一、單選題
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，求得或，結(jié)合集合并集概念及運算，即可求解.
【詳解】由不等式，可得或，
即或，
又由，
所以或.
故選：B.
2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算及共軛復(fù)數(shù)概念求解.
【詳解】因為，
所以，
故選：C
3．已知向量，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題得，列出方程求出m的值，從而，利用模長的坐標(biāo)公式即可求出．
【詳解】已知向量，，若，
則
解得：，所以，
故，
故選：A．
4．已知是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求導(dǎo)后，得導(dǎo)函數(shù)的零點，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在兩邊的導(dǎo)數(shù)符號，確定函數(shù)單調(diào)性，從而確定是否在處取到極大值，即可求得的范圍.
【詳解】，則，，
當(dāng)時，令得或，令得，
此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
符合是函數(shù)的極大值點；
當(dāng)時，恒成立，函數(shù)不存在極值點，不符合題意；
當(dāng)時，令得或，令得，
此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
符合是函數(shù)的極小值點，不符合題意；
綜上，要使函數(shù)在處取到極大值，則實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
5．設(shè)，，為實數(shù)，且，則下列不等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】A選項，舉出反例；B選項，作差法比較出大小關(guān)系；CD選項，利用不等式的性質(zhì)得到答案.
【詳解】A選項，當(dāng)時，，A錯誤；
B選項，，
因為，所以，則，
故，，B錯誤；
C選項，兩邊同乘以得，
兩邊同乘以得，
故，C正確；
D選項，因為，所以，
兩邊同除以得，D錯誤.
故選：C
6．若，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由利用倍角公式得，再由同角平方關(guān)系得，
又，利用兩角和的正弦公式可得.
【詳解】，
因為，，又，所以，
故，故，
，
故選：D
7．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線的定義可得，，，進而根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式得出.在中，由余弦定理可得出方程，整理化簡即可得出的關(guān)系式.
【詳解】
如圖，不妨設(shè)點P為與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線的交點.
由已知結(jié)合雙曲線的定義可得，
所以，，，，且為銳角.
又，，
所以，.
又，
在中，由余弦定理可得
，
整理可得，，
所以，.
故選：B.
8．若函數(shù)與的圖象有且僅有一個交點，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將條件與只有1個交點轉(zhuǎn)換為函數(shù)只有1個零點，參數(shù)分離求出a，再構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解即可.
【詳解】函數(shù)與的圖象有且僅有一個交點，
即只有一個零點，即只有一個零點.
令，則，.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，并且.
所以，，.
函數(shù)的大致圖象如圖
因為，所以.
原不等式，即.
令，
顯然時，該函數(shù)為增函數(shù)，且，
所以，的解集為.
故選：D.
二、多選題
9．若“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】先求得根據(jù)不等式的解集，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.
【詳解】由不等式，可得或，
因為是的必要不充分條件，可得或，
解得或，即實數(shù)的取值范圍為，
結(jié)合選項，可得A、D符合題意.
故選：AD.
10．下列說法正確的是（ ）
A．若直線與直線互相垂直，則
B．直線的傾斜角的取值范圍是
C．過點作圓：的切線，則切線的方程為
D．圓與圓的公共弦長為
【答案】BD
【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程求，確定A的真假；先求斜率，根據(jù)斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍，可判斷B的真假；先判斷點與圓的位置關(guān)系，確定切線的條數(shù)，可判斷C的真假；先求公共弦所在的直線方程，再用幾何法求弦長，可判斷D的真假.
【詳解】對A：因為兩直線垂直，所以：，可得或，故A錯誤；
對B：由直線方程可得，直線斜率，故傾斜角的取值范圍為：.故B正確；
對C：因為，所以點在圓：外，故過的切線有兩條，故C錯誤；
對D：兩個圓的方程相減，得兩圓公共弦所在直線方程為：，
又圓可化為：，得圓心，半徑為，
圓心到公共弦的距離為，
所以半弦長為，故弦長為 .故D正確.
