一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合A，B，再求兩集合的交集即可
【詳解】解：由得，
因為恒成立，所以，即.
由函數(shù)有意義，得，即.
所以.
故選：B
2．函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用反函數(shù)以及對數(shù)的運算性質(zhì)求解.
【詳解】因為的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，
所以，所以，
故A，B，D錯誤.
故選：C.
3．已知銳角滿足．若要得到函數(shù)的圖象，則可以將函數(shù)的圖象（ ）．
A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度
【答案】A
【解析】由可得，代入化簡得，即可知如何平移得到.
【詳解】由知：，即，
∴銳角，故，
又，
∴，故是將向左平移個單位長度得到，
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：由輔助角公式化簡已知條件求銳角，根據(jù)的函數(shù)式，應(yīng)用二倍角、誘導公式將化為正弦型函數(shù)，即可判斷圖象的平移方式.
4．已知命題：不等式的解集為，則實數(shù)；命題 “”是“”的必要不充分條件，則下列命題正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的解集為的條件，可判斷出的真假． 不等式解得或，是否是的必要不充分條件，可判斷出的真假，再利用復合命題真假的判定方法即可得出．
【詳解】命題：不等式的解集為，時，可得恒成立；時，可得：，解得，綜上可得：實數(shù)，因此是假命題；
命題，解得或．因此“”是“”的必要不充分條件，是真命題．
選項中命題正確的只有．
故選：D．
5．函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取，此時，可排除A、C、D.
【詳解】因為，所以取，此時，時，，時，，故只有B符合題意.
故選：B.
6．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足.若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期，結(jié)合函數(shù)的周期以及等量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，，
令，有，
所以得到，故是以4為周期的周期函數(shù)．
則
由，故．
則．
函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，有， 由，∴．
故．
故選：C
7．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先比較得大小，再由，即可得出答案.
【詳解】因為則而，故，又.故，所以.
故選：D.
8．設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：
①在（）有且僅有3個極大值點
②在（）有且僅有2個極小值點
③在（）單調(diào)遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結(jié)論的編號是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】本題為三角函數(shù)與零點結(jié)合問題，難度大，通過整體換元得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案．
【詳解】當時，，
∵f（x）在有且僅有5個零點，
∴，
∴，故④正確，
由，知時，
令時取得極大值，①正確；
極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；
因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，
當時，，
若f（x）在單調(diào)遞增，
則 ，即 ，
∵，故③正確．
故選D．
【點睛】極小值點個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需認真計算，易出錯，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問題，屬于中檔題．
9．已知函數(shù)則（ ）
A．在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于中心對稱
B．在R上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于中心對稱
C．在R上單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于中心對稱
D．在R上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于中心對稱
【答案】D
【分析】求得在R上的單調(diào)性和圖象的對稱中心即可解決.
【詳解】當時，，
當時，，
時，，
即對任意實數(shù)x恒有，，故圖象關(guān)于中心對稱；
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞增，且圖像連續(xù)，
故在R上單調(diào)遞增，
故選：D.
10．按如圖連接圓上的五等分點，得到優(yōu)美的“五角星”，圖形中含有很多美妙的數(shù)學關(guān)系式，例如圖中點H即為弦的黃金分制點，其黃金分割比為，且五角星的每個頂角都為36°等.由此信息你可以求出的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用圖形的對稱性在正五角星中構(gòu)造頂角的角平分線，得到18°的角，根據(jù)已知比值，利用直角三角形中的邊的比值計算并化簡的值即得.
【詳解】如圖所示，設(shè)BE與AD交于點F,G為線段FH的中點，由正五角星的對稱性可知：
∠AGH為直角，∠GAH=18°.
設(shè)BH=,則HE=2,FE=AH=BH=,
,
,
故選：C.
【點睛】本題考查利用圖形的對稱性和已知黃金分割比，構(gòu)造與圖形相關(guān)的特定的，并在直角三角形中利用比值求特定角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是利用對稱性構(gòu)造正五角星的角平分線得到所求得角，注意正確利用分母有理化化簡結(jié)論.
11．若對任意的，，，恒成立，則a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，只需使在上遞減，則在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范圍.
【詳解】因為，所以，則可化為，
整理得，因為，所以，
令，則函數(shù)在上遞減，
則在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，則在上恒成立，
則在上遞減，所以，
故只需滿足：.
故選：A.
【點睛】本題考查導數(shù)與不等式問題，考查構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，難度較大. 解答時，針對原式進行等價變形是關(guān)鍵.
12．在給出的①；②；③．三個不等式中，正確的個數(shù)為（ ）
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】C
【分析】令利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而判斷①，再由，即可判斷②，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，再由，即可判斷③；
【詳解】解：令，則，
所以當時，即在上單調(diào)遞增，當時，即在上單調(diào)遞減；
因為，所以，即，即，故①錯誤；
因為，所以，即，所以，即，故②正確；
再令，則，所以當是，即在上單調(diào)遞增，所以，則，即，
又，，所以，即，即，所以，即，所以，即，故③正確；
故選：C
二、填空題
13．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)___________.①是定義域為的奇函數(shù)；②；③.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)滿足的條件寫出一個函數(shù)即可.
【詳解】由條件①②③可知函數(shù)對稱軸為，定義域為R的奇函數(shù)，可寫出滿足條件的函數(shù).
