2022-2023學(xué)年云南省保山市騰沖市高一下學(xué)期期中教育教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合和集合交集的概念直接求解即可.【詳解】因?yàn)榧?/span>，所以，故選：C2．已知復(fù)數(shù)滿足，為的共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，.故選：B.3．已知，，則A． B．7C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知的值，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式可求tanα，然后根據(jù)兩角差的正切公式即可求解．【詳解】 ∴ 則 故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式及兩角差的正切公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．已知向量，則“”是“”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，列出方程求得，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由向量，若，可得，解得，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．已知點(diǎn)，則與向量方向相反的單位向量為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，得到，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由點(diǎn)，可得，則所以與向量方向相反的單位向量為.故選：B.6．已知表面積為的圓錐，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則圓錐的高為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用圓錐表面積公式及扇形弧長(zhǎng)公式列出方程，聯(lián)立求解作答.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑，母線長(zhǎng)，由圓錐的表面積為，得，即，由側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，得，即，于是，所以圓錐的高.故選：A7．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說法不正確的是（    ）A．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B．對(duì)任意都有C．是周期函數(shù) D．【答案】D【分析】由函數(shù)為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，得到函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸，進(jìn)而推得函數(shù)的周期，即可判斷各選項(xiàng)的正誤．【詳解】為偶函數(shù)，有，令，則有，所以點(diǎn)在的圖像，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在的圖像上，即的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，A選項(xiàng)正確；對(duì)任意都有，B選項(xiàng)正確；函數(shù)為上的奇函數(shù)，則有，故，所以，可得的周期為4，，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D8．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到函數(shù)為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由函數(shù)可得定義域?yàn)?/span>，且滿足，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又由函數(shù)都是上單調(diào)遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>且，所以，又因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以.故選：A. 二、多選題9．已知矩形的面積為，則（    ）A．5 B．3 C． D．【答案】AD【分析】設(shè)，由題意可得，從而可求出，再運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，解得，或，所以，所以當(dāng)時(shí)，，或當(dāng)時(shí)，，故選：AD  10．下列命題說法不正確的是（    ）A．奇函數(shù)的圖象一定過坐標(biāo)原點(diǎn)B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是奇函數(shù)D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】ABD【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)舉反例可判斷A；根據(jù)奇函數(shù)定義判斷B，C，D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)為奇函數(shù)，但其圖象不過原點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，定義域?yàn)?/span>R，且，故函數(shù)是奇函數(shù)，C正確；對(duì)于D，令，定義域?yàn)?/span>R，，即函數(shù)是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤；故選：ABD11．下列說法正確的是（    ）A．已知向量為兩個(gè)非零向量，且，則與共線且反向B．已知向量，且與共線，則實(shí)數(shù)或C．已知向量，則D．已知線段為單位圓的任意一條直徑，以圓心為頂點(diǎn)，作邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，則的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)于A：根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律分析可得，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于B：根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式可得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分析求解；對(duì)于D：根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?/span>，則，即，整理得，且向量為兩個(gè)非零向量，即，可得，則，所以與共線且同向，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?/span>與共線，則，整理得，解得或，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由，可知，因?yàn)?/span>，則，整理得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故D正確；故選：BCD.  12．已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有個(gè)不相同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的可能取值為（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意,從而轉(zhuǎn)化為或解的個(gè)數(shù)問題,畫出函數(shù)圖像,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】,所以或,即或,函數(shù)的圖像如下:  由圖像可知,的解的個(gè)數(shù)有個(gè),所以要使方程恰有個(gè)不相同的實(shí)根,則的解的個(gè)數(shù)必須為個(gè),由圖像可得或滿足條件.