一、單選題
1．已知集合，，則（ ）
A．B．?C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域和對數(shù)函數(shù)定義域求出集合A，B，然后由交集運算可得.
【詳解】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，，
由得，所以，
所以.
故選：D
2．已知復數(shù)z滿足(1+2i)=i，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【分析】化簡得復數(shù)i,即得解.
【詳解】由題得==i.
復數(shù)對應的點為，
由于在第一象限，所以復數(shù)對應的點在第一象限，
故選：A
3．已知函數(shù)的定義域為，則“是偶函數(shù)”是“是偶函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的圖像性質(zhì)，結(jié)合充分，必要條件的定義進行判斷
【詳解】偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，根據(jù)這一特征，若是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)，若是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)，所以“是偶函數(shù)”是“是偶函數(shù)”的充分不必要條件
故選：A
4．設(shè)曲線在處的切線為，若的傾斜角小于，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線傾斜角范圍建立不等式，再求解不等式即得.
【詳解】令，求導得，則切線的斜率為，
由的傾斜角小于，得切線的斜率或，
即或，
解得，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
5．柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法國數(shù)學家柯西與德國數(shù)學家施瓦茨分別獨立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學分析中有廣泛的應用.現(xiàn)給出一個二維柯西不等式：，當且僅當時等號成立.根據(jù)柯西不等式可以得知函數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．12D．20
【答案】A
【分析】運用柯西不等式直接求解即可.
【詳解】由，解得，
所以函數(shù)的定義域為，
由柯西不等式得，，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最大值為.
故選：A.
6．已知是定義在上的偶函數(shù)，是的導函數(shù)，當時，，且，則的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，然后分析的奇偶性和單調(diào)性，再將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，由此可得結(jié)果.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，
因為是上的偶函數(shù)且也是上的偶函數(shù)，
所以是上的偶函數(shù)，
因為時，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
又因為，所以且，
所以，所以，解得或，
故選：B.
7．已知是邊長為2的等邊三角形，，當三棱錐體積取最大時，其外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出三棱錐體積取最大時的幾何體特征，再確定球心位置，求出球半徑作答.
【詳解】取中點，連接，如圖，
在中，由余弦定理得，
即，當且僅當時取等號，
又，則，
當且僅當時，最大，的面積最大，
令直線與平面所成角為，則點到平面的距離，當且僅當時取等號，
因此三棱錐體積，即當最大，三棱錐體積最大，
因此當三棱錐體積最大時，且平面，而平面，即有，
正中，，，則平面，
令正的外接圓圓心為，等腰的外接圓圓心為，則分別在上，令外接球球心為，
于是平面，平面，有，即四邊形是矩形，
而，，在中，，
因此球的半徑，
所以三棱錐外接球的體積，
故選：C
8．已知函數(shù)，則的值域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用二倍角公式可得，由換元法構(gòu)造函數(shù)，由導函數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性即可得求得其值域為.
【詳解】由可得，易知；
令，則，
可得，令，可得或（舍）；
即可得當時，，即在上單調(diào)遞增，
當時，，即在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值也是最大值，即，
當趨近于時，可知趨近于，
因此的值域為.
故選：D
二、多選題
9．已知直線：和圓：，下列結(jié)論成立的是（ ）
A．直線：過定點
B．當直線與圓相交時，直線：被圓所截的弦長最大值為4
C．當直線與圓相切時，則實數(shù)
D．當實數(shù)的值為3時，直線與圓相交，且所得弦長為
【答案】AD
【分析】求出直線過的定點判斷A；由直線是否過圓心判斷B；利用點到直線距離公式計算判斷C；利用圓的弦長公式計算判斷D.
【詳解】圓：的圓心，半徑
對于A，對于任意實數(shù)，當時，恒有，即直線過定點，A正確；
對于B，顯然圓心的坐標不滿足直線的方程，即直線不過圓心，
因此，當直線與圓相交時，直線被圓所截的弦長小于4，B錯誤；
對于C，當直線與圓相切時，圓心到直線的距離，解得，C錯誤；
對于D，當時，由選項C知，，直線與圓相交，
所得弦長為，D正確.
