一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得集合，然后計(jì)算交集．
【詳解】由已知，，
∴．
故選：C．
2．已知，其中為的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求的代數(shù)形式，由此可求復(fù)數(shù)，再求其在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)及其象限.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
該點(diǎn)位于第一象限.
故選：A.
3．已知a，b>1且a≠b，下列各式中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合基本不等式、不等式性質(zhì)及作差法比較作答.
【詳解】因?yàn)閍，b>1，a≠b，由基本不等式得：，由不等式性質(zhì)得：，
又，
所以.
故選：D
4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由于函數(shù)是奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，可求出，再把代入函數(shù)中驗(yàn)證即可
【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)榍?br>因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，
所以，
因?yàn)?，滿足為奇函數(shù)，
故選：D.
5．若，，則 等于（ ）
A． B．3
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知確定 ，從而求得，進(jìn)而求得，根據(jù)誘導(dǎo)公式即求得答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以 ，則 ，
故，
故選：A
6．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】變換得到，確定，計(jì)算得到答案.
【詳解】，
，故，則，故，
即，故的值域?yàn)?
故選：D
7．如圖所示的三棱錐中，，，，，且，，則其外接球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先證出平面，平面，將三棱錐放入一個(gè)以為長，寬，高的長方體中，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，根據(jù)求出長方體外接球半徑的最小值，即可得出三棱錐外接球體積的最小值．
【詳解】因?yàn)?，，且，平面，平面?br>所以平面，
又因?yàn)?，，且，平面，平面?br>所以平面，
所以可以將三棱錐放入一個(gè)長方體中，該長方體以為長，寬，高，如圖所示，
則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，
下面計(jì)算該長方體外接球半徑的最小值；
因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
所以，
所以該長方體外接球體積的最小值為：，
所以三棱錐的外接球體積的最小值為，
故選：A．
8．若，，， 則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由對數(shù)的運(yùn)算法則把轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得出的真數(shù)的大小關(guān)系，最后利用的單調(diào)性判斷的大小.
【詳解】由對數(shù)的運(yùn)算法則得，.
令函數(shù)，則，即函數(shù)在R上單調(diào)遞減.
．
令函數(shù)，則，
令函數(shù)，則，
在上單調(diào)遞減，且，
，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
又 在恒成立
，即在上單調(diào)遞增 ，則 ．
當(dāng)時(shí)，.
又在上單調(diào)遞增，，．
故選：C
【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值大小應(yīng)注意的問題：
在構(gòu)造函數(shù)時(shí)需要視具體情況而定，在判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)時(shí)，盡量不要求二階導(dǎo)數(shù)，而是把原導(dǎo)函數(shù)令為一個(gè)新函數(shù)，再求導(dǎo)判斷正負(fù)來得到原導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.
9．圍繞民宿目的地進(jìn)行吃住娛樂閉環(huán)消費(fèi)已經(jīng)成為疫情之后人們出游的新潮流．在用戶出行旅游決策中，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某地區(qū)1000戶偏愛酒店的用戶與1000戶偏愛民宿的用戶住宿決策依賴的出行旅游決策平臺(tái)，得到如下統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法中不正確的是（ ）
A．偏愛民宿用戶對小紅書平臺(tái)依賴度最高
B．在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等
C．小紅書在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比與攜程旅行在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比不相等
D．在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比都比抖音的占比高
【答案】D
【分析】由酒店預(yù)訂條形圖和民宿預(yù)訂扇形圖逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案．
【詳解】解：由右圖可知，偏愛民宿用戶對小紅書平臺(tái)的選擇占比為，
則偏愛民宿用戶對小紅書平臺(tái)依賴度最高，故A正確；
在被調(diào)查的酒店用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和為，
在被調(diào)查的民宿用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和為，
則在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，小紅書與攜程旅行的占比總和相等，故B正確；
小紅書在所有被調(diào)查用戶住宿決策中的占比為，
攜程旅行的占比為，攜程旅行的占比略高于小紅書占比，故C正確；
在被調(diào)查的兩種用戶住宿決策中，同程旅行占比分別為和，
抖音的占比分別為和，則酒店預(yù)訂方面同程旅行占比高，民宿預(yù)訂方面抖音的占比高，故D錯(cuò)誤．
故選：D．
10．已知命題；命題在中，若，則．則下列命題為真命題的是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判斷命題是真命題還是假命題，然后求得的真假性，最后對選項(xiàng)逐一分析，得出正確結(jié)果.
