2023屆江西省宜春市豐城中學高三（7-22班）上學期第二次段考數(shù)學（理）試題含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

2023屆江西省宜春市豐城中學高三（7-22班）上學期第二次段考數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知為全體實數(shù)集，集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出集合，然后利用集合間的交運算和補運算即可求解.【詳解】因為，當且僅當時，不等式取等號，所以，因為，所以或，故.故選：C.2．在中，向量與滿足，且，則為（）A．等邊三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可知角的角平分線與垂直，可得，再由向量夾角公式得，得，求出即可得的形狀.【詳解】，分別為向量與的單位向量，因為，所以角的角平分線與垂直，所以是等腰三角形，且，由，，所以，所以，可得，所以是等腰直角三角形.故選：D.3．已知，則（）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系將弦化切，再代入即可.【詳解】解：因為，所以.故選：D4．如下圖，一個“心形”由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”上部分的函數(shù)解析式可能為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)心形”上部分的函數(shù)圖象關于y軸對稱，排除部分選項，再根據(jù)函數(shù)的最大值判斷.【詳解】由函數(shù)圖象知：“心形”上部分的函數(shù)圖象關于y軸對稱，而，，不滿足；的圖象過（0，0），（-2，0），（2，0），當時，，當且僅當，即時，等號成立，不符合要求；的圖象過（0，0），（-2，0），（2，0），當時，，當時，函數(shù)取得最大值1，符合要求；故選：C5．一個至少有3項的數(shù)列中，前項和是數(shù)列為等差數(shù)列的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用與的關系和等差數(shù)前n項和的公式，結(jié)合充分性和必要性的定義即可得出答案．【詳解】解：若，則當時，，兩式相減得，，即①，當時，②，①②得，，，數(shù)列為等差數(shù)列，充分性成立，若數(shù)列為等差數(shù)列，則顯然成立，必要性成立，前項和是數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件，故選：C．6．數(shù)學家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學家費馬于1640年提出了 (n＝0,1,2，…)是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學家歐拉算出，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設，表示數(shù)列的前項和，若，則（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】利用數(shù)列的遞推關系求得通項公式，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果．【詳解】因為 (n＝0,1,2，…)，所以，所以{an}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2，所以Sn＝＝2n－1所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6，故選：B7．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證明，，再證明，即得解.【詳解】因為，又，所以，又，所以，因為，所以，因為，所以.故選：D.8．函數(shù)在內(nèi)存在極值點，則( )A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】求函數(shù)在內(nèi)存在極值點的的的取值范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在無極值點時的的取值范圍，然后求其補集，即可求解.【詳解】由題意，所求的取值范圍為函數(shù)在無極值點時的的取值范圍在上的補集，若函數(shù)在無極值點，則或在恒成立，①當在恒成立時，即在時恒成立，不妨令，易知在上單調(diào)遞減，故，即；②當在恒成立時，即在時恒成立，故，即綜上所述，函數(shù)在無極值點時，的取值范圍，其在上的補集為，故函數(shù)在時有極值點時，的取值范圍為.故選:A．9．已知在等差數(shù)列中，，，前項和為，等比數(shù)列滿足，，前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設等比數(shù)列的公比為，因為，，，，所以，通過計算，即可.【詳解】法一：設等比數(shù)列的公比為，則由題意可得，數(shù)列單調(diào)遞增，又，所以．法二：不妨取，則等比數(shù)列的公比，所以，，顯然故選：A．【點睛】方法點睛：本題運用等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本性質(zhì)，用表示；除外也可以將等差數(shù)列和等比數(shù)列與函數(shù)圖像結(jié)合進行分析.10．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學家程大位（1533-1606年）所著．程少年時，讀書極為廣博，對書法和數(shù)學頗感興趣．20歲起便在長江中下游一帶經(jīng)商，因商業(yè)計算的需要，他隨時留心數(shù)學，遍訪名師，搜集很多數(shù)學書籍，刻苦鉆研，時有心得，終于在他60歲時，完成了《算法統(tǒng)宗》這本著作．該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"根據(jù)詩詞的意思，可得塔的最底層共有燈（）A．192盞 B．128盞 C．3盞 D．1盞【答案】A【分析】設這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，再結(jié)合等比數(shù)列前項和公式計算即可.【詳解】設這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈．故選：A．11．已知函數(shù)對任意都有，若在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡函數(shù)，對于任意，都有得到，確定和的值，再根據(jù)在上的值域為，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定的取值范圍.【詳解】依題意，其中，又因為對于任意，都有，則有，即解得，則，取，則，因為在上的值域為，則，解得．故本題正確答案為A．【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)以及輔助角公式，由得到是解題的關鍵，難度比較大.12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為A．1 B． C．1 D．【答案】D【解析】首先根據(jù)條件解△ABC可得：C和△ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標系，可得：.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sinθ，即可得解.【詳解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+cosB），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化為：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圓的半徑R .如圖所示，建立直角坐標系.A（，0），B（，0），O（0，）.△ABC外接圓的方程為：x2.設C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）則G.|OG|2sinθ，∴|OG|的最小值為：.故選：D.【點睛】本題考查了解三角形，考查了外心和重心的概念，考查了較強的計算能力，解決該類問題常用如下方法：（1）根據(jù)條件，利用正、余弦定理直接解三角形；（2）利用向量，結(jié)合向量的數(shù)量積進行求解；（3）建立直角坐標系，利用坐標進行求解. 二、填空題13．在菱形中，，，，則___________.【答案】【分析】利用向量加減法的幾何意義可得、，再應用向量數(shù)量積的運算律及已知條件求即可.