故選：AD
10．如圖，正六邊形的邊長為2，半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心，，若點在正六邊形的邊上運動，動點在圓上運動且關(guān)于圓心對稱，則的值可能為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)、圓的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】由題意：
因為正六邊形的邊長為2，所以圓心到各邊的距離為：，
所以，所以，
故選：BC．
11．已知數(shù)列滿足，，則的值可能為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】AD
【分析】化簡原式得到的兩種對應關(guān)系，然后分類討論的通項公式，由此可得結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
所以，所以，
所以或，
當時，是首項為公比為的等比數(shù)列，所以；
當時，可得，下面用數(shù)學歸納法證明：
當時，，成立，
當，假設(shè)成立，
當時，因為，所以，成立，
由上可知，成立，此時；
當，均在數(shù)列中出現(xiàn)時，由可得，B選項不可能；
當，時，最大，
此時，，故C不可能.
故選：AD.
12．如圖所示，在三棱錐中，已知，，兩兩互相垂直，，，M，N分別是邊，的中點，點E是線段上的動點，點F是平面中的任意一點，則（ ）
A．三棱錐是正三棱錐
B．直線與平面所成角的余弦值為
C．三棱錐外接球的表面積為
D．當點E是線段的中點時，的最小值為
【答案】AC
【分析】由棱錐體積公式求得，從而得出底面是正三角形，由此可判斷A，根據(jù)正棱錐性質(zhì)求得與底面所成角的余弦值即可判斷B，確定出三棱錐外接球的球心后可得表面積判斷C，利用點到平面的距離的性質(zhì)求解后判斷D．
【詳解】對A：因為平面，
所以平面，同理也與相應的側(cè)面垂直，
，，
因此，底面是正三角形，
由于側(cè)棱相等，因此頂點在底面上的射影是底面正三角形的外心，也是中心，
所以三棱錐是正三棱錐，A正確；
對B：是中點，則，
而，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，平面平面，
所以在平面內(nèi)的射影就是直線，所以是與平面所成的角，
側(cè)棱長為4，則底面邊長為，,
由平面，平面，可知，
則 ，即直線與平面所成的角的余弦值為，
且正三棱錐各側(cè)棱與底面所成角相等，因此B錯；
對C：，所以為三棱錐外接球的球心，
且，球表面積為，C正確；
對D：由于平面,所以點到平面的距離為，
是中點，則點到平面的距離等于，
點E是線段的中點，則點到平面的距離等于，D錯．
故選：AC．
三、填空題
13．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，點在上，且，直線與橢圓交于另一點，與軸交于點，，則橢圓的離心率為 .
【答案】/
【分析】首先根據(jù)幾何性質(zhì)表示焦半徑，再結(jié)合余弦定理求焦半徑的長度，即可求解.
【詳解】如圖，為坐標原點，且為的中點，，
所以，即為的中點，
連接，由，得，
設(shè)，則，，，，
則，
在中，由余弦定理得，，
即，整理得，
則，
則，即，
所以.
故答案為：.
14．若，且，則 ．
【答案】
【分析】由題知，進而結(jié)合二倍角公式和正弦的和角公式化簡求值即可.
【詳解】解：因為，且，
所以，
所以
故答案為：
15．已知a，b，c均為正實數(shù)，，則的最小值是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，將看作一個整體，變形后結(jié)合基本不等式的計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為，即，
設(shè)，則，且，
原式
，
當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：4
16．設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)使得恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意可得，令，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直線下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，即可得出答案．
【詳解】函數(shù)的定義域為，
由，得，所以，
令，
由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，
由，得，
所以當時，單調(diào)遞增，
當時，單調(diào)遞減，
所以，沒有最小值，
由，得，
當時，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
所以有最大值，無最小值，不合題意，
當時，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
所以，
所以即，
所以，即的取值范圍為．
故答案為：.
【點睛】本題考查了利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，其中涉及到利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，難度較大.構(gòu)造函數(shù)是求解導數(shù)問題的常用方法.
四、解答題
17．如圖，在中，，，，點在邊的延長線上.