故選：BD
11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調(diào)遞增
B．為函數(shù)圖象的一條對稱軸
C．將的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若在上的最大值為，則的最大值為
D．在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】BCD
【分析】根據(jù)三角恒等變化化簡，即可根據(jù)整體法求解A，根據(jù)平移求解C，代入驗證求解C,根據(jù)零點求解D.
【詳解】由可得，
對于A，當(dāng)，則，故在上單調(diào)遞減，故A錯誤，
對于B，當(dāng)時，，故B正確，
對于C，，當(dāng)，則，
由于在上的最大值為，所以，故，故的最大值為，C正確，
對于D，令,則，可得，
故的正零點有，要使在上有3個零點，
則，故D正確，
故選：BCD
12．定義域為的函數(shù)滿足以下條件：①，；②；③，使得．則（ ）
A．B．為奇函數(shù)
C．函數(shù)圖象的一個對稱中心為D．
【答案】ACD
【分析】賦值，令可求的值；令，可判斷函數(shù)的奇偶性；令，可判斷函數(shù)的周期性；綜合周期性和對稱性可判斷對稱中心.
【詳解】A項，令代入得，，
因為，所以，所以A項正確；
B項，令，代入得，
，即，所以，
所以為偶函數(shù)，所以B項錯誤；
D項，令，代入得，
，因為，使得，
所以，即，
所以，所以D項正確；
C項，由D項可知，，，
兩式相加得，，因為為偶函數(shù)，
所以，所以得到對稱中心為，所以C項正確.
故選：ACD.
三、填空題
13．已知圓經(jīng)過點，，且圓心在軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【分析】首先分析題意，利用圓的基本性質(zhì)即可得出答案.
【詳解】設(shè)圓心為，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將代入圓的方程中，，解得
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
故答案為：.
14．已知，且，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)題意，得到，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由，可得，
因為，可得，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
15．已知在中，，，，為線段上任意一點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】設(shè)，，得到，求出取值范圍.
【詳解】設(shè)，，則，
故
，
因為，所以，
故，.
故答案為：
16．已知定義在上的函數(shù)滿足：為偶函數(shù)，且，函數(shù)，則當(dāng)時，函數(shù)的所有零點之和為 .
【答案】
【分析】由題意畫出的圖象，由圖知，均關(guān)于對稱，有10個交點，根據(jù)對稱性求出函數(shù)的所有零點之和.
【詳解】因為為偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱，
當(dāng)時，，
可知當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
函數(shù)為的圖象向右平移個單位，
的圖象如下圖所示，
均關(guān)于對稱，有10個交點，
所以函數(shù)的所有零點之和為：.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題．它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面．一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問題時，可考慮數(shù)形結(jié)合法．運用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導(dǎo)致錯誤的選擇．
四、解答題
17．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且時，．
(1)求時，函數(shù)的解析式；
(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出時的解析式；
（2）先得到函數(shù)在R上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，得到對任意恒成立，只需，求出，得到答案.
【詳解】（1）設(shè)，則，
時，．
，
是定義在R上的奇函數(shù)，
，
故，；
（2）等價于，
時，單調(diào)遞減，
又為定義在R上的奇函數(shù)，故在R上為減函數(shù)，
所以對任意恒成立，
即對任意恒成立，
只需，
，，
，
，即實數(shù)的取值范圍是．
18．已知橢圓的左焦點為，且經(jīng)過點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作傾斜角為的直線，直線與橢圓相交于A，B兩點，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）解法1：根據(jù)題意，得到的方程為，聯(lián)立方程組得到，利用弦長公式求得弦長，及點到直線的距離，利用三角形的面積公式，即可求解；
法二：根據(jù)題意，得到的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）解：由橢圓的左焦點為，且經(jīng)過點，
可得，解得，所以橢圓的方程為.
（2）解法1：由過點作傾斜角為的直線，可得直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得
設(shè)，可得且，
所以
=，
又由點到直線的距離為，
所以.
