唐杰中學(xué)2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期第二次月考高一數(shù)學(xué)試題2023.5一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（    ）A. 25 B. 9 C. 5 D. 3【答案】C【解析】【分析】直接解方程組求出復(fù)數(shù)，從而可求出復(fù)數(shù)的模【詳解】由，得，解得，所以，故選：C2. 已知，則（    ）A. 10 B.  C. 82 D. 162【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模長即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，故選：A.3. 一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出此平面圖形的直觀圖恰好是一個(gè)邊長為的正方形，則原平面圖形的周長為（    ）A. 8 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】畫出直觀圖及對應(yīng)的原圖，由此求得原平面圖形的周長.【詳解】由題意，用斜二測畫法畫出此平面圖形的直觀圖，其中，，，由此畫出直觀圖對應(yīng)的原圖如下圖所示， 其中，，所以，所以原平面圖形的周長為.故選：B.4. 恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重，恩格爾系數(shù)達(dá)59%以上為貧困，為溫飽，為小康，為富裕，低于為最富裕.國家統(tǒng)計(jì)局年月日發(fā)布了我國年居民收入和消費(fèi)支出情況，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表如圖甲、乙所示，下列說法不正確的是（    ）    A. 年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入增長額超過農(nóng)村居民人均可支配收入增長額B. 年城鎮(zhèn)居民收入增長率快于農(nóng)村居民C. 從恩格爾系數(shù)看，可認(rèn)為我國在年達(dá)到富裕D. 年全國居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成中食品煙酒和居住占比超過【答案】B【解析】【分析】對于選項(xiàng)A，從圖甲的柱狀圖分別計(jì)算年城鎮(zhèn)居民、農(nóng)村居民人均可支配收入增長額即可判斷；對于選項(xiàng)B，從圖甲的折線圖即可看出；對于選項(xiàng)C，從圖乙可看出年食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重，再結(jié)合題目所給的恩格爾系數(shù)的比例即可判斷；對于選項(xiàng)D，從圖乙可看出年食品煙酒和居住占比，相加即可判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A，從圖甲可知，年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入增長額為，年農(nóng)村居民人均可支配收入增長額為，故A正確；對于選項(xiàng)B，從圖甲可知，年城鎮(zhèn)居民收入實(shí)際增速為，年農(nóng)村居民收入實(shí)際增速為，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，從圖乙可知，年食品支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重，屬于的范圍，故C正確；對于選項(xiàng)D，從圖乙可知，年食品煙酒和居住占比為，故D正確.故選：B.5. 已知按從小到大順序排列的A、B兩組數(shù)據(jù)：A組：28，30，37，，42，47；B組：26，，33，44，50，52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)分別對應(yīng)相等，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，求出的值即可得答案.【詳解】因?yàn)?/span>，，A組：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，B組：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，由已知得：，，解得，所以故選：C6. 在△ABC中，角的對邊分別為則邊上的高為（    ）A.  B.  C.  D. 2【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理可求出，然后利用面積公式列方程可求得答案.【詳解】設(shè)邊上的高為，因?yàn)?/span>，所以由余弦定理得，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，解得，故選：B7. 如圖，已知四邊形ABCD為圓柱的軸截面，F為的中點(diǎn)，E為母線BC的中點(diǎn)，異面直線AC與EF所成角的余弦值為，，則該圓柱的體積為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用平行線尋找異面直線所成角，再運(yùn)用線面垂直判定定理及線面垂直性質(zhì)定理證得，進(jìn)而求得半徑r，代入圓柱體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，取AB的中點(diǎn)O，連接OE、OF，因?yàn)?/span>E為母線BC的中點(diǎn)，所以，所以為異面直線、所成的角或其補(bǔ)角，則，設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，則，又因?yàn)?