(1)求的面積；
(2)若，為線段上靠近的三等分點，求的長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中利用正弦定理求出，再利用兩角和的正弦公式求出，然后利用三角形的面積公式可求得結(jié)果，
（2）方法1：由題意可得，代值計算即可，方法2：在中利用余弦定理求出，則可求得，再在利用正弦定理求出，從而可求出，然后在中利用余弦定理可求得
【詳解】（1）中，，
因為，，
所以
因為
，
所以.
（2）方法1：因為為線段上靠近的三等分點，
所以,
所以,
所以
，
則.
方法2：在中，由余弦定理得
，
因為為線段上靠近的三等分點，
所以，
因為，
所以，
因為為銳角，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以.
18．已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；
(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，求導，利用導數(shù)的幾何意義可得切線方程，由此可得所求面積；
（2）令，可得,令，，依題意，直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，作出圖象，結(jié)合圖象可得解．
【詳解】（1）當時，，，
所以，，
所以切線方程為，即.
令得，令得，
所以所求三角形的面積.
（2）由題意知，方程在上有兩個不同實根，
即方程在上有兩個不同實根，即方程在上有兩個不同實根.
令，，則轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個不同的交點，
求導得，
則當時，，當時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
又因為，當時，，當時，，當時， ,作圖如下：

所以a的取值范圍為.
19．如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，，，點M在棱上且．
(1)證明：平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明M是的中點，連接，與交于點O，連接，從而證明，從而可證明.
（2）以D為坐標原點，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．利用向量法求解即可.
【詳解】（1）因為平面平面，且平面平面，
根據(jù)條件可知，所以平面，
所以．
所以，同理可得，
又，所以是等邊三角形，
因為，所以M是的中點．
如圖，連接，與交于點O，連接，則O是的中點，所以，
因為平面平面，所以平面．
（2）以D為坐標原點，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則．
由（1）知是平面的一個法向量．
設(shè)為平面的法向量．因為，
所
令，可得．
設(shè)平面與平面的夾角為，
則
．
20．已知數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求的通項公式：
(2)若，的前n項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）已知求的問題，一定要分和進行討論；
（2）用裂項相加法求和，再分為奇數(shù)、偶數(shù)討論，確定的取值范圍.
【詳解】（1）因為，
當時，.
當時，，所以，
，
所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
故：.
（2）證明：因為，
所以.
當n為奇數(shù)時，，
因為，所以，所以
當n為偶數(shù)時，，
因為，所以，所以.
綜上，.
21．已知函數(shù)，其中.
(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對于恒成立，求的最大值.
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）將代入可得，利用導函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最小值恒成立問題，化簡整理可得，構(gòu)造函數(shù)并求得其最大值即可得出的最大值.
【詳解】（1）當時，，則；
令，則，
顯然在上恒成立，即在上單調(diào)遞增；
又易知，
所以當時，，當時，；
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）由對于恒成立，可得在恒成立；
令，則，又，
由可解得，
易知當時，，當時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此在處取得極小值，也是最小值為；
易知，所以可得，
即；
令，則，由可得；
因此當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
即當時，，
即當時，，
即時，的最大值為.
【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題，一般情況下將不等式化簡變形并通過構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最值，再根據(jù)題意求解即可得出結(jié)論.
22．已知橢圓的左，右焦點分別為，，焦距為，點在上.
(1)是上一動點，求的范圍；
(2)過的右焦點，且斜率不為零的直線交于，兩點，求的內(nèi)切圓面積的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)結(jié)合焦距及點坐標，求得橢圓的方程：，設(shè)點，得，結(jié)合橢圓有界性解得范圍即可；
(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理得，，利用等面積法求解內(nèi)切圓半徑，進而求得內(nèi)切圓面積.
【詳解】（1）由題意知，所以.
將點代入，解得，所以橢圓的方程為：.
設(shè)點，則.
又因為，所以的范圍是.
（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，.
聯(lián)立得.
所以，，
所以，
又因為，
當且僅當時等號成立.所以.
又因為三角形內(nèi)切圓半徑滿足.
所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.

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