知識點01：等比數(shù)列的概念
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示()
符號語言（或者）(為常數(shù)，，)
知識點02：等比中項
如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項．即：是與的等比中項?，，成等比數(shù)列?.
【即學(xué)即練1】（2023秋·福建漳州·高二?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由，∴．
故選：D
知識點03：等比數(shù)列的通項公式
一般地，對于等比數(shù)列的第項有公式.這就是等比數(shù)列的通項公式，其中為首項，為公比．
知識點04：等比數(shù)列的單調(diào)性
已知等比數(shù)列的首項為，公比為
1、當(dāng)或時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；
2、當(dāng)或時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；
3、當(dāng)時，等比數(shù)列為常數(shù)列（）
4、當(dāng)時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列.
【即學(xué)即練2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知為等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件
C．既不充分也不必要條件D．充要條件
【答案】A
【詳解】當(dāng)公比且時，，，此時，，不遞增，充分性不成立，
當(dāng)?shù)缺葦?shù)列為遞增數(shù)列時，，顯然必要性成立.
綜上所述：“”是“為遞增數(shù)列”的必要而不充分條件.
故選：A
知識點05：等比數(shù)列的判斷（證明）
1、定義：（或者）（可判斷，可證明）
2、等比中項法：驗證（特別注意）（可判斷，可證明）
3、通項公式法：驗證通項是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)（只可判斷）
知識點06：等比數(shù)列常用性質(zhì)
設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和．
（1）
(2)若，則，其中.特別地，若，則，其中.
(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為().
(4)若數(shù)列，是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列，和(其中，，是非零常數(shù))也是等比數(shù)列．
【即學(xué)即練3】（2023秋·廣東深圳·高三校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則的公比（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【詳解】是等比數(shù)列，
依題意，，所以.
故選：B
題型01 等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用
【典例1】（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，且，則 .
【答案】
【詳解】①，當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，②，
①-②得，，
即，所以，
是首項為-1，公比是2的等比數(shù)列，故.
故答案為：
【典例2】（2023春·北京東城·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的首項，且，那么 ；數(shù)列的通項公式為 .
【答案】 4
【詳解】由題意數(shù)列的首項，且，
那么；
由此可知，故，則數(shù)列為首項是，公比為2的等比數(shù)列，
故，首項也適合該式，
故答案為：4；
【典例3】（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列．
(1)若，，求的通項公式；
(2)若，，，求n．
【答案】(1)
(2)9
【詳解】（1）由等比數(shù)列的通項公式可知，，
兩式相除得，即．
所以．
因此，這個數(shù)列的通項公式是．
（2）因為，，
所以．
又，因此，即．
【變式1】（2023春·江蘇南通·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
因此數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，
故選：C.
【變式2】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，且，則
【答案】
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，
又，所以，解得，即，所以.
故答案為:.
【變式3】（2023秋·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【詳解】（1）等比數(shù)列中，，，則.
（2）等比數(shù)列中，，，，由，可得.
（3）等比數(shù)列中，，，由，可得.
（4）等比數(shù)列中，，，由，可得.
題型02等比中項
【典例1】（2023秋·江蘇宿遷·高三?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【詳解】由于，是方程的兩根，
所以，
由于，所以為正數(shù)，
所以．所以．
故選：A.
【典例2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）若a，G，b成等比數(shù)列，則稱G為a和b的等比中項．
(1)求45和80的等比中項；
(2)已知兩個數(shù)和的等比中項是2k，求k．
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）設(shè)為45和80的等比中項，則，所以.
所以45和80的等比中項為
（2）兩個數(shù)和的等比中項是，
所以，，，
解得或，此時，，滿足題意，
所以或.
【變式1】（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差不為0，若，，成等比數(shù)列，則這個等比數(shù)列的公比是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【詳解】等差數(shù)列,設(shè)公差為d，因為，，成等比數(shù)列，
故，
又因為公差不為0，，所以，
則這個等比數(shù)列的公比是.