/span>F為的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?/span>，，面，所以面，又因?yàn)?/span>面，所以，在中，，所以在中，，解得：.所以圓柱的體積為.故選：B.8. 正方體的棱長為3，點(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)軌跡的長度是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由題意可知點(diǎn)在以為球心，半徑的球上，所以點(diǎn)的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，然后畫出圖形，分別求出其在四個(gè)面上的軌跡長度即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在以為球心，半徑的球上，因?yàn)辄c(diǎn)在三棱錐的表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，因?yàn)檎襟w棱長為3，所以正方體的面對角線為，所以三棱錐為棱長為的正三棱錐，由正方體的性質(zhì)可知到平面的距離為，所以球在平面上的截面圓的半徑，所以截面圓的圓心正好是正三角形的中心，設(shè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，由正弦定理得，則，所以，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是圓在內(nèi)的弧長，如圖所示， ，為銳角，所以，所以，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡長度為，因?yàn)?/span>平面，所以球在平面上的截面圓心為，設(shè)圓的半徑為，則，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是一段劣弧，如圖所示，因?yàn)?/span>為銳角，所以，所以，所以的長為，由對稱性可知點(diǎn)在平面和平面內(nèi)軌跡長相等，都等于，所以點(diǎn)在三棱錐的表面上的軌跡的長度為，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查立體幾何中軌跡的求法，解題的關(guān)鍵是正確的畫出圖形，根據(jù)圖形求解，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于難題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下列命題錯(cuò)誤的是（    ）A. 復(fù)數(shù)不能比較大小B. ，C. 若實(shí)數(shù)a，b互為相反數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二或第四象限D. 若復(fù)數(shù)，，其中a，b，c都為實(shí)數(shù)，則可能為實(shí)數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義及分類，復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)的幾何意義逐一分析判斷即可.【詳解】復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)可以比較大小，故A錯(cuò)誤；若，則，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，其在復(fù)平面的對應(yīng)點(diǎn)為原點(diǎn)，不在第二象限，也不在第四象限，故C錯(cuò)誤；，若，則為實(shí)數(shù)，若，則為純虛數(shù)，故D正確．故選：ABC.10. 已知，是不同的兩條直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中真命題有（    ）A. 若，，，則B. 若，，，則C. 若，，，則D. 若，，，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線面關(guān)系，面面關(guān)系的判定和性質(zhì)逐個(gè)分析判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以A正確，對于B，若，，，則在內(nèi)，或，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)?/span>，，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以C正確，對于D，若，，，則，或與相交，所以D錯(cuò)誤，故選：AC11. 在邊長為正六邊形中，是線段上一點(diǎn)，，則下列說法正確的有（    ）A. 若，則B. 若向量在向量上的投影向量是，則C. 若為正六邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍是D. 若，則的值為【答案】AC【解析】【分析】由向量線性運(yùn)算可利用表示出，知A正確；由投影向量定義可求得向量在上的投影向量為，知B錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可知C正確；設(shè)，根據(jù)可求得的值，進(jìn)而得到，知D錯(cuò)誤.【詳解】對于A，若，則為中點(diǎn)，，A正確；對于B，由正六邊形的性質(zhì)知向量與的夾角為，則向量在上的投影向量為，，B錯(cuò)誤；對于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)?/span>軸，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，，C正確；對于D，由題意知：，，，設(shè)，，，，解得：，，，，即，D錯(cuò)誤.