(shù)可能為純虛數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】由向量加法法則判斷A；輔助角公式化簡，結(jié)合正弦型函數(shù)確定最值判斷B；應用二倍角正弦公式化簡求值判斷C；由純虛數(shù)定義列方程組求參數(shù)即可判斷D.
【詳解】A：，正確；
B：，故最大值為，錯誤；
C：，正確；
D：若為純虛數(shù)，則，顯然無解，錯誤.
故選：AC
10. 下列選項中哪些是正確的（ ）
A. 當時，向量的夾角為銳角
B.
C. 在中，若，則此三角形為直角三角形
D. （為虛數(shù)單位）
【答案】ACD
【解析】
【分析】A應用向量夾角坐標表示列不等式求參數(shù)范圍；B二倍角余弦公式求值即可；C應用正弦邊角關(guān)系，三角形內(nèi)角性質(zhì)、三角恒等變換化簡求得；D根據(jù)復數(shù)乘方及求化簡左側(cè)并求值.
【詳解】A：由，
若為銳角，則，即，正確；
B：，錯誤；
C：由，即，
所以，而，故，且，即，正確；
D：由，又，
則，正確.
故選：ACD
11. 下列選項中哪些是正確的（ ）
A. 在任意三角形中恒成立
B. 在中，角所對的邊長分別為，若，則，反之也成立.
C. 已知向量，則在上的投影向量為
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】A應用三角恒等變換化簡證恒成立，注意均不能為直角；B由判斷；C根據(jù)投影向量的定義求在上的投影向量；D應用和角正弦公式化簡分子即可.
【詳解】A：由
，
顯然，均不能為直角，對斜三角形成立，錯誤；
B：由正弦定理知，故，則，反之也成立，正確；
C：在上的投影向量為，正確；
D：由，
所以，錯誤.
故選：BC
12. 已知為坐標原點，點，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的運算法則結(jié)合和差公式計算得到ACD正確，舉反例得到B錯誤，得到答案.
【詳解】對選項A：，，正確；
對選項B：取，，則，，，，錯誤；
對選項C：，
，正確；
對選項D：，
，正確.
故選：ACD
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.其中第16題共有2空，第一個空2分，第二個空3分；其余題均為一空，每空5分.請把答案填寫在答題卡相應位置上）
13. 復數(shù)的共軛復數(shù)為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由共軛復數(shù)的定義確定已知復數(shù)的共軛復數(shù).
【詳解】由共軛復數(shù)的定義知：的共軛復數(shù)為.
故答案為：
14. 在中，若，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用余弦定理計算得到答案.
【詳解】，，故.
故答案為：
15. 已知等腰中，底邊長為2，腰長為為所在平面內(nèi)一點，則的最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】若為的中點，構(gòu)建如下直角坐標系，令，，由并應用數(shù)量積的坐標表示求最小值即可.
【詳解】若為的中點，構(gòu)建如下直角坐標系，令，，如下圖示，
由，則，
而，則，
所以，當時，的最小值為.
故答案為：
16. 中，已知，則__________，若將前面的條件中的改為，則__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】計算，，再利用和差公式計算得到答案；排除情況，計算，再根據(jù)計算得到答案.
【詳解】，故，，
；
，則或，
，，
若，故，，故，
此時，不成立，排除，故，
；
，故
故答案為：；
四?解答題：本大題共6小題，共計70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
17 已知復數(shù)
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）法1：設，利用復數(shù)乘法及復數(shù)相等列方程求參數(shù)即可；法2：應用復數(shù)除法求；
（2）利用復數(shù)除法化簡即可.
【小問1詳解】
法1：設，，
所以，則，故；
法2：；
【小問2詳解】
由（1）知：
18. 已知點求
（1）的模；
（2）的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得到的坐標，進而得到的坐標求解；
（2）利用夾角公式求得，進而得到，然后利用三角形面積公式求解.
【小問1詳解】
解：因為，
所以，
所以
.
【小問2詳解】
因為，
所以，
，
所以，
.
19. 已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩角和的正切公式求出，然后根據(jù)兩角的取值范圍即可求解；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到，然后結(jié)合（1）的結(jié)論和兩角和的正弦公式即可求解.
【小問1詳解】
，
，，.
【小問2詳解】
由，
求得，
.
20. 在①，②三角形面積為2③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.
問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，__________？
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理化簡得到，，若選擇①②得到，若選擇③，計算得到，矛盾，得到答案.
【詳解】由可得：，則，故，
若選擇條件①：，
則三角形存在且；
若選擇條件②：
為等腰直角三角形，，，
所以，且此時三角形存在；
若選擇條件③：，則，由得，矛盾，
所以三角形不存在.
21. 已知在銳角中，定義向量且
（1）求角B；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量平行的充要條件和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，進而求解即可；
（2）結(jié)合（1）知，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.
【小問1詳解】
由得，
，，
【小問2詳解】
由（1）知，
，
，，
，
22. 現(xiàn)某公園內(nèi)有一個半徑為米扇形空地，且，公園管理部門為了優(yōu)化公園功能，決定在此空地上建一個矩形的老年活動場所，如下圖所示有兩種情況可供選擇.
（1）若選擇圖一，設，請用表示矩形的面積，并求面積最大值
（2）如果選擇圖二，求矩形的面積最大值，并說明選擇哪種方案更優(yōu)（面積最大）（參考數(shù)據(jù)，）
【答案】（1），矩形面積的最大值為
（2）矩形面積的最大值為，第一種方案更優(yōu).
【解析】
【分析】（1）計算出、關(guān)于的表達式，利用三角恒等變換可得出矩形面積的表達式，利用正弦型函數(shù)的有界性可求得矩形面積的最大值；
（2）取中點，連接，設，設，其中，計算出、關(guān)于的表達式，利用三角恒等變換可得出矩形面積的表達式，利用正弦型函數(shù)的有界性可求得矩形面積的最大值，與方案一中矩形的面積比較大小，可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：由題得，則，
則，
所以，，
所以矩形面積為
，
因為，則，故當時，即當時，
矩形的面積取最大值，且最大值為.
【小問2詳解】
解：取中點，連接，設，如下圖所示：
設，其中，由圓的幾何性質(zhì)可知，
，，
因為四邊形為矩形，則且，
因為，則，且，所以，四邊形為矩形，
所以，，即為的中點，
又因為，則，所以，，
所以，，
所以，，
所以，，
則矩形的面積為
，其中，
因為，則，
所以當，即時取最大值，矩形的面積取最大值，且最大值為
，
，則，所以第一種方案更優(yōu).

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