故選：B
【變式2】（2023春·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的零點分別是，則（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【詳解】由題意可得所以，
故，且，
故選：D
題型03等比數(shù)列的判斷與證明
【典例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如果數(shù)列是等比數(shù)列，那么（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
【答案】C
【詳解】對于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
所以為非零常數(shù)，則數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；
對于ABD，取，則，數(shù)列是等比數(shù)列，
則，，，
故，，，
所以，則數(shù)列不是等比數(shù)列，故A錯誤.
而，，，顯然，
所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤.
而，，，則，
所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤.
故選：C.
【典例2】（2023·高二課時練習(xí)）函數(shù)（為常數(shù)，且），數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．
【答案】證明見解析
【詳解】數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，
所以，，
可得，，且k>0，k≠1，
所以，∴數(shù)列是等比數(shù)列.
【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求的通項公式．
【答案】
【詳解】解：由可得：，
因為，所以，
所以是以1為首項3為公比的等比數(shù)列，
所以，
所以．
【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，，．
(1)求證：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)證明詳見解析；
(2).
【詳解】（1）依題意，數(shù)列中，，，
所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得：數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列中，，.證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
【答案】證明見解析
【詳解】證明：因為，，所以，
所以，，
又，所以為首項是4，公比為2的等比數(shù)列.
題型04等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
【典例1】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列是正項等比數(shù)列，數(shù)列滿足.若，（ ）
A．24B．32C．36D．40
【答案】C
【詳解】因為是正項等比數(shù)列，，
所以，則，
所以
.
故選：C.
【典例2】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在正項等比數(shù)列中，，則的最小值是（ ）
A．12B．18C．24D．36
【答案】C
【詳解】在正項等比數(shù)列中，，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，即的最小值是24.
故選：C.
【典例3】（2023·江西·校聯(lián)考二模）在正項等比數(shù)列中，與是方程 的兩個根，則 .
【答案】5
【詳解】因為與是方程 的兩個根，所以，
因為為正項等比數(shù)列，所以，
所以，
故答案為：5.
【變式1】（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：∵數(shù)列是等差數(shù)列，且，
∴，可得，則.
∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，又由題意，
∴，∴，
∴，
∴.
故選：D．
【變式2】（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知在等比數(shù)列中，，是方程的兩個實數(shù)根，則 ．
【答案】
【詳解】∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，
故，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有：且，
故．
故答案為：
【變式3】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）正項等比數(shù)列中，，則的值是 ．
【答案】8
【詳解】因為正項等比數(shù)列中，，
所以
，
故答案為：8
題型05構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式（構(gòu)造法求通項）
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，，則數(shù)列的通項公式為 .
【答案】/
【詳解】由得，又
故是以公比為2的等比數(shù)列，且首項為，因此，故,
故答案為：
【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項，且滿足．求數(shù)列的通項公式；
【答案】
【詳解】∵，∴，∴.
又∵，故是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列,
∴，則．
【典例3】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，，求數(shù)列的前n項和Sn．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：由得.
因為，所以，所以
所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，∴，.
∴
【變式1】（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列滿足，證明為等比數(shù)列，并求的通項公式.
【答案】證明過程見詳解，.
【詳解】因為，所以，
又，所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，
則，所以
【變式2】（2023春·高二課時練習(xí)）數(shù)列滿足.
(1)若，求證：為等比數(shù)列；
(2)求的通項公式．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）由于，
所以，
即，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，
所以.
【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.
(1)寫出該數(shù)列的前項；
(2)求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)，，，，
(2)
【詳解】（1），
，，，.
（2）由得：，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，
.
題型06等比數(shù)列在傳統(tǒng)文化中的應(yīng)用
1．（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個實心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對剩下的三個小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】第一種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為；
第二種挖掉的三角形邊長為，共個，面積為，
第三種挖掉的三角形邊長為，共個，
面積為，
故被挖去的三角形面積之和是.
故選：D
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為線段，如圖2.以為底向外作等邊三角形，并去掉線段，將以上的操作稱為第一次操作；繼續(xù)在圖2的各條線段上重復(fù)上述操作，當(dāng)進(jìn)行三次操作后形成如圖3的曲線.設(shè)線段的長度為1，則圖3中曲線的長度為（ ）

A．2B．C．D．3
【答案】C
【詳解】依題意，一條線段經(jīng)過一次操作，其長度變?yōu)樵瓉淼模?br>因此每次操作后所得曲線長度依次排成一列，構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以當(dāng)進(jìn)行三次操作后的曲線長度為.
