一、單選題
1．已知集合 ，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，結(jié)合集合交集的運算，即可求解.
【詳解】由集合，
所以.
故選：C.
2．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，再代入中化簡即可
【詳解】因為，所以，
所以
，
故選：A
3．已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得命題p、q中x的范圍，根據(jù)p是q的充分不必要條件，即可得答案.
【詳解】命題p：因為，所以，解得，
命題q：，
因為p是q的充分不必要條件，
所以.
故選：C
4．，為兩個不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列說法中正確的個數(shù)是（ ）
①若，，則 ②若，，則
③若，，則 ④若，，，則
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項逐一求解.
【詳解】①，若，，則，①正確.
②，若，，則m，n有可能平行或異面；②不正確.
③，若，，由線面垂直的判定定理可得，，③正確.
④，若，，，因為m不一定在平面內(nèi)，所以m不一定垂直，④不正確，
故選：B.
5．數(shù)列滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，列出數(shù)列的前幾項，得到數(shù)列為周期數(shù)列，然后根據(jù)周期性求.
【詳解】因為數(shù)列滿足，
所以，，，，
則是以4為周期的周期函數(shù)，
所以，
故選：C.
6．為了激發(fā)同學們學習數(shù)學的熱情，某學校開展利用數(shù)學知識設(shè)計的比賽，其中某位同學利用函數(shù)圖象設(shè)計了如圖的，那么該同學所選的函數(shù)最有可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】將圖形置于直角坐標系中，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性即可得結(jié)果.
【詳解】將圖形置于直角坐標系中，如圖所示：
由圖易知該函數(shù)為偶函數(shù)，
對于選項B，滿足，即為奇函數(shù)，故可排除；
對于選項D，滿足，即為非奇非偶函數(shù)，故可排除；
對于選項C， ，
令，所以在恒成立，
所以在單調(diào)遞增，
所以在恒成立，
即在單調(diào)遞增，故排除；
故選：A.
7．公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一平面上.某人在點處測得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點處，測得仰角為.則（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【分析】畫出相應(yīng)圖形后計算出點到該樓的距離，結(jié)合勾股定理與正弦定義計算即可得.
【詳解】如圖所示，由題意有，，
則有，故，
則，
故，
則.
故選：A.
8．設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】結(jié)合已知要比較函數(shù)值的結(jié)構(gòu)特點,可考慮構(gòu)造函數(shù),然后結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分析出時,函數(shù)取得最大值,可得最大,然后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.
【詳解】設(shè),則,
當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,
故當時,函數(shù)取得最大值,
因為,,
,
當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,可得,
即.
故選:C
二、多選題
9．已知函數(shù)，其圖象相鄰對稱軸間的距離為，點是其中一個對稱中心，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)圖象的一條對稱軸方程是
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．將函數(shù)圖象上所有點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的一半，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到正弦函數(shù)的圖象
【答案】AB
【分析】由周期求出，由圖像的對稱性求出的值，可得的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出結(jié)論.
【詳解】已知函數(shù)（，），
其圖像相鄰對稱中軸間的距離為，故最小正周期, ，
點是其中一個對稱中心， 有，
,，由，∴，
可以求得.最小正周期，故選項正確；
由于，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸方程，故選項正確；
時，正弦曲線的先增后減，故選項錯誤；
將函數(shù)圖像上所有點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的一半，再把得到的圖像向左平移個單位長度，可得到，選項D錯誤.
故選：.
10．已知函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為，若，對任意實數(shù)x都成立，則（ ）
A．函數(shù)是周期函數(shù)
B．函數(shù)是偶函數(shù)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱
D．函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱
【答案】ABC
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與對稱性得函數(shù)的周期性，再根據(jù)導數(shù)運算確定導函數(shù)的奇偶性與對稱性即可判斷，由函數(shù)對稱性可確定函數(shù)與的圖象的對稱軸.
【詳解】解：由題為奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，由于關(guān)于對稱，所以
則，故，即，
所以，即是周期為8的周期函數(shù)，故A對；
因為，所以，即，即，
即為偶函數(shù)，故B對；
因為，∴，即，
∴關(guān)于對稱，故C對；
函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故D錯．
故選：ABC.