【詳解】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正數(shù)可知，命題為假命題.當(dāng)時(shí)，，故命題為假命題.所以都是真命題.故為假命題，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.為假命題，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤. 為真命題，故C選項(xiàng)正確. 為假命題，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯連接詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.
11．已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根據(jù)相同的焦點(diǎn)解得，再聯(lián)立方程組解得A點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)直線的斜率求離心率.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以,
由，得
解得，所以
不妨設(shè),則,
因此，
，
或，
因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以
因此，選B.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
12．已知函數(shù)f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然對數(shù)的底）與g（x）＝3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．[0，e3﹣4]B．[0，2]
C．[2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，可以將原問題轉(zhuǎn)化為方程a+1＝x3﹣3lnx在區(qū)間[，e]上有解，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x3﹣3lnx，利用導(dǎo)數(shù)分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，進(jìn)而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在區(qū)間[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范圍，即可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）＝﹣x3+1+a（x≤e，e是自然對數(shù)的底）與g（x）＝3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，
則方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在區(qū)間[，e]上有解，
﹣x3+1+a＝﹣3lnx?a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在區(qū)間[，e]上有解，
設(shè)函數(shù)g（x）＝x3﹣3lnx，其導(dǎo)數(shù)g′（x）＝3x2，
又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的極值點(diǎn)，
分析可得：當(dāng)x≤1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)1≤x≤e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
故函數(shù)g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，
又由g（）3，g（e）＝e3﹣3；比較可得：g（）＜g（e），
故函數(shù)g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，
故函數(shù)g（x）＝x3﹣3lnx在區(qū)間[，e]上的值域?yàn)閇1，e3﹣3]；
若方程a+1＝x3﹣3lnx在區(qū)間[，e]上有解，
必有1≤a+1≤e3﹣3，則有0≤a≤e3﹣4，
即a的取值范圍是[0，e3﹣4]；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程a﹣x3＝﹣3lnx?﹣a＝3lnx﹣x3在上有解，屬于難題．
二、填空題
13．在銳角三角形中角A、B、C的對邊分別為a， b， c，記，若，則 .
【答案】4
【分析】根據(jù)余弦定理和數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，然后對目標(biāo)式切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化邊可得.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?br>所以，即.
所以
.
故答案為：4
14．在正四棱柱（底面為正方形且側(cè)棱垂直于底面）中..是的中點(diǎn).則異面直線與所成角的大小為 ．
【答案】
【分析】取的中點(diǎn)，得，所以就是異面直線與所成的角，
設(shè)，利用勾股定理得到、、，由余弦定理可得答案.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，所以，
即四邊形是平行四邊形，所以，
所以就是異面直線與所成的角，
設(shè)，
所以，
，
由余弦定理得，
即，
所以異面直線與所成的角為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成的角，關(guān)鍵點(diǎn)是作出平行線找到異面直線所成的角解三角形可得答案，考查了學(xué)生的空間想象力和計(jì)算能力.
15．已知圓，，是圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)且，則最大值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意作出圖象，結(jié)合圓的性質(zhì)及直角三角形中線的性質(zhì)，可得，即可求出最大值.
【詳解】如圖所示，設(shè)是線段的中點(diǎn)，則，

因?yàn)?，于是?br>在中，，，，
由勾股定理得，，
整理得，
故的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
故，
又由圓的弦長公式可得
.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)，圓的弦，弦心距，半徑的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.
16．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)為，若對任意正整數(shù)，有（其中為常數(shù)，且），則稱數(shù)列是以為周期，以為周期公比的似周期性等比數(shù)列，已知似周期性等比數(shù)列的前4項(xiàng)為1，1，1，2，周期為4，周期公比為3，則數(shù)列前項(xiàng)的和等于 .（為正整數(shù)）
【答案】
【分析】將數(shù)列的每四項(xiàng)看成一個(gè)整體項(xiàng)形成新數(shù)列得到數(shù)列前項(xiàng)的和即的前項(xiàng)和，再計(jì)算，相加得到答案.