故選：C
3．（2023·北京·高三專題練習(xí)）“十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.
詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，
所以，
又，則
故選D.
4．（2023秋·福建三明·高三統(tǒng)考期末）在第24屆北京冬奧會開幕式上，一朵朵六角雪花飄拂在國家體育場上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程，若第1個圖中的三角形的周長為3，則第4個圖形的周長為 .

【答案】
【詳解】由題意，當(dāng)時，第1個圖中的三角形的邊長為，三角形的周長為；
當(dāng)時，第2個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，
其“雪花曲線”周長為；
當(dāng)時，第3個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，
其“雪花曲線”周長為；
當(dāng)時，第4個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，
其“雪花曲線”周長為.
故答案為：.
A夯實基礎(chǔ) B能力提升
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．（2023秋·廣東江門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．24B．36C．48D．64
【答案】C
【詳解】在等比數(shù)列中， 設(shè)公比為，
∵，，
∴，
∴，
故選：C.
2．（2023秋·西藏林芝·高三校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，，解得：.
故選：C.
3．（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列1，1，1，…，1，…必為（ ）
A．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列
C．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列
【答案】C
【詳解】數(shù)列1，1，1，…，1，…是公差為0的等差數(shù)列，也是公比為1的等比數(shù)列.
故選：C.
4．（2023秋·河北石家莊·高三石家莊市第十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，，則（ ）
A．B．C．27D．
【答案】D
【詳解】設(shè)的公比為，則，，．
因為，所以，因為，所以，所以．
因為的各項均為正數(shù)，所以．因為，所以．
故選：D
5．（2023秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則（ ）
A．B．C．12D．36
【答案】D
【詳解】由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
所以，
解得：.
故選：D.
6．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知公差不為的等差數(shù)列的前項和為，若，，成等比數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，
又，所以，
顯然，所以，即，
所以，又，
所以.
故選：B
7．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）分形幾何是一門新興學(xué)科，圖1是長度為1的線段，將其三等分，以中間線段為邊作無底邊正三角形得到圖2，稱為一次分形；同樣把圖2的每一條線段重復(fù)上述操作得到圖3，稱為二次分形；……，則第5次分形后圖形長度為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，
則一次分形長度為，二次分形長度為，，
次分形后線段的長度為，
故5次分形后長度為，
故選：C.
8．（2023秋·山東濰坊·高三?？茧A段練習(xí)）正項等比數(shù)列中，，若，則的最小值等于（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【詳解】設(shè)的公比為，則，
因為，所以，解得或（舍去），
，故，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
故的最小值等于
故選：D
二、多選題
9．（2023春·山東淄博·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則（ ）
A．為等差數(shù)列B．為遞增數(shù)列
C．為等比數(shù)列D．的前項和
【答案】BCD
【詳解】由可得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，故A錯誤，C正確，
，由于均為單調(diào)遞增的數(shù)列，且各項均為正數(shù)，所以為遞增數(shù)列，B正確，
，設(shè)的前項和為，則，D正確，
故選：BCD
10．（2023秋·甘肅·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中，正確的有（ ）
A．?dāng)?shù)列中，“”是“是公比為2的等比數(shù)列”的必要不充分條件
B．?dāng)?shù)列的通項為，若為單調(diào)遞增數(shù)列，則
C．等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則
D．等差數(shù)列，的前n項和為分別為，，若，則
【答案】AD
【詳解】A：因為當(dāng)時，顯然數(shù)列不可能是等比數(shù)列，
但是是公比為2的等比數(shù)列一定有成立，
因此選項A正確；
B：因為為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以有，
因為函數(shù)是減函數(shù)，所以，
因此選項B不正確；
C：因為在等比數(shù)列中，設(shè)公比為 ，，是方程的兩根，
所以有，于是有，
而，
所以，因此選項C不正確；
D：因為等差數(shù)列，的前n項和為分別為，，
所以由，
因此選項D正確，
故選：AD
三、填空題
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則通項公式 .