故答案為：（答案不唯一）
14．如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點)上滑動，則的最大值是________．
【答案】2
【分析】取中點為，將轉(zhuǎn)化為的表達式，求的最大值即可.
【詳解】如圖，取BC的中點M，AD的中點N，連接MN，ON，
則，
又OMON＋NM＝AD＋AB＝，
當且僅當O，N，M三點共線時取等號．
所以的最大值為2．
故答案為：2.
15．已知函數(shù)的定義域為R，且，則______
【答案】-3
【分析】先根據(jù)題意求得函數(shù)的周期為6，再計算一個周期內(nèi)的每個函數(shù)值，由此可得解．
【詳解】令，則，即，
，，兩式相加，
得，則，
的周期為6，
令，得，由解得，
又，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：-3
16．已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在只有一個實數(shù)根，進而轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上沒有實數(shù)根，得出與的圖象在上沒有交點，利用導數(shù)求得的單調(diào)性與最值，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù)，
可得，
因為函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個極值點，
所以在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)根，
即方程在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)根，
因為時方程的根，
所以方程在區(qū)間上沒有實數(shù)根，
即方程在區(qū)間上沒有實數(shù)根，
等價于與的圖象在上沒有交點，
又由，所以在上單調(diào)遞增，
所以，且當時，，
所以，即實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
三、解答題
17．已知，非空集合.若是的必要條件，求m的取值范圍.
【答案】
【分析】若是的必要條件，等價于是的必要條件，有，利用集合包含關(guān)系求m的取值范圍.
【詳解】不等式解得，∴，
若是的必要條件，等價于是的必要條件，即，所以， 有，解得，
故m的取值范圍是.
18．已知函數(shù)
(1)求在點處的切線方程．
(2)求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程；
（2）首先求出兩函數(shù)的交點坐標，再利用定積分及微積分基本定理計算可得；
【詳解】（1）解：因為，所以，所以切線的斜率，
切線過點，切線的方程為，即．
（2）解：由題知，即解得或，即或或，
直線與曲線于
則所求圖形的面積
19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（b-a)csC=ccsA.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求△ABC的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結(jié)合，可求的值，結(jié)合，可求的值；
（2）利用余弦定理化角為邊可求的值，結(jié)合已知利用三角形的面積公式即可計算得解．
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理可得，
即，
因為，
故，
因為，
故；
（2）解：因為，
，
整理可得，可得，
又，
所以．
20．某公園為了吸引更多的游客，準備進一步美化環(huán)境．如圖，準備在道路AB的一側(cè)進行綠化，線段AB長為4百米，C，D都設(shè)計在以AB為直徑的半圓上．設(shè)．
（1）現(xiàn)要在四邊形ABCD內(nèi)種滿郁金香，若，則當為何值時，郁金香種植面積最大；
（2）為了方便游客散步，現(xiàn)要鋪設(shè)一條棧道，棧道由線段BC，CD和DA組成，若BC＝CD，則當為何值時，棧道的總長l最長，并求l的最大值（單位：百米）．
【答案】（1）當時，郁金香種植面積最大；（1）當為時，棧道的總長l最長，l的最大值為6百米.
【分析】(1)求出利用三角形的面積公式可得四邊形ABCD關(guān)于的函數(shù)，利用三角函數(shù)的恒等變換可以得到“一角一函”的形式,然后根據(jù)角的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得面積最大值；
(2)利用余弦定理求得關(guān)于的三角函數(shù)，相加可求出關(guān)于的三角函數(shù)表達式，利用二倍角公式和換元思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，進而求解.
【詳解】解：(1)
∵線段AB長為4百米，所以圓的半徑為2百米，即,
當時，由三角形的面積公式得：
，
，則，
，當，即時取等號，
∴當時，取得最大值，
當時，郁金香種植面積最大；
(2)由余弦定理得：
，，
，
令，∵，∴，
，
，即時，的最大值為6.
故當為時，棧道的總長l最長，l的最大值為6百米.
21．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)時，設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
【分析】(1)求導數(shù)，分類討論由和，解得單調(diào)區(qū)間.
（2）問題轉(zhuǎn)化為在的值域和在的值域滿足：，
分別求兩個函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域，可解得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）定義域為，，
當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當時，時恒成立，時恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上述，當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由已知，問題轉(zhuǎn)化為在的值域和在的值域滿足：，
二次函數(shù)，圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在的值域.
由(1)可知，當時，在上單調(diào)遞增，故值域.
所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
22．已知函數(shù)，其中.
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)存在兩個極值點，當時，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題知在上恒成立，進而在上恒成立，再求函數(shù)的最小值即可得答案.
（2）先求得，利用換元法表示出，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導數(shù)，結(jié)合來求得的取值范圍.
【詳解】（1）解：因為，所以，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
故令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，即的取值范圍是.
（2）解：，
對函數(shù)，設(shè)上一點為，
過點的切線方程為，
將代入上式得，
所以過的的切線方程為.
所以，要使與有兩個交點，則，
此時有兩個極值點，且.
，
令，則，
所以，
所以，即
所以，
令，
令，
所以在上遞增.
因為，所以在上恒成立.
所以在上恒成立.
所以在上遞增.
，
所以當時，，
所以的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)題意，求函數(shù)過點的切線斜率，進而得，再結(jié)合極值點的定義得，進而換元，求出，再構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性得并結(jié)合得答案.

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