2021-2022學(xué)年江蘇省淮安市高中校協(xié)作體高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知空間向量 ，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義即可得出正確的答案.【詳解】根據(jù)空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法知，空間中點(diǎn)在坐標(biāo)平面上的投影坐標(biāo)，縱坐標(biāo)為0，橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)不變．所以空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是：，故選：D.2．已知向量，分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若，則l與α所成的角為（       ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】由知直線l和平面α的法向量所夾銳角為60°，根據(jù)直線l和平面α的位置關(guān)系，即可得出答案.【詳解】由已知得直線l和平面α的法向量所夾銳角為60°，因此l與α所成的角為30°.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查線面角.屬于基礎(chǔ)題.找到向量，的夾角與l與α所成角的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.3．已知兩平面的法向量分別為，則兩平面所成的二面角為（       ）A．45° B．135°C．45°或135° D．90°【答案】C【分析】直接利用空間向量的夾角公式，求解二面角的大小即可．【詳解】，即.∴兩平面所成二面角為或.故選：C.4．展開式中的系數(shù)為（       ）A．10 B．24 C．32 D．56【答案】D【解析】先將式子化成，再分別求兩項(xiàng)各自的的系數(shù)，再相加，即可得答案.【詳解】∵，∴展開式中含的項(xiàng)為，展開式中含的項(xiàng)，故的系數(shù)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.5．某班級(jí)從A，B，C，D，E，F六名學(xué)生中選四人參加4×100 m接力比賽，其中第一棒只能在A，B中選一人，第四棒只能在A，C中選一人，則不同的選派方法共有（       ）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】B【分析】分第一棒選A或選B，兩類求解.【詳解】解：當(dāng)?shù)谝话暨xA時(shí)，第四棒只能選C，則有種選派方法；當(dāng)?shù)谝话暨xB時(shí)，則有種選派方法.由分類計(jì)數(shù)原理得，共有 種選派方法.故選：B6．如圖所示，某地有南北街道6條、東西街道5條，一快遞員從地出發(fā)，送貨到地，且途經(jīng)地，要求所走路程最短，共有（       ）種不同的走法．A．100 B．80 C．60 D．40【答案】D【分析】考慮小矩形的橫邊和直邊，例如從到的最短距離就是從2個(gè)橫邊加3個(gè)直邊共5條線段，不同的方法就是什么時(shí)候走直邊什么時(shí)候走橫邊，由組合知識(shí)可得不同的方法數(shù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得．【詳解】分兩步，第一步從到的最短距離的走法有，第二步從到的最短距離走法有，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，總方法數(shù)為．故選：D．7．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用點(diǎn)到面的距離的向量求法求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)槠矫?/span>的法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查利用向量求點(diǎn)到面的距離，屬于基礎(chǔ)題8．中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究，設(shè)為整數(shù)，若和被m除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模m同余，記為.如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為，若，，則的值可以是（       ）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)為，展開可得到被10除余9，由此可得答案.【詳解】,所以被10除余9，2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，故選：A. 二、多選題9．下列選項(xiàng)正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】A．根據(jù)排列和組合數(shù)公式，可知A顯然成立；B.， ，所以，故B不成立；C.，故C成立；D.，故D成立.故選：ACD10．如圖所示，在正方體中，下列結(jié)論正確的是（       ）A．//平面B．C．向量與的夾角為60°D．平面.【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法依次判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】解　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則有A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(1，1，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)，對(duì)于選項(xiàng)A，由＝可得，平面，平面，所以平面，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由·可得，B正確； 對(duì)于選項(xiàng)C，由＝＝，故向量與的夾角為，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由·，·，所以，，，平面，所以平面，D正確；故選：ABD.11．關(guān)于的說法，正確的是（       ）A．展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2048B．展開式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C．