【詳解】根據(jù)題意知：將數(shù)列的每四項(xiàng)看成一個(gè)整體項(xiàng)形成新數(shù)列
則數(shù)列為首項(xiàng)是公比為的等比數(shù)列.
數(shù)列前項(xiàng)的和即的前項(xiàng)和為：，
則數(shù)列前項(xiàng)的和等于
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題，意在考查學(xué)生對于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用.
三、解答題
17．為了檢查工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，隨機(jī)抽取了部分產(chǎn)品進(jìn)行檢測，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

(1)求的值以及這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率：（注：產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到130及以上為優(yōu)質(zhì)品）；
(2)若按照分層的方法從質(zhì)量指標(biāo)值在的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，再從這件中隨機(jī)抽取件，求至少有一件的指標(biāo)值在的概率；
(3)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽出件，記這件中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)，優(yōu)質(zhì)率為25%
(2)
(3)分布列見解析，
【分析】（1）由頻率分布直方圖中，所有頻率之和為1及優(yōu)質(zhì)率的定義即可求得結(jié)果.
（2）由分層抽樣可得質(zhì)量指標(biāo)在有件，質(zhì)量指標(biāo)在有件，結(jié)合古典概型求其概率即可.
（3）由題意知，4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，進(jìn)而運(yùn)用公式求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)超過130的頻率為，
所以這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)率為25%.
（2）因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)在和的頻率分別為0.4和0.3.
所以質(zhì)量指標(biāo)在產(chǎn)品中抽取7件，則質(zhì)量指標(biāo)在有件，質(zhì)量指標(biāo)在有件.
所以從這7件中任取2件，至少有一件質(zhì)量指標(biāo)在的概率為.
（3）因?yàn)槌榈疆a(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的頻率為0.25，以頻率作為概率，所以每件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的概率為.
所以4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的件數(shù).
則，，
所以，，
，，
，
所以的分布列為
.
18．如圖①，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，以EF為折痕把△AEF折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置(如圖②)，且PB＝BE.
（1）證明：EF⊥平面PBE；
（2）設(shè)N為線段PF上的動(dòng)點(diǎn)(包含端點(diǎn))，求直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）由題易證得，即可證得結(jié)論；
（2）取BE的中點(diǎn)O,連接PO,易證得PO平面，然后以O(shè)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得與平面所成角的正弦值，求得其最大值即可.
【詳解】（1）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC.
因?yàn)椤螦BC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE，又BE∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE.
（2）取BE的中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)镻B＝BE＝PE，所以PO⊥BE.
由（1）知EF⊥平面PBE，EF?平面BCFE，所以平面PBE⊥平面BCFE.
又PO?平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE，
過點(diǎn)O作OM∥BC交CF于點(diǎn)M，分別以O(shè)B，OM，OP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則B，P，C，F(xiàn)，
＝，＝，
由N為線段PF上一動(dòng)點(diǎn)，得＝λ(0≤λ≤1)，
則可得N，＝.
設(shè)平面PCF的法向量為＝(x，y，z)，則即
取y＝1，則x＝－1，z＝，
所以＝(－1，1，)為平面PCF的一個(gè)法向量．
設(shè)直線BN與平面PCF所成的角為θ，
則sin θ＝ ＝＝＝≤＝(當(dāng)且僅當(dāng)λ＝時(shí)取等號(hào))，
所以直線BN與平面PCF所成角的正弦值的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何，利用空間向量解決線面角是解題的關(guān)鍵，線面角可以通過直線的方向向量和平面的法向量之間進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，就能夠得到線面角的大小.
19．在數(shù)列中，，，且對任意的N*，都有.
（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的N*都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）由條件變形為，從而證明數(shù)列是等比數(shù)列，然后由此結(jié)論結(jié)合累加法可得答案.
（Ⅱ）由，由裂項(xiàng)相消法求其前項(xiàng)和，再根據(jù)不等式恒成立分離參數(shù)可得答案.