故選：AC.12. 在中，D、E為邊上的兩點(diǎn)，且，以下說法正確的是（    ）A. 若，則為鈍角三角形B. 若，則的面積最大值為C. 若，則長的最大值為D. 若，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A：由題意知，由及余弦定理得為鈍角；對于B：在中由余弦定理及基本不等式得的面積最大值；對于C：可知點(diǎn)在外接圓的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)最長，根據(jù)余弦定理可求得最長值；對于D：可知點(diǎn)在與外接圓的交點(diǎn)處，在中求出各邊由余弦定理求解.【詳解】在中，設(shè)的對角分別為，對于A：因?yàn)?/span>，所以，又 ，所以，即，由余弦定理得，所以，化簡得，因?yàn)?/span>為的內(nèi)角，所以為鈍角，故為鈍角三角形，故A正確；對于B：在中，由余弦定理得，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），所以，所以，故B正確；對于C：在中，，，設(shè)外接圓半徑為，圓心為，則點(diǎn)在外接圓的上運(yùn)動(dòng)，則，所以 ，且，，所以，在中，由余弦定理得，即，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)最長，最長為，故C錯(cuò)誤；對于D：在中，，，同上可知點(diǎn)在外接圓的上運(yùn)動(dòng)，且圓中，如圖，，，過作于，交于，由對稱性知，故分別為，的中點(diǎn)，所以， ，所以 ，所以，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在中，若為定角，為定邊，則頂點(diǎn)在的外接圓圓弧上運(yùn)動(dòng)，由此可將一些最值問題轉(zhuǎn)化為幾何最值求解.如求面積的最大值可通過觀察得到取得最大值時(shí)的位置.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 某校有男教師80人，女教師120人，為了調(diào)查教師的運(yùn)動(dòng)量的平均值（通過微信步數(shù)），按性別比例分配進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，通過對樣本的計(jì)算，得出男教師平均微信步數(shù)為12500步，女教師平均微信步數(shù)為8600步，則該校教師平均微信步數(shù)為________.【答案】10160【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義和平均數(shù)的定義結(jié)合題意求解即可【詳解】設(shè)樣本容量為，則抽到的男教師有，女教師有，由題意可得該校教師平均微信步數(shù)為，故答案為：1016014. 在中，角A?B?C的對邊a?b?c為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)且，則___________.【答案】10【解析】【分析】由題意可設(shè)，由，可由正弦定理和余弦定求出，進(jìn)而可求出的值【詳解】由題意設(shè)，因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得，即，所以，由余弦定理得，所以，解得，所以，故答案為：1015. 如圖，在三棱錐中，平面，，已知，，則當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，求得利用可求得x的值，再分別求三棱錐的各個(gè)面面積，相加可得答案.【詳解】設(shè)，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以，，，， 所以是等腰三角形，又，所以底邊上的高為，所以，，，，三棱錐的表面積為：  ，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐表面積的求法，考查利用基本不等式求最值的問題.16. 正四棱臺(tái)的高為，，，球在該正四棱臺(tái)的內(nèi)部，則球表面積的最大值為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四棱臺(tái)上底面、下底面中心為，，設(shè)球與面，面分別切于點(diǎn)，，作出截面如圖，利用銳角三角函數(shù)求出，連接，則，利用二倍角公式正切公式求出，即可求出即為最大球的半徑，即可求出球的表面積.【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)上底面、下底面的中心為，，球在該正四棱臺(tái)的內(nèi)部，要使球的表面積盡可能大，則球與正四棱臺(tái)的盡可能多的面相切，顯然球心在上，設(shè)球與面，面分別切于點(diǎn)，，過、、、作其正四棱臺(tái)的截面如圖所示，則，， 過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，，所以，連接，則，所以，解得或，顯然為銳角，所以，則，解得，此時(shí)球的直徑為，符合題意，即正四棱臺(tái)內(nèi)的最大球的半徑，此時(shí)球與下底面、及四個(gè)側(cè)面均相切，與上底面不相切，所以球的表面積為  故答案為：四、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知平面向量的夾角為，且．（1）求（2）求【答案】（1）4    （2）【解析】【分析】（1）首先求得 的值，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可；（2）首先求得的值，然后利用平面向量模的求解公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以.