一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解不等式，得到，進(jìn)而利用補(bǔ)集和交集的概念求出答案.
【詳解】或，
故，.
故選：C
2．若復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則（ ）
A．-3B．C．D．3
【答案】A
【分析】將代入條件化簡(jiǎn)，然后根據(jù)其為純虛數(shù)，可求出結(jié)果.
【詳解】是純虛數(shù)，所以，
所以.
故選：.
3．已知平面向量，，且，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由向量的模的定義和向量垂直的性質(zhì)，求得，再由向量的平方即為模的平方，化簡(jiǎn)計(jì)算可得所求值．
【詳解】由平面向量，可得，
由，可得，即，則，
所以.
故選：C．
4．白居易的《別氈帳火爐》寫道：“賴有青氈帳，風(fēng)前自張?jiān)O(shè).”古代北方游牧民族以氈帳為居室，如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為，圓柱的高為，底面圓的直徑為，則該毛帳的側(cè)面積（單位）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分別求解出圓錐和圓柱的側(cè)面積，然后相加即為結(jié)果.
【詳解】圓錐的側(cè)面積：，
圓柱的側(cè)面積：，
所以毛帳的側(cè)面積為，
故選：C.
5．若 ，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用整體代換法與誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】依題，令，則，
，
所以
.
故選：A
6．已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】使用基本不等式證明，從而得，使用證明，再證明可得.
【詳解】由題知、均在和之間，
，于是，
當(dāng)時(shí)，，所以.
當(dāng)時(shí)，令，則，所以時(shí)，為減函數(shù)，
故，故，
所以，
，于是.
所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題首先用均值不等式放縮，比較和，也可用換底公式；比較和需要構(gòu)造函數(shù)和運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì).
7．為了給學(xué)生樹(shù)立正確的勞動(dòng)觀，使學(xué)生懂得勞動(dòng)的偉大意義，某班從包含甲、乙的6名學(xué)生中選出3名參加學(xué)校組織的勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，在甲被選中的情況下，乙也被選中的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用條件概率的公式計(jì)算.
【詳解】令事件為甲被選中，事件為乙被選中，則，，
故.
快解 ： 令事件為甲被選中，事件為乙被選中，.
故選：B.
8．已知函數(shù)給出下列結(jié)論：
①的周期為；
②時(shí)取最大值；
③的最小值是；
④在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；
⑤把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)題（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③
【答案】B
【分析】先由降冪公式與輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式、最值性質(zhì)、單調(diào)性，結(jié)合正弦型函數(shù)圖象變換性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)?br>.
①因?yàn)?，所以①正確；
②因?yàn)椋寓阱e(cuò)誤；
③當(dāng)，即時(shí)，
取最小值，且最小值是，所以③正確；
④當(dāng)時(shí)，由
知在區(qū)間內(nèi)并不單調(diào)，故④錯(cuò)誤；
⑤把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
可得到函數(shù)，故⑤錯(cuò)誤.
故正確的是①③.
故選：B.
二、多選題
9．對(duì)于直線和直線，以下說(shuō)法正確的有（ ）
A．直線一定過(guò)定點(diǎn)B．若，則
C．的充要條件是D．點(diǎn)到直線的距離的最大值為5
【答案】ABD
【分析】求出直線所過(guò)定點(diǎn)判斷A；利用垂直關(guān)系計(jì)算判斷B；由兩直線不相交求出判斷C；求出直線所過(guò)定點(diǎn)，并求出它與點(diǎn)的距離判斷D.
【詳解】對(duì)于A，變形為，
令，解得，因此直線一定過(guò)定點(diǎn)，A正確；
對(duì)于B，若，則，解得，B正確；
對(duì)于C，當(dāng)與不相交時(shí)，，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線與平行，
當(dāng)時(shí)，直線與平行，
因此當(dāng)時(shí)，或，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線恒過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離的最大值為間距離，
而，D正確.
故選：ABD
10．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．則（ ）
A．，
B．不等式的解集為
C．當(dāng)，的最小值為
D．方程的解集為
【答案】AB
【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則，
的整數(shù)部分為，，故，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：，則，故，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，不成立，故等號(hào)不成立，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：取，則，滿足方程成立，錯(cuò)誤；
故選：AB
11．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P在：上，則（ ）
A．直線MN與相離
B．線段PN的中點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓
C．的面積最大值為
D．P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能且只能得到4個(gè)不同的
【答案】ABD
【分析】求出直線的方程，利用圓的圓心到直線的距離判斷A的正誤；
求線段的中點(diǎn)軌跡判斷B的正誤；
利用圓的圓心到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積的最大值判斷C；
判斷為直徑的圓與已知圓的位置關(guān)系，結(jié)合直角三角形的定義，判斷D的正誤.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以?br>所以直線的方程，即，
由，得，
所以圓心，半徑為3，

