考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.
2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.
3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出該拋物線的準(zhǔn)線方程.
【詳解】由題意知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為．
故選：C．
2. 已知雙曲線的焦距為4，則的漸近線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，即可解題.
【詳解】由題意可知，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.
故選：D.
3. 已知向量，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出向量的坐標(biāo)，由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得實數(shù)的值.
【詳解】因為，，則，
因為，則，解得.
故選：A.
4. 已知圓：與圓：相交于，兩點，則直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】兩圓作差即可求得公共弦的方程.
【詳解】圓，圓的方程可以化簡為，，將兩圓方程相減，得，即直線的方程為.
故選:A.
5. 已知，分別是橢圓的左，右焦點，是橢圓上一點，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求解.
【詳解】由橢圓的方程，得，，因為，所以，
又在橢圓上，所以，解得，
即，，
所以．
故選：A．
6. 已知、是平面內(nèi)兩個不同的定點，則“為定值”是“動點的軌跡是雙曲線”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】若，則，此時，點的軌跡是線段的垂直平分線，
所以，“為定值”“動點的軌跡是雙曲線”；
若動點的軌跡是雙曲線，則為定值，
所以，“為定值”“動點的軌跡是雙曲線”.
因此，“為定值”是“動點的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B.
7. 如圖，在直三棱柱中，，，，點為棱的中點，點是棱上的一點，且，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與所成角的余弦值.
【詳解】由，，，得，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
所以，，，，
所以，，
所以，即直線與所成角的余弦值為.
故選：D.
8. 已知圓和兩點，，若圓上至少存在一點，使得，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知，圓與圓的位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，利用圓心距和兩圓半徑之間的關(guān)系即可求得.
【詳解】圓的圓心，半徑為，
因為圓上至少存在一點，使得，則，
所以圓與圓的位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，
所以可得，又因為，
所以，即.
即實數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若直線與直線平行，則的值可以是（ ）
A 0B. 2C. D. 4
【答案】AB
【解析】
【分析】利用兩直線平行，得出斜率相等，進而求解.
【詳解】因為兩直線平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，當(dāng)時兩直線重合，舍去.
故選：.
10. 已知分別是雙曲線的上、下焦點，以線段為直徑的圓M與雙曲線C的漸近線的一個交點為P，則（ ）
A. 圓M的方程為B. 雙曲線C的離心率為
C. 雙曲線C的漸近線方程為D. 的面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】由給定方程求出雙曲線的實虛半軸長及半焦距，再逐項計算判斷得解.
【詳解】由雙曲線方程，得實半軸長，虛半軸長，半焦距，
圓M的圓心為，半徑為，方程為，A正確；
雙曲線C的離心率，B正確；
雙曲線的漸近線方程為，C錯誤；
由，解得，則點橫坐標(biāo)滿足，
而，于是，D正確.

故選：ABD
11. 已知正方體的棱長為1，動點在正方形內(nèi)（包含邊界），則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則直線和所成角為
C. 若，則點的軌跡長度為
D. 若，則點到直線的距離的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】以點為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，D0,1,0，，，，
，設(shè)，其中，，
對于A選項，由，
得，即，
所以，，故A正確；
對于B選項，由A選項知，所以，又，
設(shè)直線和所成角為（），
則，所以，故B錯誤；
對于C選項，因為，所以，，
即，又點在平面內(nèi)（包含邊界），
所以點的軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的半圓弧，
所以其長度為，故C正確；
對于D選項，由C選項知，BC=0,1,0，設(shè)，
則，
所以，
所以點到的距離，令，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時，等號成立，
故點到直線的距離的最小值為，故D正確.
故選：ACD
【點睛】關(guān)鍵點睛：
空間坐標(biāo)系與向量的應(yīng)用：通過構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量的性質(zhì)來解決幾何問題，是解題的關(guān)鍵步驟.
軌跡分析與距離計算的結(jié)合：通過分析動點的運動軌跡，再結(jié)合幾何性質(zhì)進行距離的計算，確保了推導(dǎo)過程的嚴(yán)密性.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線的方程為，則坐標(biāo)原點到直線的距離為______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用點到直線距離公式代入計算即可得出結(jié)果.
【詳解】將直線化為一般方程可得，
由點到直線距離公式可得坐標(biāo)原點到直線的距離為.
故答案為：
13. 若圓與曲線有兩個公共點，則的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圓、曲線的對稱性，只需分析與圓只有一個交點即可，分相切與相交兩種情況討論，分別計算可得.
【詳解】圓的圓心為坐標(biāo)原點，關(guān)于軸對稱，
因為為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，所以曲線的圖象也關(guān)于軸對稱，
所以只需研究與圓只有一個交點即可，
當(dāng)與圓相切時，則，
當(dāng)與圓相交時（只有一個交點），則，
綜上可得的取值范圍為.
故答案為：
14. 設(shè)，分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，過點且傾斜角為60°的直線與橢圓交于，兩點，若，則橢圓的離心率為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，將直線和橢圓聯(lián)立消元得，由可得，再結(jié)合化簡可得.
【詳解】由題意，直線過且斜率為，所以直線為：，
與橢圓：聯(lián)立消去，得，
設(shè)，則，
因為，所以，可得，
代入上式得，消去并化簡整理得：，
將代入化簡得：，解得，
因此，該雙曲線的離心率.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知的外接圓為圓.
（1）求圓的方程；
（2）已知直線與圓交于E，F(xiàn)兩點，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)圓的方程為，結(jié)合題意解出即可求解；
（2）由（1）得圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，從而可得弦長，再用點到直線的距離公式可得點到直線的距離，繼而利用三角形面積公式即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)圓的方程為，
則，解得，
所以圓方程為.
【小問2詳解】
由，得，
所以圓的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離為，
，
又點到直線的距離為，
所以的面積為.