法二：由題意，可得直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
設(shè)，可得且，
所以.
19．如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)已知，為邊上的一點，若，，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式，化簡得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）在中 ，利用余弦定理，求得，得到，進而求得，進而求得，再在中，利用正弦定理，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理得，
因為，可得，所以，
即，所以，
又因為，可得，所以，可得.
（2）解：在中 ，由余弦定理得
，所以，
因為且，所以，
所以，
又因為，所以，
所以 ，
在中，由正弦定理得， 即，解得.
20．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，，平面底面，直線與底面所成的角為．
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）通過證明平面，來證得平面平面；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得二面角的余弦值．
【詳解】（1），，，
，，
平面底面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
直線與底面所成的角為，
，，，
底面為平行四邊形，，，
，
即，解得，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
，，，，
，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
取，得，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
取，得，
.
設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，
則，
二面角的余弦值為．
21．隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質(zhì)人才的需求不斷擴大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，年的考研人數(shù)是萬人，年考研人數(shù)是萬人.某省統(tǒng)計了該省其中四所大學(xué)年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：
(1)已知與具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)假設(shè)該省對選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放萬元的補貼.
（i）若該省大學(xué)年畢業(yè)生人數(shù)為千人，估計該省要發(fā)放多少萬元的補貼？
（ii）若A大學(xué)的畢業(yè)生中小江、小沈選擇考研的概率分別為p、2p－1，該省對小江、小沈兩人的考研補貼總金額的期望不超過萬元，求p的取值范圍.
參考公式：，.
【答案】(1)
(2)（i）5028萬元（ii）
【分析】（1）利用題中的數(shù)據(jù)代入?yún)⒖脊?，即求出線性回歸方程；
（2）（i）直接將將x=120代入（1）中所求的線性回歸方程計算即可；
（ii）先求出小江、小沈兩人中考研人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再求出考研補貼的總期望，根據(jù)題意列出不等式組求解p的范圍.
【詳解】（1）由題意得，，
又，

，
，
，
所以，
故得y關(guān)于x的線性回歸方程為；
（2）（i）將x=120代入，
估計該省要發(fā)放補貼的總金額為（萬元）；
（ii）設(shè)小江、小沈兩人中選擇考研的人數(shù)為，則的所有可能值為、、，
，
，
，
，
，可得，
又因為，可得，
故.
22．已知函數(shù).
(1)若在上為單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若，記的兩個極值點為，記的最大值與最小值分別為，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解；
（2）由（1）知是的兩個根，得到，求得，化簡得到，令，結(jié)合在上為減函數(shù)，求解在上為減函數(shù)，求得最大值與最小值，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得其定義域為，
且，
因為為單調(diào)減函數(shù)，所以對在恒成立，
即在恒成立，
當(dāng)時，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，
即實數(shù)的取值范圍為.
（2）解：由（1）知是的兩個根，可得，，不妨設(shè)，
則，
因為，所以t為關(guān)于的減函數(shù)，所以，
由
，
令，則，
因為當(dāng)時，，可得，
所以在上為減函數(shù)，
所以當(dāng)時，，
從而，所以在上為減函數(shù)，
所以，
所以當(dāng)時，.
【點睛】方法策略：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（最值）及不等式的恒成立問題的求解策略：
1、分離參數(shù)法：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，一端是變量的表達式的不等式，轉(zhuǎn)化為求解含有變量的表達式對應(yīng)的函數(shù)的最值問題，進而求得參數(shù)的范圍；
2、構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)不等式的恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進而得出相應(yīng)的含參數(shù)的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍；
3、圖象法：畫出不等式對應(yīng)的函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，確定函數(shù)的極值點或最值點的位置，進而求得參數(shù)的取值范圍.
A大學(xué)
B大學(xué)
C大學(xué)
D大學(xué)
年畢業(yè)人數(shù)（千人）
年考研人數(shù)（千人）

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