一、單選題
1．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)傾斜角的定義即可求解.
【詳解】直線即的傾斜角為，
故選：C.
2．若向量，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件應(yīng)用空間向量數(shù)量積及模長(zhǎng)公式逐項(xiàng)計(jì)算檢驗(yàn)即可．
【詳解】若，，
則，，故D正確；
，所以B錯(cuò)誤；
，故A錯(cuò)誤；
顯然與不平行，故C錯(cuò)誤；
故選：D．
3．過直線與的交點(diǎn)，與直線平行的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用直線系方程結(jié)合直線平行的條件可得參數(shù)，進(jìn)而即得．
【詳解】由已知，可設(shè)所求直線的方程為：，
即，
又因?yàn)榇酥本€與直線平行，
所以：，
解得：，
所以所求直線的方程為：，即．
故選：A．
4．若直線與圓相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．1或C．或3D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出方程，即可求解.
【詳解】由圓可化為，可圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)橹本€與圓相切，
可得圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得或.
故選：C.
5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．若的周長(zhǎng)為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】依據(jù)題意得到，并結(jié)合，簡(jiǎn)單計(jì)算即可.
【詳解】如圖，

由題可知：，則
所以橢圓方程為：
故選：C
6．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】由已知，根據(jù)題中給出的圓的方程，寫出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長(zhǎng).
【詳解】由已知，圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.
故選：A.
7．已知橢圓E：與直線相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限， 則，結(jié)合直線OB的斜率運(yùn)算求解即可.
【詳解】聯(lián)立方程，解得，
不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限， 則，
由題意可知：OB的傾斜角是，則，
所以橢圓的離心率.
故選：C．

8．已知圓，過原點(diǎn)作圓的弦，則的中點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)點(diǎn)，其中，則點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡方程.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，則點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程可得，即，
所以，點(diǎn)的軌跡方程為.
故選：C.
二、多選題
9．關(guān)于直線，下列說法正確的有（ ）
A．直線的斜率為B．直線的傾斜角為
C．在軸上的截距為2D．直線經(jīng)過第二?三?四象限
【答案】BD
【分析】根據(jù)直線畫出圖象，結(jié)合圖象，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】
如圖畫出直線方程，
對(duì)于A，因?yàn)?，即，所以直線的斜率為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)橹本€斜率為，所以傾斜角為，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以在軸上的截距為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由圖知，直線經(jīng)過第二?三?四象限，故D正確；
故選：BD.
10．下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離為
B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.
C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是4.
D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為.
【答案】ABC
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式判斷A；傾斜角和斜率的關(guān)系判斷B；求出直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)，利用三角形面積公式判斷C；截距相等，分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況判斷D.
【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)到直線的距離為，故A正確；
對(duì)于B，任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，如與軸垂直的直線，故B正確；
對(duì)于C，直線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為，
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為，
故D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
11．已知直線和圓.則（ ）
A．無論為何值，直線與圓總相交
B．直線被圓截得的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為5
C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為
D．直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，
【答案】ACD
【分析】根據(jù)直線所過的定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項(xiàng)A;利用過圓心的弦最長(zhǎng)，以及垂直于最長(zhǎng)弦的弦最短可求解選項(xiàng)B,C；利用垂直與斜率的關(guān)系可求解選項(xiàng)D.
【詳解】
由直線可得，，
所以直線恒過定點(diǎn)，
又因?yàn)閳A心,半徑，
點(diǎn)到圓心的距離為，
所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以無論為何值，直線與圓總相交，A正確；
當(dāng)直線過圓心時(shí)，被圓截得的弦最長(zhǎng)，最長(zhǎng)為，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦最短為，C正確；
時(shí)，,所以，解得，D正確；
故選:ACD.
12．如圖，在矩形中，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿將、翻折，使點(diǎn)、重合，記為點(diǎn)，翻折后得到三棱錐，則（ ）

A．
B．三棱錐的體積為
C．直線與直線所成角的余弦值為
D．直線與平面所成角的正弦值為
【答案】AC
【分析】根據(jù)線面垂直的判定可證明平面可判斷A；再根據(jù)即可判斷B；先利用余弦定理求出，將用表示，利用向量法求解即可判斷C；利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為即可判斷D；
【詳解】對(duì)于A，由題意可得，
又平面，
所以平面，又平面，故，故A正確；
對(duì)于B，在中，，邊上的高為，
所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在中，，
，
所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故C正確；
對(duì)于D，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，得，解得，
所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故D錯(cuò)誤；
故選：AC
三、填空題
13．若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的焦距為4，則 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)橢圓中基本量的關(guān)系得到關(guān)于m的方程，解方程得到m的值.
【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上且焦距為4，
所以，
解得.
故答案為：4.
14．已知，則在上的投影向量為 .
【答案】
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>設(shè)與的夾角為，則，
所以在上的投影向量為，
故答案為：.
15．若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】或
【分析】利用兩直線位置關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知或.
故答案為：或
16．已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線：上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為 .
【答案】7
【分析】結(jié)合圖象，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，的最小值即為，解出即可.
【詳解】如圖：

設(shè)點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
則，解得則，
則
,
故答案為：
四、解答題
17．已知空間三點(diǎn)，，，設(shè) ， .
(1)求 與 的夾角的余弦值；
(2)若向量 與互相垂直，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)空間向量夾角公式求解即可.
（2）根據(jù)題意得到，再解方程即可.
【詳解】（1），.
.
（2），.
因?yàn)橄蛄?與互相垂直，所以，
即，解得或.
18．已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線
(1)求圓的方程；
(2)若直線過定點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）可由圓心在直線上設(shè)其坐標(biāo)，再利用計(jì)算即可；
（2）利用直線過定點(diǎn)及直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可.
【詳解】（1）由題意可設(shè)圓心，則由題意可知，
所以半徑，即圓C的方程為；
（2）易知當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)與圓相切，符合題意；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，可設(shè)，
則圓心到切線的距離為，解之得，
即，
所以該切線方程為：或.
19．如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為分別是的中點(diǎn).
(1)證明：.
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量證明垂直關(guān)系和求解角度.
【詳解】（1）
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則
則，
，
則；
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，則，則，
令，，則，
設(shè)直線與平面所成角為.
則直線與平面所成角的正弦值為.
20．已知圓，圓.
(1)分別將圓和圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，并寫出它們的圓心坐標(biāo)和半徑；
(2)求圓與圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng).
【答案】(1)的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為
(2)
【分析】（1）配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑；
（2）兩圓相減得到公共弦所在直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式和垂徑定理得到弦長(zhǎng).
【詳解】（1）變形為，圓心為，半徑為，
變形為，圓心為，半徑為；
（2）與相減得到公共弦所在直線方程，
即，整理得：，
圓心到直線的距離為，
故公共弦長(zhǎng)為.
21．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，易得，從而得證；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，代入公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，
∵，分別為，的中點(diǎn)，∴.
又平面，平面，
∴平面.
（2）解：∵平面，
∴.
又∵是正方形，∴.
∴平面.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，
各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，
∴.
∵平面，，
∴取平面的法向量為，
，
∴二面角的余弦值為.
【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及空間向量法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
22．已知橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的倍，且右焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)長(zhǎng)軸和短軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及列方程，可求得的值，進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出的坐標(biāo)，得到，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，由此求得的面積．
【詳解】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)軸是短軸的倍，所以，
因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，所以，
結(jié)合，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，
由，得，解得， ，
即，則，
點(diǎn)到直線的距離，
則的面積．

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