16. 如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點.
（1）求證：直線平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用中位線性質(zhì)以及線面平行判定定理證明可得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法計算可得結(jié)果.
【小問1詳解】
證明：設(shè)，連接，
在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，所以是的中點，
又為的中點，所以.
又平面，平面，
所以直線平面.
【小問2詳解】
在直三棱柱中，平面，
又，平面，所以分，，
又，
所以可以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
因為，，，所以，
則，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則,令1，得，，
所以平面的一個法向量為，又，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
17. 已知雙曲線：（，）的離心率是，焦距為6.
（1）求的方程；
（2）若直線：與相交于，兩點，且（為坐標(biāo)原點），求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依題意求出、，即可求出，從而求出方程；
（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，代入，求出的值.
【小問1詳解】
因為雙曲線：（，）的離心率是，焦距為6，
所以，，其中，解得，，
所以.
所以的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)，，
聯(lián)立方程消去得，
因為直線：與相交于，兩點，
所以，即且，
由韋達定理得，，
又，，
所以，
所以，
將韋達定理代入上式，得，
即，解得，滿足且.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為6的正方形，是等邊三角形，平面平面.

（1）求平面與平面所成二面角的正弦值；
（2）已知分別是線段上一點，且，若是線段上的一點，且點到平面的距離為，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）如圖通過證明平面，可建立以點為原點的空間直角坐標(biāo)系，后可求出平面與平面的法向量，結(jié)合空間向量知識可得答案；
（2）由題可得平面的法向量，后設(shè)，可得點到平面的距離關(guān)于的表達式，即可得答案.
【小問1詳解】
取的中點分別為，連接，
因為底面是正方形，所以，
因為是正三角形，為中點，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
以點為原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

由題意：，
，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，所以，
即，令，則，
即平面的一個法向量為，
易知平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面所成二面角為，
則，
所以，即平面與平面所成二面角的正弦值為.
【小問2詳解】
因為分別是線段上一點，
且，
所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
所以，即，
令，則，即平面的一個法向量為，
設(shè)，
則，
所以點到平面距離，
解得（舍去），即
19. 給定橢圓 :，我們稱橢圓為橢圓的“伴隨橢圓”.已知，分別是橢圓的左、右頂點，為橢圓的上頂點，等腰的面積為，且頂角的余弦值為
（1）求橢圓的方程；
（2）是橢圓上一點（非頂點），直線與橢圓的“伴隨橢圓”交于，兩點，直線與橢圓的“伴隨橢圓”交于，兩點，證明:為定值．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理可得，結(jié)合面積可得，聯(lián)立即可求解；
（2）根據(jù)已知解設(shè)出Px0,y0，直線和的斜率，表示出直線方程，然后與伴隨橢圓聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理表示出和MN，即可得證.
【小問1詳解】
由，可得，
因為的面積為，所以，
解得．
所以橢圓的方程為．
【小問2詳解】
由（1）知，設(shè)Px0,y0，
直線的斜率為，直線的方程為，
直線的斜率為，直線的方程為，
所以．
由，得，
橢圓的“伴隨橢圓”的方程為．
聯(lián)立，可得，
設(shè)，則，
，
同理，
所以．
【點睛】方法點睛：本題考查橢圓與直線相交的綜合性題目，屬于中檔題，常用方法有：（1）數(shù)形結(jié)合思想；（2）韋達定理的使用；（3）待定系數(shù)法求方程.

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