11．已知數(shù)列的前項和為，，，，下列說法正確的是（ ）
A．B．為常數(shù)列
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù) ，得是常數(shù)列，可確定，計算得到，從而可判斷選項.
【詳解】，則，
整理得，即，
故是常數(shù)列，
所以，即，故D選項正確.
當時，，
經(jīng)檢驗時滿足，故.
對于A選項，由，知，故A選項正確.
對于B選項，由，知，所以為常數(shù)列，故B選項正確.
對于C選項，由，知，故C選項錯誤.
故選:ABD .
12．用一個平行于正三棱錐底面的平面去截正三棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做正三棱臺，如圖，在正三棱臺中，已知，則（ ）
A．在上的投影向量為
B．直線與平面所成的角為
C．點到平面的距離為
D．正三棱臺存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球半徑為
【答案】BD
【分析】對A，借助投影向量性質(zhì)計算即可得；對B，找出線面角，計算即可得；對C，借助線面平行可得線上點到另一面的距離處處相等即可得；對D，借助三棱臺內(nèi)切球存在則半徑為高的一半計算即可得.
【詳解】在上的投影向量即為在上的投影向量，
即為，故A錯；
過作直線的垂線，交直線AC于點M，過作直線的垂線，
交直線AC于點N，連接，所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，同理可得，又，
、平面，平面，
所以直線與平面所成的角為，故B正確；
取中點，因為，所以，所以，
又平面，所以平面，
所以點到平面的距離為，，
且，
所以點到平面的距離等于點到平面的距離等，
故選項C錯；
取中點H，中點，的外心為，的外心為，
過作垂線交于點，所以，，
所以，
所以，，即，
故D正確.
故選：BD.
三、填空題
13．已知向量，，且，則 ．
【答案】
【分析】由，可得，進而可求出，再根據(jù)二倍角的正弦公式及商數(shù)關(guān)系化弦為切即可得解.
【詳解】因為向量，，且，
所以，所以，
則.
故答案為：.
14．已知是半徑為2的球的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為 .
【答案】
【分析】先求出外接圓半徑，通過球半徑和外接圓半徑結(jié)合勾股定理得出
點到平面的距離，然后再利用體積公式即可求解.
【詳解】如圖所示
由可知，是以為斜邊的直角三角形，
又知，所以，
所以的外接圓的圓心為的中點，半徑，
連接,因為點為球心，所以平面，
即的長為點到平面的距離.
在中，，
，
.
所以三棱錐的體積為.
故答案為：.
15．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是 .
【答案】4
【分析】根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義代入計算可得，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，則，令，可得，然后將代入，可得，即，所以
，當且僅當時，取等號.
所以的最小值是.
故答案為：
16．已知數(shù)列滿足，若，則 ；若，，，，則當時，滿足條件的的所有項組成的集合為 ．
【答案】
【分析】利用等比數(shù)列的求和公式可求得；由已知可得出，根據(jù)，可得出的取值范圍，即可得出滿足條件的的取值集合.
【詳解】因為，
，
當時，，所以，，
又因為，所以，，，
所以，，即，
因為，所以，滿足條件的的取值集合為.
故答案為：；.
四、解答題
17．已知矩形的對角線交于點,邊所在直線的方程為,點在邊所在的直線上.
（Ⅰ）求矩形的外接圓的方程;
（Ⅱ）已知直線,求證:直線與矩形的外接圓恒相交,并求出相交的弦長最短時的直線的方程.