【答案】
【詳解】，
因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
因此，
故答案為：
12．（2023春·江西·高二統(tǒng)考期末）記等比數(shù)列的前n項和為，且，則 .
【答案】
【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，
由數(shù)列是等比數(shù)列，則，則，解得.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的滿足，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)將數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原來的順序組成數(shù)列，求數(shù)列的前50項和．
【答案】(1)
(2)1473
【詳解】（1）因為，
所以，
又因為，
所以，，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則，即．
（2）由得，，
因為，
所以中要去掉數(shù)列的項有5項，
所以
．
14．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)各項都是正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，，求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）已知，得，
兩式作差，得，即．
又?jǐn)?shù)列的各項都是正數(shù)，所以，所以，
顯然數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以；
（2）由（1）得，故，
而，故是首項為，公比為3的等比數(shù)列，
所以，故.
B能力提升
1．（2023秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）0.618是無理數(shù)的近似值，被稱為黃金比值.我們把腰與底的長度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個黃金三角形，是頂角為的第二個黃金三角形，是頂角為的第三個黃金三角形，是頂角為的第四個黃金三角形，那么依次類推，第2023個黃金三角形的周長大約為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】第一個黃金三角形的底為，由得腰長，
記第個黃金三角形的底邊長為，當(dāng)時，第個黃金三角形的底邊長為，腰長為，
而第個黃金三角形的底邊長為第個黃金三角形的腰長，則，
因此，各個黃金三角形的底邊長依次排成一列得數(shù)列，是首項為2，公比為的等比數(shù)列，
第個黃金三角形的底邊長，腰長為，
周長為
，
所以第2023個黃金三角形的周長大約為.
故選：D
2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，，.若，為數(shù)列的前項和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為，則，且，
所以，數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，
所以，，①
由可得，且，
所以，數(shù)列為常數(shù)列，且，②
由①②可得，
因為，
，則，
所以，，所以，，
所以，，
所以，
，
因此，.
故選：B.
3．（2023春·黑龍江大慶·高二?？计谀┮讶绻炔粸?的等比數(shù)列中，存在，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，可得，即，
可得，且，
由，
因為，所以，，則，得到，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最小值為，
故選：B.
4．（2023秋·上海靜安·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式（，為正整數(shù)）.
(1)若，，成等差數(shù)列，求的值；
(2)是否存在且為正整數(shù)）與，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對為，，，，，，，，
【詳解】（1）由已知可得，，，.
因為，，成等差數(shù)列，
所以有，即，
整理可得，.
因為為正整數(shù)，所以.
（2）假設(shè)存在且為正整數(shù)）與，使得，，成等比數(shù)列.
因為，，，
所以由，，成等比數(shù)列可得，
，即，
整理可得，，
所以，是的正因數(shù).
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，.
所以，存在且為正整數(shù)）與，使得，，成等比數(shù)列.
所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對，，，，，，，，.
5．（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．

（1）每次只移動個金屬片；
（2）較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面；
試推測：把個金屬片從號針移動到號針，最少需要移動多少次？
【答案】
【詳解】設(shè)是把個盤子從號針移到號針的最少移動次數(shù)，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，小盤號，大盤號，小盤從號號，；
當(dāng)時，用次把中小兩盤移動到號，再將大盤移動到號，接著再用次把中小兩盤從號轉(zhuǎn)移到號，
；
以此類推，當(dāng)且時，，
，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，，
經(jīng)檢驗：滿足，.
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第n個臺階的概率為，其中，且. 證明：數(shù)列是等比數(shù)列.
【答案】證明見解析
【詳解】證明：由題可得，，
則，，
∴，
由于，，∴，
故，則，
∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解等比數(shù)列的定義.會推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式，能運用等比數(shù)列的通項公式解決一些簡單的問題.掌握等比中項的概念。
②能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的常用性質(zhì).能運用等比數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.。
能應(yīng)用等比數(shù)列的定義判斷等比數(shù)列，會應(yīng)用等比數(shù)列的通項公式進(jìn)行基本量的求解，能應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決與等比數(shù)列相關(guān)的問題

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4.3 等比數(shù)列

版本： 人教A版 (2019)

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