展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)最大【答案】AC【解析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析可知正確，不正確，正確，根據(jù)項(xiàng)的系數(shù)的符號(hào)可知不正確.【詳解】的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所以正確；因?yàn)?/span>為奇數(shù)，所以展開式中有項(xiàng)，中間兩項(xiàng)（第6項(xiàng)和第7項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，所以不正確，正確；展開式中第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，不是最大值，所以不正確.故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，考查了二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.12．某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到A，B，C三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護(hù)排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．所有不同分派方案共種【答案】ABC【分析】選項(xiàng)A，B，C均可用分類加法計(jì)數(shù)原理求解；選項(xiàng)D可用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】選項(xiàng)A：若C企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則有以下兩種情況：①派1名醫(yī)生去C企業(yè)，剩余3名醫(yī)生派到企業(yè)A或企業(yè)B中，有種；②4名醫(yī)生全部派到企業(yè)A或企業(yè)B中，有種.故共有種不同分派方案，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則有以下三種情況：①派2名醫(yī)生去A企業(yè)，剩余2名醫(yī)生一人去B企業(yè)，一人去C企業(yè)，有種；②派2名醫(yī)生去B企業(yè)，剩余2名醫(yī)生一人去A企業(yè)，一人去C企業(yè)，有種；③派2名醫(yī)生去C企業(yè)，剩余2名醫(yī)生一人去A企業(yè)，一人去B企業(yè)，有種.故共有種不同分派方案，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到A企業(yè)，則有以下三種情況：①派醫(yī)生甲去A企業(yè)，再派一名醫(yī)生去A企業(yè)，剩余2名醫(yī)生一人去B企業(yè)，一人去C企業(yè)，有種不同分派方案；②派醫(yī)生甲去A企業(yè)，派2名醫(yī)生去B企業(yè)，剩余1名醫(yī)生去C企業(yè)，有種；③派醫(yī)生甲去A企業(yè)，派2名醫(yī)生去C企業(yè)，剩余1名醫(yī)生去B企業(yè)，有種.共有種不同分派方案，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：第一步：派醫(yī)生甲去3個(gè)企業(yè)中的任何一個(gè)，有3種；第二步：派醫(yī)生乙去3個(gè)企業(yè)中的任何一個(gè)，有3種；第三步：派醫(yī)生丙去3個(gè)企業(yè)中的任何一個(gè)，有3種；第四步：派醫(yī)生丁去3個(gè)企業(yè)中的任何一個(gè)，有3種；由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，所有不同分派方案共種，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC. 三、填空題13．從1，3，5，7，9中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成___________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【答案】1260.【詳解】分析:按是否取零分類討論，若取零，則先排首位，最后根據(jù)分類與分步計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).詳解：若不取零，則排列數(shù)為，若取零，則排列數(shù)為，因此一共有個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.14．如圖，在空間四邊形中，和為對(duì)角線，為的重心是上一點(diǎn)，以為基底，則__________．【答案】【詳解】由題意，連接 則 ． .故答案為.15．空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角大小為________.【答案】 【分析】依題意可得平面法向量為，直線方向向量，根據(jù)空間向量法求出線面角的大??；【詳解】解：由平面的方程為得平面法向量為，經(jīng)過直線的方程為得直線方向向量，設(shè)直線與平面所成角是，則，又，所以，所以；故答案為：四、雙空題16．若，則____________，____________；（用數(shù)字作答）【答案】          【分析】利用賦值法求得，由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得.【詳解】由，令得，令得.，所以.故答案為：； 五、解答題17．已知在的展開式中，第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).求：（1）的值；（2）展開式中的系數(shù).【答案】（1）（2）【詳解】分析：（1）根據(jù)的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即可求解的值；（2）由（1）可得展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)冪為5，求得的值，即可得到展開式中項(xiàng)的系數(shù).詳解：（1）在根據(jù)的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則第9項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，所以，解得.（2）由（1）可得展開式的通項(xiàng)公式 ，令，解得，則得到展開式中項(xiàng)的系數(shù).點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．18．