【答案】解：（1）由且，點在邊所在的直線上
所在直線的方程是：即 由得
矩形ABCD的外接圓的方程是：
（2）直線的方程可化為：
可看作是過直線和的交點的直線系,即恒過定點由知點在圓內(nèi)，所以與圓恒相交，
設(shè)與圓的交點為，為到的距離）
設(shè)與的夾角為，則當時，最大，最短此時的斜率為的斜率的負倒數(shù)：，的方程為
即：
【詳解】試題分析：由且點在邊所在的直線上得直線的方程，聯(lián)立直線方程得交點的坐標，則題意可知矩形外接圓圓心為，半徑，可得外接圓方程；（２）由可知恒過點，求得，可證與圓相交，求得與圓相交時弦長，經(jīng)檢驗，時弦長最短，可得，進而得，最后可得直線方程．
試題解析：（1）∵且，∴，點在邊所在的直線上，
∴所在直線的方程是，即．
由得．
∴，∴矩形的外接圓的方程是．
（2）證明：直線的方程可化為，
可看作是過直線和的交點的直線系，即恒過定點，
由知點在圓內(nèi)，所以與圓恒相交，
設(shè)與圓的交點為（為到的距離），
設(shè)與的夾角為，則，當時，最大，最短．
此時的斜率為的斜率的負倒數(shù)，即，故的方程為，即．
【解析】圓的標準方程；直線與圓相交．
18．在中，角、、的對邊分別為、、，若．
(1)求證：；
(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由可換成正弦值相等，利用三角恒等變換、正余弦定理求解.
（2）已知，可求出的值，再由（1）可求出，再由正余弦定理可解三角形.
【詳解】（1），
，
或
當時，，，即，
綜上
（2），，，
，
，
設(shè)，，，，
在中：
，
19．已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.
(1)求a，b的值；
(2)令，若對，都有，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，由此求得的值.
（2）利用換元法化簡的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得，再由來求得的取值范圍.
【詳解】（1）∵，又是奇函數(shù)，∴，，
∴解得，∴.
經(jīng)驗證，函數(shù)定義域為，
成立，滿足要求，所以，.
（2）由題意知，令，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，
∵函數(shù)的對稱軸為，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當時，；當時，；
即，
又∵對都有恒成立，
∴，即，解得，
又∵，∴.
20．把矩形以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)180°，得到幾何體如圖所示.其中等腰梯形為下底面的內(nèi)接四邊形，且，點G為上底面一點，且，.

(1)若P為的中點，求證：平面；
(2)設(shè)，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明即可；
（2）空間向量法求線面角正弦值計算求參可得.
【詳解】（1）證明：因為為直徑，
所以，
因為平面，平面
所以，
因為,平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
因為，P為的中點，所以，
因為，平面,平面,
所以平面
（2）因為等腰梯形為底面半圓的內(nèi)接四邊形，，
所以，
所以，
如圖，以為坐標原點，在底面半圓過點垂直于平面作直線為x軸，
分別以，為y，z軸建立空間直角坐標系，
由于，，由（1）可知，
故，，，，，
則，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，即
令，則，
由，，，
可得，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，，
則，
即得，
解得或，符合，
故或
21．已知等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足，.
(1)求的通項公式：
(2)設(shè)數(shù)列滿足，
①求前項中所有奇數(shù)項和，②若的前n項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，由數(shù)列的遞推公式求通項公式；
（2）①用裂項求和法求數(shù)列的奇數(shù)項的和；②用分組求和法求數(shù)列的前項的和，再得出不等式的結(jié)論.
【詳解】（1）因為，所以，且，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，
所以的通項公式為；
（2）①設(shè)的公差為，因為，，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以
②所以，
所以，
所以，
又因為，所以.
22．已知函數(shù).
(1)當時，討論函數(shù)零點的個數(shù)；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）對函數(shù)求導，通過討論函數(shù)單調(diào)性決定函數(shù)零點個數(shù)即可；
（2）首先將原不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性判斷出，從而求解取值范圍即可.
【詳解】（1）由得，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且無限趨近于0時，，
又，故只有1個零點；
當時，令，解得，令，解得，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
所以當時，取得最小值，
當時，，所以函數(shù)無零點，
當時，恒成立，所以函數(shù)無零點，
綜上所述，當時，無零點，當時，只有一個零點；
（2）由已知有，所以，
所以，
構(gòu)造函數(shù)，則原不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
，記，所以，
令，解得，令，解得，
故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，所以，即單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，則，
令，解得，令，解得，
故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
故的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：導函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標準，及分類是否全面，都是需要思考的地方.

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