【詳解】由題意，.故答案為：14．的值__________.【答案】1【分析】由，結(jié)合輔助角公式可知原式為，結(jié)合誘導公式以及二倍角公式可求值.【詳解】解： .故答案為:1.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關系，考查了二倍角公式，考查了輔助角公式，考查了誘導公式.本題的難點是熟練運用公式對所求式子進行變形整理.15．騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為的等邊三角形，設點為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，的最大值為___________.【答案】【分析】由題意以所在的直線為軸，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，將所涉及的點的坐標求出，其中點坐標借助于三角函數(shù)表示，則所求的結(jié)果即可轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解.【詳解】由題意圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為的等邊三角形，點為后輪上的一點，如圖以所在的直線為軸，以點為坐標原點建立平面直角坐標系：則，，.圓的方程為，設，所以，，故.故答案為：.16．已知數(shù)列的首項是，前項和為，且，設，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的最小值為__________．【答案】【詳解】試題分析：由可知，當時，，兩式相減得：,所以，又，，所以，，所以數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列，故，所以，所以，故，即的最小值為．【解析】1．與的關系；2．遞推公式與通項公式求法；3．等比數(shù)列定義與性質(zhì)；4基本不等式．【方法點睛】本題綜合考查數(shù)列通項與前項和的關系、由遞推關系求數(shù)列通項公式、等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義性質(zhì)、基本不等式等知識，屬難題．解題時，首先由數(shù)列通項與前項和的關系得到數(shù)列的遞推關系，再構(gòu)造等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式，進一步求出數(shù)列的通項公式，從而可求數(shù)列通項公式，代入所求式子，分子、分母同除以構(gòu)造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的最小值．三、解答題17．已知命題，命題p為真命題時實數(shù)a的取值集合為A．（1）求集合A；（2）設集合，若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）由一元二次方程有實數(shù)解，即判別式不小于0可得；（2）由?列出不等關系，求解即可.【詳解】（1）命題為真命題，則，得∴.（2）∵是的必要不充分條件，∴?.∴得18．已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求的通項公式；（2），，求前10項和為【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由基本量法求得首項和公差，可得通項公式；（2）用分組求和法求和．【詳解】（1）設公差為，由，解得，所以；（2）由（1）得，，所以．【點睛】本題考查求等差數(shù)列的通項公式，分組求和法求和．數(shù)列求和的常用方法：設數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應用公式求和；（2）錯位相減法：數(shù)列的前項和應用錯位相減法；（3）裂項相消法；數(shù)列（為常數(shù)，）的前項和用裂項相消法；（4）分組（并項）求和法：數(shù)列用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負相間等特征時可能用并項求和法；（5）倒序相加法：滿足（為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和．19．在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1，0)和點B(－1，0)，，且∠AOC＝θ，其中O為坐標原點．（1）若θ＝，設點D為線段OA上的動點，求的最小值；（2）若，向量，求的最小值及對應的θ值．【答案】（1）；（2）的最小值為，此時.【分析】（1）設出點坐標，求得的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值.（2）結(jié)合向量數(shù)量積的運算、三角恒等變換、三角函數(shù)最值的求法求得的最小值及對應的θ值.【詳解】（1）設D(t，0)(0≤t≤1)，由題意知，所以，所以，所以當時，最小，最小值為.（2）由題意得，，則＝=1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝,因為，所以，所以當，即時，取得最大值1，取得最小值.所以的最小值為，此時.20．在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知．（1）求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．（可能會用到的公式：，）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)和余弦定理，化簡得到，再由正弦定理，得到，求得，結(jié)合為銳角三角形，列出方程組，即可求解；（2）由（1）和及正弦定理，得到，結(jié)合，即可求解．【詳解】（1）在中，由，可得，又由余弦定理得，可得，由正弦定理可得，因為，所以，所以，又因為為銳角三角形，可得，解得，即的取值范圍是．（2）因為，由正弦定理，所以由（1）知，且，可得，因為，所以，可得，即，所以的取值范圍是．21．我國南宋時期的數(shù)學家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開始，首尾兩數(shù)為，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來的順序排列得一數(shù)列：，，，，，…，寫出與的遞推關系，并求出數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列滿足，設數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【分析】（1）首先找出遞推關系，利用遞推關系即可計算出數(shù)列的通項公式.（2）根據(jù)數(shù)列的通項公式帶入求出列的通項公式，從而求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消即可求出即可計算實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：（1）由“楊輝三角”的定義可知：，時，所以有故（2）數(shù)列滿足，①當時，，②得：，故：，滿足上式，所以，數(shù)列滿足：，則：，由于恒成立，故：，整理得：，因為在上單調(diào)遞減，故當時，，所以．22．已知函數(shù)，是的導數(shù)，且．（1）求a的值，并判斷在（0，＋∞）上的單調(diào)性；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間[-π，0]內(nèi)的零點個數(shù)．【答案】（1），單調(diào)遞減；（2）答案見解析.【分析】（1）根據(jù)求得參數(shù)a的值，接著根據(jù)導數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）對方程進行變形，構(gòu)造函數(shù)，求導判斷其單調(diào)性，最后根據(jù)零點存在定理求解；【詳解】解：（1）在上單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減.（2）法1：為一個零點；不是零點，所有時，令，令在上單調(diào)遞增，，時，單調(diào)遞增，所以時，單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)為2個. 法2：記時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，為在區(qū)間內(nèi)的零點.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．

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