用，，，，，，組成無重復(fù)數(shù)字七位數(shù)，滿足下述條件的七位數(shù)各有多少個(gè)？(1)偶數(shù)不相鄰；(2)和之間恰有一個(gè)奇數(shù)，沒有偶數(shù)；(3)三個(gè)偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列. 【答案】(1)1440(2)720(3)840【分析】（1）不相鄰問題插空法（2）先考慮12和21的情況，再將它們看作一個(gè)整體，與其它元素全排列（3）先選3個(gè)位置排偶數(shù)，再在剩下的位置排奇數(shù).【詳解】(1)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將4個(gè)奇數(shù)排好，有種排法，②排好后，有5個(gè)空位可選，在其中任選3個(gè)，安排3個(gè)偶數(shù)，有種排法，則有個(gè)符合題意的七位數(shù)；(2)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在1和2之間安排一個(gè)奇數(shù)，考慮12和21的情況，有種安排方法，②將三個(gè)數(shù)字看成一個(gè)整體，與其他4個(gè)數(shù)字全排列，有種排法，則有個(gè)符合題意的七位數(shù)；(3)根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在7個(gè)數(shù)位中任選3個(gè)，將三個(gè)偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列，有種排法，②剩下的4個(gè)數(shù)字安排在剩下的4個(gè)數(shù)位上，有種排法，則有個(gè)符合題意的七位數(shù).19．在二項(xiàng)式的展開式中，.給出下列條件：①若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256；③若展開式中第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).試在上面三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并且完成下列問題：(1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).(備注：如果多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分)【答案】(1)，(2)【分析】（1）選擇①由求解；選擇②：由求解；選擇③：由通項(xiàng)公式為，令求解；由，得到展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5和第6項(xiàng)求解；（2）由展開式通項(xiàng)為，令求解.【詳解】(1)解：選擇①：因?yàn)檎归_式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于46，所以，即，即，即，解得或（舍去）選擇②：因?yàn)樗衅鏀?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256，所以，即，解得.選擇③：通項(xiàng)公式為，則有，所以因?yàn)檎归_式中第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，即，所以.所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5和第6項(xiàng)，，；(2)展開式通項(xiàng)為：，令，，展開式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為.20．設(shè).(1)求 的值；(2)求除以9的余數(shù)；(3)求的值.【答案】(1)(2)7(3)3072【分析】（1）分別令和，兩式相加即可得結(jié)果；（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得，再按照二項(xiàng)式定理展開即可得結(jié)果；（3）先對(duì)函進(jìn)行求導(dǎo)，再令即可得結(jié)果.【詳解】(1)（1）對(duì)于令 ，得：          ①令 ，得：        ②①+②得：∴.(2) 顯然，上面括號(hào)內(nèi)的數(shù)為正整數(shù)，故求被9除的余數(shù)為7.(3)兩邊求導(dǎo)數(shù)得：，令，則有，即.21．如圖，在棱長(zhǎng)是2的正方體中，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；【詳解】(1)解：因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則有，，，，，，，.因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以 ， ，，所以，所以，即；(2)解：因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)楫惷嬷本€與所成角是銳角，所以異面直線與所成角的余弦值是.(3)解：設(shè)平面的法向量是 ，則，，即， 又，，所以 令，則，，所以，又，所以點(diǎn)到平面的距離.22．四棱錐中，平面 ，四邊形為菱形，，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)面面垂直的判定定理證明；(2)平面直角坐標(biāo)系，利用向量方法求解；(3)求二面角的兩個(gè)半平面的法向量，利用法向量夾角與二面角的平面角的關(guān)系結(jié)合向量夾角公式求解.【詳解】(1)因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以.又，所以為等邊三角形，即有， 又在中，因?yàn)?/span>是 中點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>平面，平面，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.(2)取中點(diǎn)為，則，又，所以，因?yàn)?/span>平面，所以故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則各點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，，，，.由(1)平面，所以平面的法向量是，又設(shè)直線與平面所成角是， ，直線與平面所成角的正弦值是.(3)設(shè)二面角的平面角為， 設(shè)平面的法向量，則所以 而， 則，令，則，，   所以，又平面的法向量是，所以，所以二面角的平面角的余弦值是.

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