【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以18. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，的周長為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形. 19. 某果園試種了A，B兩個(gè)品種的桃樹各10棵，并在桃樹成熟掛果后統(tǒng)計(jì)了這20棵桃樹的產(chǎn)量如下表，記A，B兩個(gè)品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為和，方差分別為和．A(單位kg)60504060708080809090B(單位kg)406060808050808070100 （1）分別求這兩個(gè)品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；（2）求，，，；（3）果園要大面積種植這兩種桃樹中的一種，依據(jù)以上計(jì)算結(jié)果分析選種哪個(gè)品種更合適，并說明理由．【答案】（1）詳見解析；    （2）詳見解析；    （3）選A品種，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用極差和中位數(shù)定義即可求得這兩個(gè)品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)；（2）利用平均數(shù)和方差定義即可求得，，，；（3）從平均產(chǎn)量和產(chǎn)量的穩(wěn)定程度綜合考慮選擇A品種.【小問1詳解】A品種10棵產(chǎn)量由小到大排列為，則A品種產(chǎn)量的極差為50，中位數(shù)為75；B品種10棵產(chǎn)量由小到大排列，則B品種產(chǎn)量的極差為60，中位數(shù)為75.【小問2詳解】,，，，【小問3詳解】由可得A，B兩個(gè)品種平均產(chǎn)量相等，又，則A品種產(chǎn)量穩(wěn)定，故選擇A品種.20. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，，且直線PD與底面ABCD所成的角為．（1）求證：平面平面PAC；（2）求點(diǎn)C到平面PBD的距離．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面角可得底面ABCD為正方形，進(jìn)而根據(jù)線線垂直可得線面垂直即可求面面垂直，（2）利用等體積法,結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，故為直線PD與平面ABCD所成的角，因此，又，∴∵底面ABCD為矩形，且，∴底面ABCD為正方形，∴又，而，平面PAC，∴平面PAC，又平面PBD，∴平面平面PAC，【小問2詳解】，由于,所以，設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為d，則∵，∴，解得：∴設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為．21. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；①；②；③.（2）若點(diǎn)M為外的一點(diǎn)，且，.當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求四邊形面積的取值范圍.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）選擇①②，由①和余弦定理得到，從而得到，由正弦定理和正弦和角公式得到；選擇①③，由①得到，由③和正弦定理得到；選擇②③，由③得到，由正弦定理及求出答案；（2）設(shè)，表達(dá)出四邊形面積，結(jié)合得到面積的取值范圍.【小問1詳解】選擇條件①②：化簡①式可得，由余弦定理可得，所以由②式可得，由正弦定理可得，又，所以.由正弦定理可得，③式得證.選擇條件①③：化簡①式可得，由余弦定理可得.由③式及正弦定理可得，，即，由正弦定理可得，②式得證.選擇條件②③：由③式及正弦定理可得，，即，由正弦定理可得，結(jié)合②式可得，化簡①式可得，又，①式得證.【小問2詳解】如圖所示，設(shè)，由余弦定理可得，四邊形的面積.又，所以.22. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．（1）證明：平面PAD；（2）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足，求三棱錐F?ABD的側(cè)面FBD與底面ABCD所成二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】（1）取PD的中點(diǎn)Q，進(jìn)而證明，然后根據(jù)線面平行的判定定理證明問題；（2）先根據(jù)二面角平面角的定義作出所求二面角的平面角，進(jìn)而結(jié)合“等體積法”求出相應(yīng)的線段長度，最后求得答案.小問1詳解】取PD的中點(diǎn)Q，連接AQ，EQ，則，且．又，且，，且，∴四邊形ABEQ是平行四邊形，，平面PAD，平面PAD， 平面PAD.【小問2詳解】F為棱PC上靠近P點(diǎn)的四等分點(diǎn)，理由如下：分別取AD，AC中點(diǎn)，連接，，易知四邊形為正方形，連接BM，交于點(diǎn)，則．又，，，，底面ABCD，. ，平面 ，.過F?作于點(diǎn)G，連接FG，底面ABCD ，.，平面，，即為所求二面角的平面角．易知：，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則，，易得：，．設(shè)點(diǎn)A到BD的距離為d，在中，由得：．由得：．在中，，.∴三棱錐F?ABD的側(cè)面FBD與底面ABCD所成二面角的余弦值為．  

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