所以圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相離，故A正確；
對(duì)于B：設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，
所以，即表示一個(gè)圓，

所以線段的中點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)閳A心到直線的距離為，，

所以的面積最大值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，①設(shè)與直線垂直且過(guò)點(diǎn)的直線為，
則，得，即直線為，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，
所以直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以以為直角頂點(diǎn)的直角三角形有2個(gè)；
②設(shè)與直線垂直且過(guò)點(diǎn)的直線為，
則，得，即直線為，
因?yàn)閳A心到直線的距離為，
所以直線與圓相離，無(wú)公共點(diǎn)，

所以以為直角頂點(diǎn)的直角三角形不存在；
③以為直徑的圓為，設(shè)圓心為，則，半徑為，
所以，
因?yàn)椋?br>所以以為直徑的圓與圓相交，

所以以為直角頂點(diǎn)的直角三角形有2個(gè)；
綜上，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能且只能得到4個(gè)不同的，故D正確.
故選：ABD.
12．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則
B．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br>C．若，則，
D．若冪函數(shù)，則對(duì)任意，都有
【答案】CD
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)判斷A；由抽象函數(shù)的定義域求法判斷B；應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式判斷C；利用分析法證明D.
【詳解】A：設(shè)，則，即，所以，解得，所以，錯(cuò)誤；
B：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，錯(cuò)誤；
C：若，令，可得，
所以，，其中，
所以，，，正確；
D：對(duì)任意，要證明不等式，
只需證明，即，
故只需證明，此不等式顯然成立，正確.
故選：CD.
三、填空題
13．若的二項(xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，則在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 ．
【答案】
【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和求出，再寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求出的系數(shù).
【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中所有二項(xiàng)系數(shù)的和等于，
所以，則，
則展開(kāi)式的通項(xiàng)為（其中且），
令，解得，
所以展開(kāi)式中的系數(shù)為．
故答案為：．
14．已知改良工藝前所排放廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后所排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為改良工藝的次數(shù).假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝次數(shù)最少要（參考數(shù)據(jù)：） 次.
【答案】11
【分析】由，求出，解即可.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，解得，
所以，
由題意知，，即，
即 ，解得，
又，，
所以，，
所以要使該企業(yè)排放的污水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，改良工藝次數(shù)最少要11次.
故答案為：11.
15．如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)在線段上，且，則直線與直線所成角的余弦值為 ．
【答案】/
【分析】以為基底表示，利用向量的運(yùn)算和夾角公式求解.
【詳解】,
,
,
∵,
,
∴
,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴直線與直線所成角的余弦值為.
故答案為：.
16．已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)在第一象限，則的最小值為 .
【答案】
【分析】分別在，時(shí)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)證明，結(jié)合圖象可得，再利用基本不等式求其最小值.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€M的方程為，所以拋物線M的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，
則直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，
當(dāng)時(shí)，聯(lián)立與可得，
所以，則；
當(dāng)時(shí)，如圖，
過(guò)作軸于K，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交y軸于E，
則，得，
則，同理可得，所以，
化圓N：為，則圓N的圓心為F，半徑為1，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故答案為：
四、解答題
17．已知等比數(shù)列的公比，若，且分別是等差數(shù)列的第1，3，5項(xiàng).
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的知識(shí)求得首項(xiàng)和公差、公比，從而求得.
（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.
【詳解】（1）由題意得，，
，，解得（舍去）
則，解得，所以.
則，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以.
（2）.
所以，
兩式相減得，
.
18．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)邊上存在點(diǎn)，使為的角平分線，若，求的周長(zhǎng).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，再結(jié)合余弦定理可求得結(jié)果；
（2）由可得，再結(jié)合余弦定理可求出，從而可求出的周長(zhǎng).
【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，?br>所以，
所以由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
因?yàn)?，所?
（2）因?yàn)椋?br>且
所以，
由余弦定理得：，
整理得，
解得或（舍去），
所以，
所以的周長(zhǎng)為.
19．某中學(xué)有A，B兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：
假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．
(1)估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；
(2)記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明．．
【答案】(1)0.6
(2)分布列見(jiàn)解析，1.9
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由頻率估計(jì)概率，按古典概型進(jìn)行求解；
（2）先確定隨機(jī)變量的可能取值，再求出各值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，根據(jù)期望的定義求期望；
（3）用條件概率公式進(jìn)行推理證明.
【詳解】（1）設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，
因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為，
所以．
（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，
則X的所有可能取值為1和2，
所以，
，
所以X的分布列為
所以X的數(shù)學(xué)期望．
（3）由題知，所以
所以，
所以，
即，
所以，即
20．如圖1，山形圖是兩個(gè)全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點(diǎn)在線段上，且在幾何體中，解決下面問(wèn)題.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，證明：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)相似可得線線平行，即可由線面平行的判定求證，
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，即可由線面垂直的判定，進(jìn)而可得線線垂直.
【詳解】（1）連接與相交于,連接，
由于，且,
所以,
又,所以,
平面,平面,所以平面，