【詳解】（Ⅰ）由可得．
又，，所以，故.
所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.所以.
所以.
（Ⅱ）因?yàn)?
所以
.
又因?yàn)閷θ我獾亩加?，所以恒成立?br>即，即當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查證明數(shù)列為等比數(shù)列和利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求和，解答本題的關(guān)鍵是將裂成兩項(xiàng)的差，利用裂項(xiàng)相消法求和，以及利用分離參數(shù)的方法得到，從而利用最值處理，屬于中檔題.
20．已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：
【答案】(1)答案不唯一，具體見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)后，分子為含參的二次三項(xiàng)式，結(jié)合，我們可以從和結(jié)合開口方向和兩根的大小來討論；
（2），為函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，我們可以通過結(jié)合韋達(dá)定理，找到，的關(guān)系，帶入到要證明的不等式中，然后通過整理，化簡成一個(gè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再通過換元，構(gòu)造函數(shù)，通過求解函數(shù)的值域完成證明.
【詳解】（1），
設(shè)．，，
①當(dāng)時(shí)，，，則，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，，且，
令，得，或，令，得，
在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增，
③當(dāng)時(shí)，，的零點(diǎn)為，
在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
不妨設(shè)，則，
要證：，只要證，
只需要證，
即證，
設(shè)，，
設(shè)函數(shù)，
，
，
，
，
在上單調(diào)遞減，則，
又，
則，
則，
從而．
【點(diǎn)睛】(1)含參的二次三項(xiàng)式再進(jìn)行分類討論的時(shí)候，如果二次項(xiàng)含參數(shù)，在討論有根無根的情況下要兼顧到開口方向以及兩根大小的比較；
(2)如果函數(shù)在求導(dǎo)完以后，是一個(gè)分子上含有二次三項(xiàng)式，不含指數(shù)、對數(shù)的式子，那么函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系，可以使用韋達(dá)定理來表示.
21．橢圓的離心率是，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)求面積的最大值；
(3)在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立？存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，.
【分析】（1）由離心率及過點(diǎn)列方程組求解.
（2）設(shè)直線為與橢圓方程聯(lián)立，將表達(dá)為的函數(shù)，由基本不等式求最大值即可.
（3）先討論直線水平與豎直情況，求出，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，證得三點(diǎn)共線得到成立.
【詳解】（1）根據(jù)題意，得，解得，橢圓C的方程為.
（2）依題意，設(shè)，直線的斜率顯然存在，
故設(shè)直線為，聯(lián)立，消去，得，
因?yàn)橹本€恒過橢圓內(nèi)定點(diǎn)，故恒成立，，
故，
令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，
綜上可知：面積的最大值為.
（3）當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，
則有，即，所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)的坐標(biāo)為；
當(dāng)垂直于軸時(shí)，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，
則有，即，解得或，
所以若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，
由（2）知，
又因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又，，
則，
所以，則三點(diǎn)共線，所以；
綜上：存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立，且.
.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與橢圓交于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.
22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；
(2)已知點(diǎn)，直線 過點(diǎn)且與曲線相交于、兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的值.
【答案】(1)；.
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知方程即可求出直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；
（2）求出直線的傾斜角，將的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程并化簡，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出的值.
【詳解】（1）由題意，
在（為參數(shù)）中，
，即：，
在中，，
∵
∴，
∴曲線的直角坐標(biāo)方程為：
（2）由題意，，
在中，直線 過點(diǎn)，
∴，解得：，
∴，，
將的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程，并化簡得，
∴
設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，
∴.
23．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；
（2）若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，去絕對值化簡即可求解；
（2）將函數(shù)解析式代入不等式，分離參數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)不等式解集為非空，即可知，由絕對值三角不等式性質(zhì)可變形為，結(jié)合，即可求得b的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
解不等式化為，
即，
∴，解得，
∴不等式的解集為.
（2）由，
得，
設(shè)，
則不等式的解集非空，等價(jià)于；
由，
∴；
由題意知存在，使得上式成立；
而函數(shù)在上的最大值為，
∴；
即b的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)法求最值的應(yīng)用，絕對值三角不等式性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題.
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2
3
4
P

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