故選:BC. 三、填空題13．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則邊的長(zhǎng)為          .【答案】/【分析】由題意可得：，根據(jù)正弦定理運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：，由正弦定理，可得.故答案為：.14．設(shè)，且，則的最小值為          .【答案】【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.15．在正方體中，直線與平面所成角的余弦值為          .【答案】0【分析】根據(jù)題意可證平面，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】連接，因?yàn)?/span>為正方形，則，又因?yàn)?/span>平面，平面，則，且，平面，所以平面，由平面，可得，同理可證：，，平面，可得平面，所以直線與平面所成角為，余弦值為0.故答案為：0.  16．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”. 數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透. 而向量正是數(shù)與形“溝通的橋梁”. 如圖，在中，，若為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，          .【答案】【分析】利用和分別共線，可得存在使得，再利用向量的四則運(yùn)算解出的值即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>和分別共線，所以存在使得，，所以，所以，解得，所以，所以，，，故答案為： 四、解答題17．已知平面向量.(1)若與垂直，求的值；(2)若向量，若與共線，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求向量與的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，求的值；           （2）求向量與的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求的值，得向量的坐標(biāo)，利用公式求.【詳解】（1），則，，由與垂直，則，解得.（2），則有，由與共線，故，即，解得，                                        可得，18．已知在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求角；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知變形為后結(jié)合余弦定理即可求得答案；（2）由正弦定理求得，即可得的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)以及正弦函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）由，得，即，又由余弦定理，∴，由于；（2）由（1）知，，由正弦定理 ，，， ，，的取值范圍為.19．如圖，是圓柱的一條母線，過底面圓的圓心是圓上異于點(diǎn)的一點(diǎn). 已知.   (1)求該圓柱的體積；(2)求證：平面；(3)將四面體繞母線所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，求的三邊在旋轉(zhuǎn)過程中所圍成的幾何體的體積.【答案】(1)(2)證明見解析(3) 【分析】（1）根據(jù)圓柱的體積公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，分別證得，，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可得證；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的概念，結(jié)合圓錐的體積公式，即可求解.【詳解】（1）設(shè)圓柱的底面半徑為，因?yàn)?/span>過底面圓的圓心，且，可得，又由圓柱的母線長(zhǎng)為，即圓柱的高為，所以則圓柱的體積.（2）因?yàn)?/span>是圓的直徑，是圓上的一點(diǎn)，可得，又因?yàn)?/span>平面，且平面，所以，因?yàn)?/span>平面，且，所以平面.（3）由線段繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為以為底面半徑，為高的圓錐，線段繞旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為以為底面半徑，為高的圓錐， 所以繞旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積為：.  20．已知向量，函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，其中A為銳角，，且，求的面積S.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，可得的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)單調(diào)性，即可求得答案;（2）利用（1）的結(jié)果求得A，由余弦定理求出b，再利用三角形面積公式即可求得答案.【詳解】（1），由，解得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），，，又，即，解得或（舍去），從而.21．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn).   (1)求證：平面；(2)若正方體的棱長(zhǎng)為4，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2). 【分析】（1）證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）作出二面角的平面角，解三角形即可求得答案.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示，    分別為的中點(diǎn)，則，且，則，∴四邊形是平行四邊形，則， 分別為的中點(diǎn)，則，∴四邊形是平行四邊形，則，故，且平面平面，平面.（2）取的中點(diǎn)記為，連接，由于正方體的棱長(zhǎng)為4，故為中點(diǎn)，∴，又∵為中點(diǎn)，∴，平面,平面為二面角的平面角，因?yàn)?/span>為正三角形，故，在中，，由余弦定理，，∴二面角的平面角的正弦值為.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程；(2)若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；(3)在（2）的前提下，函數(shù)滿足，若對(duì)任意且，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)(3)8 【分析】（1）根據(jù)題意代入求解即可；（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義運(yùn)算求解；（3）根據(jù)題意整理得，令，利用換元法可得在時(shí)恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，則，整理得，解得（舍去）或，所以.（2）因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，則，整理得形得：，要使上式對(duì)任意的成立，則，解得或 ，又因?yàn)?/span>的定義域是，當(dāng)，則的定義域?yàn)?/span>，不合題意；當(dāng)，則的定義域?yàn)?/span>，符合題意；所以.（3）因?yàn)?/span>，則，又因?yàn)?/span>且，則，可得，可得，即，則. 不等式恒成立，即恒成立，令，則，則，可得在時(shí)恒成立，因?yàn)?/span>，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為8. 

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