（2）過(guò)作交于，由于平面平面，且兩平面交線為，平面，
所以平面，平面,故，
又四邊形為直角梯形，故,
是平面內(nèi)的兩相交直線，所以平面，
平面，故.

21．已知點(diǎn)在雙曲線上．
(1)已知點(diǎn)為雙曲線右支上除右頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，證明：點(diǎn)到的兩條漸近線的距離之積為定值；
(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、，在線段上取異于點(diǎn)、的點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)恒在一條定直線上．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)將代入雙曲線中，求出，可得到雙曲線的兩條漸近線，的方程，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為，，則求解即可證明.
（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求出，最后利用點(diǎn)在直線上得到，進(jìn)而證明點(diǎn)恒在定直線上.
【詳解】（1）將代入雙曲線中，，解得，故雙曲線方程為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即．
雙曲線的兩條漸近線，的方程分別為，，
則點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為，，
則．
所以點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為定值．
（2）若直線斜率不存在，此時(shí)直線與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn)，不合題意，不滿足條件，
故直線斜率存在，設(shè)直線方程，與聯(lián)立得
，則，
因?yàn)楹愠闪ⅲ?，故?br>解得:，設(shè)，，
則，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由得，，
變形得到，
將，代入，解得，
將代入中，解得，
則，
故點(diǎn)恒在一條定直線上．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）圓錐曲線第一問(wèn)通常是涉及基本量的計(jì)算.定值問(wèn)題首先根據(jù)題意將等量關(guān)系進(jìn)行表示后在化簡(jiǎn)，必要時(shí)借助于直曲聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理減少計(jì)算量.
（2）定點(diǎn)過(guò)定直線通常設(shè)出定點(diǎn)后找到定點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)所滿足的線性關(guān)系，一般計(jì)算量較大.
22．已知函數(shù).
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間與零點(diǎn)；
(2)若且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)增區(qū)間，無(wú)減區(qū)間；有唯一零點(diǎn)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求解函數(shù)的增減性和零點(diǎn)的判斷.
（2）利用構(gòu)造函數(shù)求解函數(shù)，討論當(dāng)時(shí)，利用不等式放縮求解，當(dāng)時(shí)，利用求導(dǎo)證明不等式即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以有唯一零點(diǎn).
（2）令，
則原不等式在恒成立，
①若，則，
先證明當(dāng)時(shí)，.
事實(shí)上，令，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以.
由，得.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，
所以.
因此當(dāng)時(shí)，，
令，
因?yàn)榈膱D象是開(kāi)口向下的拋物線，
所以存在，使得，從而，
，不合題意.
②若，則，
令，
（i）當(dāng)時(shí)，，
（ii）當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，
由（i）（ii）知當(dāng)時(shí)，，滿足題意，
綜上，的取值范圍為.
選擇餐廳情況（午餐，晚餐）
王同學(xué)
9天
6天
12天
3天
張老師
6天
6天
6天
12天
X
1
2
P
0.1
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